1464

вии сосуществования двух режимов фильтрации в пласте. Несмотря на упомянутую выше приближенность метода подсчета табл. 7, ее ана­ лиз позволяет сделать один несомненно правильный количественный вывод: радиус области кризиса линейного закона фильтрации при экс­ плуатации гидродинамически несовершенных скважин даже с больши­ ми дебитами измеряется не больше чем несколькими десятками или в крайних случаях несколькими сотнями сантиметров, т. е. нарушение линейного закона фильтрации локализуется лишь в самой ближайшей окрестности забоя скважины.

По поводу разобранного примера следует заметить, что хотя неко­ торые исходные данные выбраны не очень удачно с точки зрения их общности, но взятый пример удобен для последующего анализа ряда вопросов.

§ 7. Влияние изменения давления с течением времени

При решении задач данной главы жидкость и пористая среда счи­ тались абсолютно несжимаемыми. В таких условиях изменение пласто­ вого давления в любой точке фильтрационного потока должно было бы мгновенно распространиться на весь пласт. На основании этого сообра­ жения легко обобщить многие из выведенных формул. В самом деле, в задачах § 1-6 было оговорено, что давления рк, рг, рс на границах пла­ ста — на контуре области питания, в галлерее, в скважине — поддержи­ ваются постоянными; иными словами, исследовались лишь установив­ шиеся процессы движения жидкости к скважине, к галлерее, через об­ разцы горной породы. Естественно попытаться перейти к исследованию неустановившихся процессов. Сохранив предположение об абсолютной несжимаемости жидкости и пласта, допустим, что давления рк, рг, рс на границах фильтрационного потока в какой-то момент времени по неко­ торым причинам изменились. Согласно замечанию, сделанному в на­ чале данного параграфа, давление во всем пласте должно мгновенно перераспределиться и «приспособиться» к новым граничным условиям. Поэтому, если граничные давления рк. Рг, Рс постоянны, а непрерывно изменяются, то давления во всех точках пласта будут также непрерыв­ но меняться. Важно отметить, что в любой момент времени давление распределяется во всем пласте так, как если бы значения давлений на его границах, соответствующие тому же моменту времени, удержива­ лись постоянными неограниченно долгий срок. Следовательно, состоя­ ние движения несжимаемой жидкости в несжимаемой пористой среде в каждый момент времени не зависит от истории движения, а зависит

только от граничных условий в тот же момент: неустановившийся про­ цесс перераспределения давлений можно рассматривать как последо­ вательную смену стационарных состояний. В дальнейшем мы увидим, что в реальных условиях, поскольку пласты и насыщающие их жид­ кости не являются абсолютно несжимаемыми, неустановившиеся про­ цессы перераспределения пластового давления протекают совершенно иначе. Однако и для исследования реальных неустановившихся процес­ сов во многих случаях возможно использовать метод последовательной смены стационарных состояний.

Возвратимся к вопросу о возможности обобщить формулы данной главы на случай неустановившихся процессов при сохранении пред­ положения об абсолютной несжимаемости пласта и насыщающих его жидкостей.

На основании сказанного выше вполне очевидно, что если рк, рг, Рс заданы как функции времени, то остаются справедливыми все форму­ лы, выведенные в § 1-6 данной главы для определения дебита, а также формула давления, градиента давления и скорости фильтрации в лю­ бой точке пласта. Рассматривая величины рк, рг, рс, входящие в правые части формул как известные функции времени, получим и левые части как известные функции времени.

Необязательно задавать граничные давления как функции врем

ни.

В соответствующих формулах § 1-6 можно считать известными давления рк и рг или рк и рс, а дебит Q галлереи или скважины неиз­ вестным, но можно, наоборот, считать известными, например, рк и Q, а искать рг либо рс. В последнем случае при неустановившихся процес­ сах заданными функциями времени будут именно рк и Q.

Конечно, упомянутый метод замены постоянных величин Q, рк, рг. рс заданными функциями времени не применим к окончательным фор­ мулам законов движения, ибо при их выводе мы применяли процесс интегрирования по времени, считая величины рк, рг, Рс. Q существен­ но постоянными, см., например, формулы (11, IX), (42, IX), (43, IX), (61, IX). Однако, если в исходные формулы типа (10, IX), (38, IX), (39, IX), (59, IX) подставить величины рк, рг, рс, Q как заданные функ­ ции времени, соответственно разделить переменные t u x или t и г, то, выполнив интеграцию, легко найти законы движения вдоль траекторий в условиях неустановившихся процессов.

