1464
.pdfМ. Д. Миллионщиков предложил ввести в число Re и в коэффици ент гидравлического сопротивления Л вместо эффективного диаметра
частиц ds некоторую линейную величину I = у/тп и назвал эту ве-
личину внутренним масштабом породы. Произведя указанную заме ну, М.Д.Миллионщиков построил график IgA = /(lgR e), используя приведенные на рис. 40 результаты опытов по фильтрации в сцемен тированных песках. При такой замене все экспериментальные точки расположились около одной кривой. При этом критическое значение
числа Re = г оказалось равным:
ReKp. н = 0,022 (нижний предел),
ReKp. в =0,29 (верхний предел).
Таким образом, М. Д. Миллионщикову впервые удалось построить для фильтрации жидкостей график, аналогичный графику Никурадзе для движения жидкостей по трубам.
Следует подчеркнуть, что значения ReKp, полученные В. Н. Щелкачевым и М. Д. Миллионщиковым, нельзя сравнивать с критическими значениями числа Re (5, VII), ибо исходные формулы (15, VII) и (2, VII) различны.
До недавнего времени отклонения от линейного закона фильтра ции при Re > ReKp гидрогеологи и нефтяники объясняли переходом режима фильтрации от ламинарного к турбулентному. Однако сопо ставление критических значений чисел Re в трубной и подземной гид равлике не дает оснований для такого вывода. Действительно, полу ченные экспериментальные значения ReKp в трубной гидравлике имеют следующие величины:
вопытах по движению жидкости в обычных трубопроводах ReKp =
=2000-2300;
вопытах по движению жидкостей через трубы с усиленной и ис кусственной шероховатостью ReKp = 580-600;
вопытах Бочкова с четочными трубопроводами ReKp = 350;
вопытах с попеременно утолщающимися и утончающимися труб ками ReKp = 544.
Из приведенных данных видно, что в рассмотренных случаях вели чины ReKp, при которых имеет место переход от ламинарного движения жидкостей к турбулентному, в десятки и сотни раз больше эксперимен тально установленных критических значений чисел Re, при превыше нии которых наблюдаются отклонения от линейного закона фильтра ции.
Отсюда вытекает, что нарушение линейного закона фильтрации при фильтрации жидкостей и газов еще не означает перехода от лами нарного к турбулентному движению. Нельзя считать областью турбу лентного режима всю область значений параметра Re выше той гра ницы, при которой нарушается линейный закон фильтрации. Всякий фильтрационный поток, в котором справедлив этот закон, есть поток ламинарный, но не всякий ламинарный поток подчиняется этому зако ну. При больших скоростях фильтрации этот закон может нарушаться вследствие влияния сил инерции, возникающих в жидкости в резуль тате непрерывных, часто весьма резких, изменений направления и ве личины скорости ее движения; эти изменения обусловлены извилисто стью поровых каналов в пространстве и непрерывным изменением их поперечного сечения. Пока скорости движения, жидкости малы, эти инерционные силы ничтожны. Однако, начиная с некоторых значений скоростей соответствующих критическим значениям чисел Рейнольд са, силы инерции достигают таких величин, при которых их действие оказывает существенное влияние на фильтрацию и приводит к нару шению линейного закона фильтрации.
Таким образом, ламинарность фильтрационного потока может еще сохраняться и после того, когда вследствие влияния сил инерции этот закон нарушается.
Определение режима фильтрации жидкостей и газов представля ет не только теоретический интерес, но и имеет большое практическое значение, ибо без знания закона фильтрации в пласте, особенно вблизи забоя скважин, нельзя рассчитать возможные дебиты жидкости и га за, их изменения во времени при различных условиях эксплуатации скважин, а также невозможно определение параметров пласта (прони цаемость, пористость и другие) по данным исследования (испытания) нефтяных и газовых скважин.
§ 3. Нелинейные законы фильтрации
Выше было показано, что если при движении жидкости в пористой среде число Re превышает ReKp, то фильтрация не подчиняется линей ному закону фильтрации. Для некоторых данных жидкости или газа большие значения параметра Re могут иметь место либо вследствие высоких скоростей фильтрации, когда v > vKp, либо (при v < vKp) из-за больших диаметров частиц, слагающих пористую среду.
