1464
.pdfЕсли к моменту времени t падение давления распространилось на расстояние гк от скважины, тогда масса жидкости, извлеченной из пла ста за последующий промежуток времени dt, равна QMdt, причем
QMdt = d [ft{gK- в)]- |
(50, XI) |
Правая часть уравнения (50, XI) представляет изменение массы жидкости, извлеченной из пласта с начала разработки за время dt.
Подставим в уравнение (50, XI) значения QM и Г2 из фор мул (28, XI) и (37, XI) и введем переменные Д* и £ и величину е, значения которых даются формулами (40, XI).
Тогда
^£) dt = *bmRlgKd [(R ? - 1)(1 - £)]•
Подставляя в это уравнение вместо (1 — £) его значение из формулы (46, XI) и учитывая, что при постоянном противодавле нии рс = const, дс = const и е = const, после сокращения на 7гЬдк(1 — е) получим:
2k 0 dt = \nR*d |
( К 2 - 1) |
21пД; Д*2 - 1 |
mPnR2c |
|
что после раскрытия скобок и нахождения полного дифференциала дает:
2к ■dt=\ К |
|
д ;2 - 1 |
|
dR'K- |
|
|
|
2Д* In Д* |
|
||
Но согласно формуле (48, XI) |
|
|
|
||
2fe |
|
dt -- dr, |
|
|
|
тпубдД2 |
|
|
|||
следовательно, |
|
Д*2 - 1 |
|
|
|
dr = R : |
|
dRК*) |
|||
2Д* In Д* |
|||||
|
|
|
|||
причем при t = 0; т = 0; R* = 1.
Отсюда безразмерное время равно: |
|
||||
т = |
|
к |
к |
2 - 1 \ i j r |
|
|
2К |
in* ; ) |
к |
||
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
(51, XI) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
*2 |
|
- / |
Д к 2 ~ 1 |
|
2 |
д: |
|
2RI Inд? |
|
|
Рис. 67. Зависимость безразмерного радиуса воронки депрессии от без размерного времени т в случае эксплуатации скважины при постоянном про тиводавлении (рс = const).
Выполнив интегрирование, получим:
1 2п(1пд;)п
п ! п
При значительных величинах R* входящий в правую часть фор мулы (52, XI) ряд сходится медленно. Поэтому более удобно величину интеграла (51, XI) найти графически.
Т а б л и ц а 8
Значения безразмерного радиуса воронки депрессии R £ = -R=г
Ас
и безразмерного дебита сжимаемой жидкости Q* = 2пkb(pK - |
рс) |
|||||
в различные моменты безразмерного времени т = |
2к - |
1 при |
||||
|
|
|
|
|
m/Зр+ жЯс |
|
|
постоянном противодавлении на скважине |
|
||||
К |
Q* |
т |
К |
<?• |
т |
|
1,15 |
7,1582 |
0,01103 |
40 |
0,27108 |
671,97 |
|
1,25 |
4,4822 |
0,03043 |
50 |
0,25562 |
1062,9 |
|
1,35 |
3,3322 |
0,059105 |
60 |
0,24424 |
1554,4 |
|
1,45 |
2,6917 |
0,047345 |
70 |
0,23538 |
2116,6 |
|
1,55 |
2,2821 |
0,14456 |
80 |
0,22821 |
2779,7 |
|
1,65 |
1,9984 |
0,20082 |
90 |
0,22223 |
3534,1 |
|
1,75 |
1,7870 |
0,26605 |
100 |
0,21714 |
4380, 3 |
|
1,85 |
1,6255 |
0,34019 |
200 |
0,18873 |
17894 |
|
1,95 |
1,4975 |
0,42317 |
300 |
0,17532 |
40635 |
|
2,0 |
1,4428 |
0,46797 |
400 |
0,16690 |
72651 |
|
2,5 |
1,0913 |
1,0360 |
500 |
0,16091 |
113970 |
|
3,0 |
0,91025 |
1,8209 |
1000 |
0,14476 |
460820 |
|
3,5 |
0,79828 |
2,8214 |
2000 |
0,13157 |
1858800 |
|
4,0 |
0,72134 |
4,0375 |
5000 |
0,11741 |
11721000 |
|
4,5 |
0,66489 |
5,4684 |
7000 |
0,11295 |
23032000 |
|
5,0 |
0,62135 |
7,1155 |
10000 |
0,10857 |
47125000 |
|
5,5 |
0,58661 |
8,9927 |
12000 |
0,10760 |
67937000 |
|
6,0 |
0,55809 |
11,056 |
15000 |
0,10400 |
106300000 |
|
7,0 |
0,51496 |
15,861 |
30000 |
0,09700 |
427000000 |
|
8,0 |
0,48091 |
21,533 |
60000 |
0,090851 |
1714300000 |
|
9,0 |
0,45512 |
28,075 |
80000 |
0,088581 |
3051600000 |
|
10,0 |
0,43429 |
35,489 |
100000 |
0,086858 |
4772800000 |
|
В табл. 8 приведены определенные таким образом значения т, от вечающие различным Д*. На рис. 67 приведена кривая зависимости безразмерного радиуса воронки депрессии R* от безразмерного време ни т, построенная по данным табл. 8.
