1505

ских парах происходит сложение нескольких движений твердого тела. В качестве примера рассмотрим сложение двух движений.

Пусть два звена входят в одну кинематическую пару. С каждым из звеньев свяжем системы координат (Ο 1 x1 y1z1 и Ο 2 x2 y2 z2 ). Пусть первое звено и связанная с ним система координат Ο 1 x1 y1 z1 совершает переносное движение по отношению к системе Ο xyz, а система Ο 2 x2 y2 z2 совершает относительное движение по отношению к системе Ο 1 x1 y1 z1 . Тогда для произвольной точки М второго звена скорость может быть найдена по формуле сложения скоростей:

V M =V 1 +V 2 ,

где V1 – скорость точки первого звена, с которой в данный момент времени совпадает точка М второго звена; V2 – скорость точки второго звена относительно первого звена.

Поскольку от перестановки слагаемых в этой формуле суммарный вектор не изменяется, то относительное и переносное движения можно поменять местами.

Если число подвижных звеньев и кинематических пар увеличить на единицу, то найденную скорость точки М звена 2 можно принять за переносную при определении скорости точки М звена 3, т.е. скорость точки конечного звена равна сумме скоростей этой точки при движении в каждой кинематической паре манипулятора в отдельности:

n

V M = ∑V i .

i=1

Если все кинематические пары поступательные, то скорости всех точек конечного звена равны сумме линейных относительных скоростей.

Если какая-либо из n кинематических пар вращательная, то соответствующая ей

V1 = ϖ ×i rin ,

где ϖ i – вектор относительной угловой скорости во вращательной паре i; rin

– радиус-вектор, задающий положение точки М звена n относительно центра пары i.

421

15.2.Динамика манипулятора

15.2.1.Методы построения динамической модели манипулятора

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновской или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов являются уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев. Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены традиционными методами Лагранжа – Эйлера или Ньютона – Эйлера. С помощью этих двух методов получен ряд различных форм уравнения движения, эквивалентных в том смысле, что они описывают динамику движения одной и той же физической системы.

Вывод уравнений динамики движения манипулятора методом Лагранжа – Эйлера отличается простотой и единством подхода. В рамках предположения о том, что звенья представляют собой твердые тела, этот подход приводит в общем случае к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения Лагранжа – Эйлера обеспечивают строгое описание динамики состояния манипулятора и могут быть использованы для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. В меньшей степени они используются для решения прямой и обратной задач динамики. Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщенные ускорения, интегрирование которых позволяет получить значения обобщенных скоростей и координат. Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.

С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов можно использовать уравнения Ньютона – Эйлера. Вывод уравнений движения манипулятора методом Ньютона – Эйлера прост по содержанию, но весьма трудоемок. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. С помощью прямых уравнений последовательно от основания к схвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. Обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев. Наиболее важный резуль-

422

тат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов, прямо пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это позволяет реализовывать простые законы управления манипулятором в реальном времени.

Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа – Эйлера обусловлена в основном тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат. Уравнения Ньютона – Эйлера обладают большей вычислительной эффективностью, что связано с их рекуррентной природой. Однако такие рекуррентные уравнения не обладают «аналитичностью», столь полезной при синтезе управления в пространстве состояний. Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающих динамику движения манипулятора.

Поскольку для построения модели динамики переходных процессов и дальнейшего анализа полученных уравнений необходима аналитическая форма, то для получения уравнений динамики используется метод Лагранжа – Эйлера.

Уравнения динамики манипулятора. Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с n степенями свободы, которым отвечают

гателей, приведенные к j-й обобщенной координате, они имеют размер-

423

где Q j – обобщенные силы, Q j = Q jд + Q jв ; Q jв – внешние обобщенные

силы, вызванные весом звеньев и груза, удерживаемого в захватном устройстве, Q jв = −∂ П∂ q j .

При наличии внешнего воздействия – силы Fв , приложенной к захватному устройству, в правую часть равенства для Q j надо добавить член Q jF , характеризующий это воздействие:

Используем выражение (15.2) для вывода уравнений динамики манипулятора. Рассматривая исполнительный механизм манипулятора как систему из n твердых тел, запишем его кинетическую энергию T в виде суммы кинетических энергий звеньев Ti :

i=1

Всвою очередь величину Ti определим по формуле

инерции звена в точке Oi ; ϖ i – вектор угловой скорости звена в принятой

системе координат.

Выражение (15.5) принимает наиболее простой вид, если за полюс звена принять его центр инерции. Тогда величина riц будет равна нулю и выражение (15.5) упростится:

Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. В соответствии с правилом разметки осей систем координат, связанных со звеньями, одна

из осей системы Oi xi yi zi совпадает с осью звена (вектором Oi−1Oi ), а две другие образуют с ней правую триаду. При помещении точки Oi в центр

424

инерции Oi0 (рис. 15.5) оси полученной системы Oi0 xi0 yi0 zi0 становятся главными осями инерции и тензор вектора в точке Oi0 имеет вид диагональной матрицы

Рис. 15.5. Связанные системы координат с началом

вцентре кинематической пары (Oi xi yi zi )

ив центре инерции (Oi0 xi0 yi0 zi0 )