При эксплуатации совершенных скважин обычно скорости филь трации v < vKp и, следовательно, нельзя ожидать отклонения от линей ного закона фильтрации вследствие высоких скоростей фильтрации.
Однако в большинстве случаев скважины сообщаются с пластом не вдоль всей поверхности вскрытой части пласта, а лишь через некоторое количество простреленных в трубах небольших отверстий, суммарная площадь сечения которых во много раз меньше величины F = 2irDb.
В этих условиях в непосредственной близости от скважины (у вхо да жидкости в указанные отверстия) скорости фильтрации могут быть больше критических, что приводит к нарушению линейного закона фильтрации.
При относительно небольших скоростях фильтрации нарушение линейного закона фильтрации может иметь место в крупнозернистых и крупнотрещиноватых породах, т. е. при больших поперечных разме рах поровых каналов. Это подтверждается опытами по фильтрации жидкостей в крупнозернистых и трещиноватых породах.
Существует несколько эмпирических формул, предложенных раз личными авторами в качестве законов фильтрации, отличных от ли нейного закона фильтрации.
К числу таких формул можно отнести следующие.
П р о ф . П у з ы р е в с к и й , исходя из опытов по фильтрации в крупнообломочных материалах, вывел (в 1930 г.) такую формулу для скорости фильтрации:
v = 35Vi, |
(17, |
VII) |
где v — скорость фильтрации, см/сек, |
|
|
i — гидравлический уклон. |
|
|
И н ж . А. А. К р а с н о п о л ь с к и й |
[76] для фильтрации вод |
|
в трещиноватых породах предложил формулу: |
|
|
V = kKVi, |
(18, |
VII) |
где коэффициент Краснопольского кк определяется экспериментально. Поскольку в формуле (18, VII) между гидравлическим уклоном г (а сле довательно, и потерей напора на трение) и скоростью фильтрации v существует квадратичная зависимость, фильтрацию по закону Крас нопольского часто называют по аналогии с трубной гидравликой тур булентной фильтрацией.
На основании опытов с грубозернистым грунтом была выведена следующая формула:
v = s m ( m t f |
(19’ VII) |
где
где v — скорость фильтрации, см/сек, d — диаметр зерен породы, см\
i — гидравлический уклон; п — показатель степени,
0 ,8 -f- d |
|
|
п |
< 1. |
(20, VII) |
0,8 + 2d |
Из формул (19, VII) и (20, VII) видно, что с увеличением диамет ра зерен величина показателя степени уменьшается и, следовательно, отклонения от линейного закона фильтрации увеличиваются.
На основании данных опытных откачек был предложен закон фильтрации [160] в виде:
v = М п, |
(21, VII) |
где кс — коэффициент пропорциональности; г — гидравлический уклон;
Впоследствии стали считать, что величина показателя степени из меняется в пределах
1 > п ^ 0,5.
Численные значения кс и п в каждом случае определяются из опы
та.
Рассматривая формулы (17, VII), (18, VII), (19, VII) и (21, VII), легко видеть, что все они по существу совпадают с формулой (21, VII). Общей характерной особенностью для них является нелинейная зави симость между скоростью фильтрации v и гидравлическим уклоном г,
а следовательно, и градиентом давления dp отличающимся от г на
постоянный множитель 7 (удельный вес жидкости).
Показатель режима фильтрации п во всех указанных законах фильтрации определяется неравенством (22, VII), причем п принима ется постоянной величиной.
Для движения подземных вод была предложена более общая дву
членная формула [175]: |
|
г = a\v + Ъ\У2, |
(23, VII) |
где г — гидравлический уклон; v — скорость фильтрации;
а и Ъ— постоянные, определяющиеся экспериментально.