Гл а в а X

Простейшие случаи движения жидкости со свободной поверхностью

§ 1. Вводные замечания

Рассмотрим первый сверху (от поверхности земли) водоносный пласт, имеющий непроницаемую подошву (ложе) и не имеющий водо­ непроницаемой кровли. Зеркало вод находится под атмосферным дав­ лением, и если вода в пласте неподвижна, то зеркало горизонтально. Допустим, что водосборная галлерея или скважина (колодец) вскрыла такой пласт. При отборе жидкости из скважины или водосборной галлереи поверхность воды в пласте, не стесненная непроницаемой кровлей, искривится — понизится в направлении к месту отбора.

Движение воды в пласте в таких условиях называют движением со свободной поверхностью; поверхность воды, искривленную в процессе

еедвижения, называют поверхностью депрессии.

Внефтепромысловой практике могут встретиться и более сложные условия движения в пласте нефти со свободной поверхностью.

Например, нефть может залегать в продуктивном пласте, перекры­ том непроницаемой кровлей. Если давление в пласте незначительно и при эксплуатации скважины динамический уровень жидкости уста­ навливается ниже кровли пласта, то и в самом пласте, вблизи скважи­ ны, поверхность нефти окажется свободной — опустится ниже кровли; вдали от скважины нефть будет заполнять пласт по всей мощности, подпирая его непроницаемую кровлю1.

Весьма сложные условия движения нефти со свободной поверхно­ стью встречаются при эксплуатации подгазовой залежи нефти. Допу­ стим, что скважина вскрыла мощный пласт, в котором газ в свободном состоянии в виде газовой шапки залегает над нефтью. До начала отбо­ ра жидкости и газа из скважины газо-нефтяной контакт в пласте го­ ризонтален. При работе скважины свободная поверхность нефти — га­ зо-нефтяной контакт — искривляется; форма депрессионной поверхно­ сти будет зависеть от характера вскрытия пласта, от степени снижения

Движение жидкости в пласте при частично напорном, частично гравитацион­ ном режиме исследовано в работах [70] и [120].

давления на забое скважины и т. д. Давление на депрессионной поверх­ ности, конечно, не будет равно атмосферному. В простейшем случае, когда свободный газ не прорывается в скважину и движение нефти можно считать установившимся, давление во всех -точках депрессион­ ной поверхности практически будет оставаться постоянным, пренебре­ гая весом газа, и равным давлению в газовой шапке.

Итак, изучение движения жидкости со свободной поверхностью необходимо для решения различных проблем и в области гидрогеоло­ гии и в области нефтедобычи. Особый интерес теория движения жид­ кости со свободной поверхностью представляет для решения многих вопросов шахтной эксплуатации нефтяных месторождений и для при­ тока нефти к скважинам в условиях гравитационного режима.

В данной главе мы рассмотрим лишь простейшие фильтрационные потоки жидкости со свободной поверхностью, которые приближенно можно исследовать, сводя задачу к теории одномерного или радиаль­ ного потоков.

§ 2. Движение жидкости со свободной поверхностью к прямолинейной галлерее

Допустим, что горизонтальная водосборная галлерея вскрыла пер­ вый сверху водоносный однородный пласт, дойдя до горизонтального водонепроницаемого ложа. Пусть галлерея расположена параллельно границе открытого водоема, питающего пласт водой. Инфильтраци­ ей в пласт (сверху) атмосферных осадков пренебрегаем. Считаем, что галлерея и область питания (открытый водоем) имеют столь большую длину, что вдали от концов, ближе к середине, влияние этих концов не чувствуется, траектории в плане параллельны; при строгом теоре­ тическом анализе, схематизируя явления, галлерею и область питания следовало бы считать имеющими неограниченную длину.

На рис. 62 схематично изображено вертикальное сечение фильтра­ ционного потока: ADOF — сечение области питания, K R R 'K ' — се­ чение галлереи, FO RK — сечение пласта, F K — поверхность земли, OR — непроницаемое ложе, ВС — уровень жидкости в области пита­ ния, поддерживаемый на постоянной высоте /гк, CG и GG' — статиче­ ские уровни воды в пласте и в галлерее при отсутствии отбора воды из галлереи, NN' — динамический уровень воды в галлерее, поддержива­ емый на постоянной высоте /ir, CEN — сечение поверхности депрессии при установившемся отборе воды из галлереи.

