1464

Внося сюда значения h из уравнения (4, IV) и sin а из (3, IV), получим:

т/ d3sin2 eV l -f 2 cos 0 1 + cos в

Следовательно,

0,259 ^ га 0,476.

В табл, 2 приведены определенные по формуле (5, IV) значения коэффициента пористости га фиктивного грунта при различных вели­ чинах в.

Т а б л и ц а 2 Значение коэффициентов пористости т и просветности п

Пористость естественных пластов колеблется в гораздо более ши­ роких пределах, что объясняется разнообразием размеров части пори­

стой среды, наличием в поровых каналах различных цементирующих веществ и пр.

Рассматривая рис. 29, мы видим, что площадь прохода между ша­ рообразными частицами в плоскости, содержащей их центры, имеет величину 5, равную:

S = Si - S2,

где S1 — площадь ромба (грань ромбоэдра), a S2 — суммарная площадь частей кругов, находящихся внутри ромба. Легко видеть, что сумма площадей указанных четырех частей кругов равна площади круга:

с _ 7Г сР

Поскольку площадь ромба

Si = d2 sin 0,

то площадь 5, открытая для прохода жидкостей, равна:

S = (sin0- J)d2.

Назовем отношение площади проходов к площади всей грани ром­ боэдра просветностью или поверхностной пористостью и обозначим ее буквой п:

n = f = 1 " f - (6> IV)

Коэффициент просветности п определяет величину живого сечения пласта, через которое происходит фильтрация.

Подставляя в формулу (6, IV) вместо S\ и S2 их значения, получим:

Из формулы (7, IV) видно, что для фиктивного грунта величина просветности не зависит от диаметра шарообразных частиц, составля­ ющих пористую среду, а зависит лишь от их взаимного расположения, определяющегося углом в.

В табл. 2 помещены вычисленные по формуле (7, IV) зна­ чения просветности п для различных значений угла в. Предель­ ные значения просветности получим, подставив вместо в 60° и 90°; при 9 = 60° п = 0,0931; при в = 90° п = 0,2146.

Следовательно,

0,0931 ^ п ^ 0,2146.

Сравнение рис. 31 и 32 с рис. 33 и 34 показывает, что определя­ емая формулой (7, IV) величина п и приведенные в табл. 2 значения просветности характеризуют площади проходов в самом узком месте поровых каналов1.

Существенный интерес представляет определение средних значе­ ний площади проходов S и просветности п для некоторого выделен­ ного объема пористой среды.

Выделим некоторый цилиндрический элемент пористой среды (рис. 36) длиною L и площадью поперечного сечения F. Пусть средняя

величина площади проходов S на длине L равна 5, а среднее значение просветности п на той же длине равно п, причем

Тогда объем порового пространства i? (т. е. суммарный объем поровых каналов в рассматриваемом объеме пористой среды) равен:

Таким образом, среднее значение просветности (поверхностной пори­ стости) п равно пористости т.

При решении различных практических задач, связанных с филь­ трацией жидкостей, часто представляет интерес определение средней площади проходов. Как видно из формулы (10, IV), средняя площадь проходов равна произведению площади сечения пласта F на коэффи­ циент пористости т.

Изложение теории Слихтера заимствовано нами из книги акад. Л . С. Лейбензона [100].

§ 3. Переход от фиктивного грунта к естественному

Реальные пористые пласты (пески, песчаники) отличаются от фик­ тивного грунта тем, что слагающие их частицы (песчинки) разнообраз­ ны по своим размерам, форме и шероховатости поверхности. Поэтому, чтобы формулы, полученные для фиктивного грунта, применить к ре­ альному грунту, нужно реальный грунт заменить эквивалентным ему фиктивным грунтом, причем этот эквивалентный фиктивный грунт должен отличаться тем свойством, что гидравлическое сопротивление, оказываемое им фильтрующейся жидкости, должно быть таким же, как гидравлическое сопротивление реального грунта. Диаметр частиц такого эквивалентного фиктивного грунта называется эффективным диаметром и обозначается нами <£,. Следовательно, для перехода от фиктивного грунта к естественному нужно определить величины эф­ фективного диаметра частиц, слагающих реальную пористую среду. Представление о составе естественного грунта получается из данных механического анализа его. Механический анализ дает групповые ха­ рактеристики состава грунта, указывая процентное содержание отдель­ ных фракций. На основании произведенного механического анализа строится кривая весового участия фракций. Для этого но оси абсцисс откладывают диаметры песчинок, а по оси ординат — сумму процент­ ного весового содержания всех фракций, начиная от нуля и кончал данным диаметром.

Пусть в 1 см3 грунта имеются следующие фракции частиц (зерен песка):

диаметр от и до:

О —di, d\ —d,2 , d2 —d$, с?з —d4 и т.д.

вес фракций:

Лдъ Лд2, Лд3, Лд4 и т.д.