Формула (23, VII) совпадает с полученной ранее формулой (8, VII), справедливой для фильтрации жидкостей при Re > ReKp. При весьма малых значениях v величиной b\v2 можно пренебречь, как малой по сравнению с a\v. Тогда формула (23, VII) превращается в линейный
закон фильтрации. При .больших скоростях фильтрации a\v <£ b\v2,
следовательно, можно принять г = b\v2, что дает v = 01 |
т . е. форму- |
ла (23, VII) обращается в закон фильтрации Краснопольского (18, VII). Все приведенные в настоящем параграфе законы фильтрации яв ляются эмпирическими и содержат ряд постоянных коэффициентов, величина которых определяется экспериментально. Более ясное пред ставление о факторах, определяющих величину указанных коэффици ентов, можно составить из рассмотрения приводимого в следующем па раграфе общего выражения законов фильтрации, полученного на осно
ве использования принципа однородности размерностей.
§ 4. Вывод законов фильтрации, основанный на использовании принципа однородности
размерностей
На основании приведенных в главах V, VI и VII теоретических соображений и экспериментальных данных можно полагать, что ско рость фильтрации зависит от проницаемости пористой среды к, свойств жидкостей — абсолютной вязкости /х и плотности д и градиента давле
ния |
Представим модуль скорости фильтрации жидкости или газа |
||||
в виде: |
|
dp |
|
|
|
|
= скарРд6 |
(24, |
VII) |
||
|
|
|
dL |
|
|
где |
с — постоянный безразмерный коэффициент; |
|
|
||
|
п — показатель режима фильтрации; |
|
|
||
а, /3 и 6 — постоянные числа. |
|
|
|
|
|
|
Размерности величин, входящих в уравнение (24, VH), таковы: |
||||
|
[v]= L T ~ \ к = |
[L]2; |
ld\ = M L ~ lT - 1; |
|
|
|
[в] = M L - 3; |
dp |
= M L ~2T ~2 |
|
|
|
dL |
|
|
||
|
Подставляя в формулу (24, VII) вместо входящих в нее величин |
||||
соответствующие им размерности, получим: |
|
|
|||
|
= М 0 + а + п [ 2 ° t - p —36—2n rji—p —2п |
(25, |
VII) |
||
|
|
|
|
||
Так как, согласно принципу однородности размерностей, показате ли степени при М, L и Т в левой и правой частях уравнения (25, VII)
должны быть одинаковы, то, приравнивая их, получим следующие три уравнения:
Р + 6 + п = О, |
|
2а —/ ? - 3 5 - 271 = 1, |
(26, VII) |
—/3—2п = —1. |
|
Решая совместно уравнения (26, VII), находим: |
|
а = ~ 2 ~\ /? = 1 —2п и * = п —1. |
|
Подставляя эти значения а, /3 и 5 в формулу (24, VII), получим сле дующее общее выражение для скорости фильтрации жидкости или газа:
З п -1 |
1 Ф |
(27, VII) |
|v| = ck 2 р}~2пе' |
||
|
dL |
|
Для определения значения коэффициента с используем следующей обстоятельство: когда скорость фильтрации достигает критической ве личины (v = г>кр), она может быть определена по линейному закону фильтрации (поскольку он остается еще справедливым, ибо отклоне
ния от этого закона начинаются при v > |
vKp) по формуле (27, VH), |
||
а также на основании критического значения числа Re. |
|
||
Согласно линейному закону фильтрации, имеем: |
|
||
dp |
(28, |
VII) |
|
dL |
|||
|
|
||
Приравнивая формулы (27, VH) и (28, VH), находим величину с: |
|||
З п -1 |
(29, |
VII) |
|
с = |
|||
Найдем критическую скорость vKp, исходя из выражения для кри тического значения числа Re.
Если определение величины эффективного диаметра частиц с£э не представляет большого труда, то для определения vKp можно восполь
зоваться формулой (2, VII), из которой |
|
г>кр = -j-ReKp, |
(30, УП) |
где величина ReKp дается формулой (5, VII). |
|
9 Подземная гидравлика
Если определение затруднено или коллектор представлен из вестняками либо доломитами, то определяем vKp из формулы (15, VII):
(37'™>
где величина Еекр дается формулой (16, VII).