Линию CEN называют депрессионной кривой. Расстояние между областью питания и галлереей обозначим через Ьк.

Рис. 62. Вертикальное сечение фильтрационного потока со свободной поверх­ ностью жидкости; приток к прямолинейной галлерее.

Описанные условия сложнее тех, с какими пришлось иметь дело в § 1 главы IX при исследовании одномерного артезианского потока (в условиях водонапорного режима). Действительно, в рассматривае­ мой сейчас задаче фильтрационный поток ограничен сверху не гори­ зонтальной кровлей пласта (как было в задаче § 1 главы IX), а депрессионной поверхностью, форма которой неизвестна; неизвестна также форма всех траекторий частиц движущейся жидкости и, следователь­ но, форма изобар.

Точное решение этой задачи вызывает большие математические трудности; простое приближенное решение было дано Дюпюи.

Для подсчета расхода жидкости и определения формы депрессионной кривой им введено следующее приближенное допущение: во всех точках любого вертикального сечения Е М пласта (сечение проводит­ ся параллельно галлерее) скорости фильтрации равны, весьма мало наклонены к горизонту и пропорциональны уклону свободной поверх­ ности в той точке, где она пересекается с сечением ЕМ . Он считал, что траектории движения приблизительно прямолинейны и горизонталь­ ны.

Строго говоря, движение жидкости со свободной поверхностью к прямолинейной галлерее не является одномерным — траектории не прямолинейны, скорость фильтрации и напор в какой угодно точке пла­ ста зависят не от одной, а от двух координат этой точки. Однако это приближенное допущение позволяет решать задачу методами теории одномерного движения.

§ 3. Движение жидкости со свободной поверхностью к скважинам

Допустим, что гидродинамически совершенная вертикальная сква­ жина вскрыла первый сверху водоносный однородный пласт, дойдя до горизонтального водонепроницаемого ложа.

Рис. 63. Вертикальное сечение фильтрационного потока со свободной поверх­ ностью жидкости; приток к скважине.

Предположим, что скважина расположена в центре пласта, окру­ женного областью питания со всех сторон; говоря точнее, считаем, что граница между областью питания и пластом имеет форму кру­ гового цилиндра, соосного скважине. На рис. 63 схематически изоб­ ражено вертикальное сечение ABCD пласта, проходящее через ось скважины 2; AD — поверхность земли, ВС — горизонтальное ло-

же. А'В'В А и DCC'D ' — сечения области питания, в которой уровень жидкости поддерживается на постоянной высоте hK.

Пунктирная линия E N F указывает положение статического уров­ ня воды (невозмущенного зеркала) в пласте и в скважине при отсут­ ствии отбора воды из скважины. NT — динамический уровень во­ ды в скважине, поддерживаемый при откачке на постоянной высо­ те hc, N W F и ТЕ — вертикальные сечения поверхности депрессии (воз­ мущенного зеркала воды) при установившемся отборе воды из скважи­ ны. Линии N W F и ТЕ называют депрессионными кривыми. Радиусы скважины и области питания обозначены через Rc и RK.

Как и в задаче предыдущего параграфа, формы депрессионной кривой, траекторий движения частиц жидкости и поверхностей рав­ ного напора заранее неизвестны; несомненно только, что траектории в плане прямолинейны.

При сформулированных условиях точное исследование задачи со­ пряжено с большими математическими трудностями; обычно предпо­ читают пользоваться приближенным методом.

Допустим, что в фильтрационном потоке проведены вертикальные цилиндрические поверхности, соосные скважине.

Принимается, что во всех точках каждой из упомянутых поверх­ ностей скорости фильтрации равны и весьма мало наклонены к гори­ зонту: траектории приближенно считают горизонтальными и прямоли­ нейными.

Такое приближенное допущение позволило использовать для ре­ шения задачи теорию плоского радиального движения. Действитель­ но, допустим, что линия M W является следом одной из упомянутых цилиндрических поверхностей; высота цилиндра M W = г, радиус ци­ линдра — г. Расход жидкости Q через эту цилиндрическую поверхность может быть вычислен с помощью следующей формулы, если движение жидкости в пласте подчиняется линейному закону фильтрации:

где v — скорость фильтрации в любой точке сечения M W ; эта скорость считается пропорциональной уклону свободной поверхности жидкости именно в точке W