Построение графика механического анализа ведется следующим образом (рис. 37): на оси абсцисс откладываем длину, равную cfi, а на соответственной ординате — длину, равную Лд\. Далее, на оси абсцисс откладываем длину, равную d\ + а на соответственной ординате длину, равную Лд\ + Лд2 . Продолжая построение, придем в конце концов к последней точке кривой с ординатой, равной 100%, так как

За средний диаметр d{ какой-либо фракции i принимают среднее арифметическое крайних диаметров d[ и d![ этой фракции:

Ьиг

берутся с кривой весового участия фракций, обычно представляющей ломаную линию (рис. 37).

Этот способ широко применяется. Границы использования его определяются условием

0 ,01 ^ d ^ 0,3 см.

§ 4. Скорость фильтрации и ее связь со скоростью движения

Обозначим через Q — объемный расход жидкости через поперечное сечение рассматриваемого элемента пористого пласта, через F — пло­ щадь нормального к направлению движения жидкости поперечного се­ чения пласта. Тогда расход v жидкости, приходящийся на единицу по­ перечного сечения пласта, определится из равенства:

Величина v называется скоростью фильтрации. С физической точки зрения скорость фильтрации представляет фиктивную скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутство­ вала (коэффициент пористости т = 1) и движение происходило в сво­ бодном пространстве, ограниченном кровлей и подошвой пласта.

Формула (13, IV) дает среднюю величину скорости фильтрации в сечении F, совпадающую с истинной скоростью фильтрации в тех случаях, когда скорость фильтрации не меняется по сечению пласта. В общем случае в различных точках сечения F скорость фильтрации может быть неодинакова. Тогда истинное значение скорости фильтра­ ции в любой точке пласта определяется соотношением:

где dQ — величина объемного расхода жидкости сквозь проходящую через данную точку элементарную площадку dF, нормаль­ ную к направлению скорости фильтрации v.

Определим размерность скорости фильтрации. Обозначив через L — единицы длины, Т — единицы времени, имеем:

М L3T~l = LT-1

\F] L2

т. е. скорость фильтрации имеет размерность скорости.

Скорость фильтрации отличается от истинной скорости движения жидкостей и газов. Для определения средней скорости w движения жидкости или газа нужно объемный расход его Q разделить на пло­ щадь S нормального к направлению движения поперечного сечения поровых каналов. Площадь этого сечения мы назвали в § 2 площадью проходов, причем согласно формуле (10, IV) средняя величина площа­

ди проходов S = mF.

Следовательно, средняя скорость движения жидкости равна:

Таким образом, для нахождения средней скорости движения жид­ кости (или газа) нужно скорость фильтрации ее разделить на пори­ стость.

Введение понятия скорости фильтрации позволяет рассматривать пласт как непрерывное поле скоростей фильтрации и давлений, ве­ личина которых в каждой точке пласта является функцией коорди­ нат этой точки и времени. Располагая данными о величинах скорости фильтрации v и площади сечения пласта F, легко найти дебит (расход) жидкости или газа (см. формулу 11, IV), не вдаваясь в рассмотрение микрокартины движения жидкостей или газов в резко изменяющихся по форме поровых каналах. Столь же удобным является пользование понятием скорости фильтрации при решении задач о распределении давления в пласте, о взаимодействии скважин и пр.

При решении практических вопросов, связанных с разработкой нефтяных и газовых месторождений, приходится, помимо указанных выше задач, решать задачи о продвижении контуров нефтеносности и газоносности, о скоростях движения газа и воды от нагнетательных скважин к эксплуатационным при применении вторичных методов до­ бычи нефти, о времени обводнения нефтяных и газовых скважин и др. В этих случаях необходимо знание средних скоростей движения жид­ костей в поровых каналах, определение которых производится по фор­ муле (16, IV).

В гидрогеологической практике разработаны различные эмпири­ ческие методы определения скорости движения подземных вод. Для

применения их в простейшем случае необходимы две буровые скважи­ ны, расположенные по направлению потока. Через находящуюся вы­ ше (считая по течению) скважину в поток воды вводится индикатор и отмечается время его ввода. После этого фиксируется время появле­ ния индикатора в расположенной ниже скважине. Разделив расстояние между скважинами на время, истекшее с момента ввода в пласт инди­ катора до момента появления его в нижней (контрольной) скважине, определяют максимальную скорость движения грунтовых вод. В ка­ честве индикаторов, применяющихся для указанных целей, в гидро­ геологической практике используются красящие вещества, хлористые соли, соли, присутствие которых в воде сильно повышает ее электро­ проводность, что позволяет обнаружить их появление в контрольной скважине электрическим способом (без отбора проб воды), и другие вещества1.

1 Изложение различных методов опытного определения скорости движения под­ земных вод можно найти в книге проф. Г. И. Каменского [65].