Приравнивая уравнения (37, VII) и (28, VII), определяем модуль
градиента давления: |
|
|
|
|
dp |
m2> V |
Re,кр- |
(38, VII) |
|
dL |
ЮрА;/2 |
|||
|
|
Подставляя значение (38, VII) в уравнение (29, VII), находим по
стоянную с:
1—П
m2'3ReKp
с = (39, VII) Го
Внося это значение с в формулу (27, VII), получим:
Зп—1 |
(40, VII) |
Н = (0, lm 2,3ReKp)1_nA: 2 fi1~2ngn~l |
Формулы (40, VII) и (36, VII) представляют обобщенный закон фильтрации жидкостей и газов, выведенный на основе принципа одно родности размерностей и справедливый для любых значений чисел Re1.
Давая показателю режима фильтрации п различные значения, из формул (40, VII) и (36, VII) найдем, как частные случаи, уже известные нам законы фильтрации.
При п = 1 \v\ = ^ |
dp |
т. е. мы получим линейный закон филь |
|||
трации. |
dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приравнивая уравнения (40, VII) и (36, VII) к полученному эмпи |
|||||
рически закону фильтрации (21, VII), найдем величину коэффициента |
|||||
пропорциональности кс. |
|
|
|
|
|
Из уравнений (40, VII) и (21, VII) имеем: |
|
|
|||
dp |
|
3n—1 |
^ -2 п дп-1 |
dp |
|
= |
(0, lm 2’3ReKp)nfc 2 |
||||
v = kcin = |
|
dL |
|||
dL |
|
|
|
||
1 Формула (40, VII) выведена В. H. Щелкачевым в 1942 г. Формула (36, VII) вы ведена Б. Б. Лапуком в 1945 г.
откуда (учитывая, что 7 = дд, где д — ускорение силы тяжести)
З п - 1 |
(41, VII) |
кс = (0, lm 2-3Re-Kp)fc 2 /ii - 2ne?n -ifln> |
Аналогично из уравнений (36, VII) и (21, VII) получим:
1 ~ п |
З п - 1 |
|
fcc = Slx 2 к |
2 ц12пв2п~1дп. |
(42, VII) |
Формулы (41, VII) и (42, VII) показывают, что коэффициент про порциональности кс зависит как от свойств пористой среды (проница емости к и пористости т) и свойств жидкости или газа (вязкости р и плотности g), так и от показателя режима фильтрации п. Посколь ку при увеличении скорости фильтрации сверх критической влияние инерционных сил сказывается все более значительно, величина показа теля степени и с ростом v будет уменьшаться, а следовательно, в этих условиях коэффициент пропорциональности является переменной ве личиной, зависящей от скорости фильтрации, а, значит, и от градиента давления, числа Re, поскольку для данных пористой среды и жидкости
каждому значению v соответствует определенное значение |
и Re. |
dJL
При показателе режима фильтрации п = i из формул (40, VII)
и(36, VU) получаем закон турбулентной фильтрации жидкостей
игазов соответственно в виде:
М = yjo, lm 2>3ReKp£? Vk J ^ |
(43, Vn) |
и |
|
M = Vshk |
(44, VII) |
Рассмотрение формул (43, Vn) и (44, VII) показывает, что в от личие от фильтрации по линейному закону при турбулентной филь трации скорость фильтрации зависит от плотности и не зависит от вязкости.
Подставляя в формулы (41, VII) и (42, VII) п = i , соответственно получим:
kK = ^/0, lm 2’3ReKp5 </k |
(45, VII) |
и
kK=i/ S h kV g. |
(46, УП) |
Формулы (45, VII) и (46, УП) дают величину коэффициента Крас нопольского fcK, входящего в эмпирическую формулу (18, УП). Они
показывают, что коэффициент Краснопольского пропорционален \/к и зависит только от свойств пористой среды (не зависит от свойств фильтрующихся жидкостей).
В заключение отметим, что из уравнений (40, VII) и (36, VII) вид но, что величина показателя режима фильтрации п не может быть меньше половины. Действительно, скорость фильтрации v пропорцио
нальна абсолютной вязкости \хв степени 1—2п; при п < i, (1 - 2п) > О,
т. е. выходит, что чем больше вязкость жидкости, тем, при прочих рав ных условиях, скорость фильтрации больше, что с физической точки зрения абсурдно.