моменты инерции J относительно осей в которой определяются выражениями

и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке Oi0 характеризуется матрицей

425

центробежные моменты в которой определяются выражениями

или через проекции на оси неподвижной системы осей:

По аналогии с V iц введем вектор угловой скорости звена:

и запишем равенство (15.6) в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией относительно главных осей инер-

Динамика манипуляторов промышленных роботов (ПР). Из большого разнообразия задач динамики манипуляторов рассмотрим две: силовой расчет и расчет быстродействия ПР. При силовом расчете манипуляторов решаются задачи по определению внешних силовых управляющих воздействий, обеспечивающих требуемый закон движения механизма, и по расчету реакций в кинематических парах. Первую часть часто называют задачей синтеза управления. При силовом расчете обычно при-

426

меняется метод кинетостатики, основанный на принципе Д'Аламбера. По этому методу к внешним силам и моментам, приложенным к звеньям механизма, добавляются расчетные силы инерции, которые обеспечивают силовую уравновешенность системы и позволяют рассматривать подвижную систему в квазистатическом равновесии, т.е. как условно неподвижную. Силовой расчет выполняется при заданной полезной нагрузкеFn , из-

вестных законах движения звеньев asi и ξ i (из предварительного кинема-

тического расчета), известных инерционных характеристиках звеньев: массах звеньев mi и их моментах инерции J si . По этим данным определя-

ются главные векторы Fi и = −m asi и главные моменты Miи = −J si ξ i сил

инерции для каждого из звеньев механизма. Для открытой кинематической цепи решение начинаем с выходного звена – схвата. Отброшенные связи звена n со звеном (n – 1) и выходным валом привода звена n заменяем реакциями M n,n−1 и Fn,n−1 и составляем кинетостатические векторные уравне-

ния равновесия сил и моментов для звена n (рис. 15.6):

G0 + Gn + Fnи + F0и + Fn,n−1 + Fn = 0,

M (Gn ) + M (G0 ) + M (Fnи ) + M (F0и ) + Mnи + Mn,n−1 + M (Fn ) = 0,

где G0 , Gn – сила тяжести звеньев; M n,n−1 – вектор момента в кинематической паре (проекция этого вектора на ось z является движущим моментом привода в кинематической паре, т.е. M z ( n,n−1) = M ∂ (n,n− 1) ).

Рис. 15.6. Система сил, действующих на звено со схватом

Проецируя векторные уравнения на оси координат, получим систему шести алгебраических уравнений, откуда определим шесть неизвестных

Fx (n,n−1) , Fy (n,n−1) , Fz (n,n−1) , M x ( n,n−1) , M y (n,n−1) , M z (n,n−1) = M∂ ( n,n− 1) .

427

Далее рассматривается равновесие звена (n – 1). При этом в месте его присоединения к звену n прикладываются реакции со стороны звена n

Fx (n−1,n ) , Fy ( n−1,n ) , Fz (n−1,n ) , M x ( n−1,n ) , M y ( n−1,n ) , M z ( n−1,n ) = M∂ ( n− 1,n ) ,

равные по величине и противоположные по направлению реакциям, определенным на предыдущем этапе расчета. Так последовательно составляются уравнения силового равновесия для всех n звеньев механизма. Из решения полученной системы 6n уравнений определяются реакции в кинематических парах, движущие силы и моменты.

Расчет быстродействия робота. Время выполнения роботом цикла перемещений детали во многом определяет производительность всего роботизированного комплекса. Поэтому требования к быстродействию робота обычно достаточно высокие. Время выполнения роботом технологической операции обусловлено законами изменения внешних сил (движущих и сопротивления) и инертностью звеньев механизма. Закон изменения управляющих сил зависит от типа используемого привода (гидравлический, пневматический, электрический и комбинированный) и от вида системы управления (цикловая, позиционная или контурная). Проведем расчет быстродействия одного из приводов промышленного робота с цикловой системой управления. При цикловой системе управления относительные перемещения звеньев ограничиваются передвижными упорами и концевыми выключателями.

На рис. 15.7, 15.8 изображена кинематическая схема трехподвижного манипулятора ПР (1, 2, 3 – подвижные звенья, 0 – неподвижное звено) и приведена циклограмма настройки командоаппарата (сплошные линии) и циклограмма работы ПР (пунктирные линии). Здесь обозначены: ϕ 10 – угол поворота звена 1 относительно стойки 0; S21 – перемеще-

ние штока поршня 2 относительно цилиндра 1; S32 – перемещение штока поршня 3 относительно цилиндра 2; H21 и H32 – перемещение третьевого звена; hд – перемещение третьевого звена при демпфировании. Общее

время рабочего цикла Тц состоит из времени выстоя в заданных положениях (на циклограмме выстой показан прямыми, параллельными горизонтальной оси t) и времени относительных перемещений звеньев из одного заданного положения в другое tп.х (прямой ход) и обратно tо.х (обратный ход) (наклоные прямые на диаграммах). Время выстоя обычно задано условиями технологического процесса. Время выполнения роботом движений определяется динамическими характеристиками приводов и манипулятора – движущими силами и силами сопротивления, массами и моментами инерции звеньев.

428