Отметим, что формулы (51, XI) и (52, XI) полностью совпа дают с формулой И. А. Парного [189]. И. А. Парный указывает, что
при Д* > 1,0513 |
(2 InД* > 0,1), |
|
|||
.2 |
|
Як |
|
|
|
|
[ |
д ;2 ~ 1 |
|
|
|
ДК |
1 |
J |
2Д* InД* |
ЙД* = Д*2 + In 10а - Ei(a) - 2,7253, |
|
|
|
1 |
|
|
|
где |
|
|
|
a = 21ni?*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
(53, XI) |
|
|
|
Яг(а) = / |
||
|
|
|
' |
||
-о о
Интеграл (53, XI) представляет интегральный экспоненциал — та булированную функцию3.
Рассмотрение формул (48, XI), (49, XI) и (52, XI) показывает, что изменение во времени t величины RKрасширяющегося радиуса воронки депрессии не зависит от величины давления на скважине рс» а следо вательно, и от величины депрессии (рк —рс)4.
Из формулы (48, XI) имеем:
тРрЩ
(54, XI)
2к
Из уравнения (54, XI) видно, что продолжительность времени £, в течение которого радиус воронки депрессии достигнет величины R*, прямо пропорциональна пористости пласта га, коэффициенту объемно го упругого расширения жидкости /?, ее абсолютной вязкости /х и обрат но пропорциональна коэффициенту проницаемости пласта к.
При решении задач о неустановившейся радиальной фильтрации сжимаемой жидкости при постоянном противодавлении на скважине порядок вычислений следующий: задаемся интересующим нас момен том времени t и по формуле (48, XI) находим соответствующее этому моменту времени значение безразмерного времени т. Далее, по приве денному на рис. 67 графику или по табл. 8 находим величину радиуса воронки депрессии R*, отвечающую указанному значению т. Зная ве личину находим по формуле (28, XI) или по формуле Дюпюи дебит
3Таблицы функции E i(a) имеются, например, в книге Е . Я н к е и Ф . Э м д е
«Таблицы функций с формулами и кривыми». Огиз, 1948.
4Приведенный радиус (в противоположность условному) не зависит от возмуща ющего импульса.
скважины, а по формуле (23, IX) распределение давления р в пласте:
г \ _ |
27гкЪ Р к —Рс |
* |
|
Ч ~ |
Р |
\nR* |
|
|
Р к |
Рс |
5 |
Р = Рс +
In К
где Дс < t < RK.
Затем задаемся новым значением времени t и аналогичным пу тем находим соответствующие -ему величины Q и р = р(г) и т. д. По скольку с течением времени величина J?* увеличивается, дебит сква жины Q и давление р уменьшаются, несмотря на постоянство депрес сии Ар = рк - Рс.
Сравнение изложенных в настоящем параграфе приближенных решений с точным решением задачи о неустановившейся радиальной фильтрации сжимаемой жидкости (см. главу XXII), произведенное И. А. Чарным (для случая, когда расстояние до контура области пита ния равно 5Rc и Б.БЛапуком и В. А. Евдокимовой (для случая, когда расстояние до контура области питания равно 105ДС), показало весьма близкое совпадение (максимальные значения отклонений в величинах дебитов составили соответственно ~ 10% и ~ 3%).
Определим массу жидкости <2ДОб. м, извлеченной из пласта к тому моменту времени Т, когда воронка депрессии достигнет контура обла сти питания пласта, радиус которого обозначим через RKn.
Согласно уравнениям (36, XI) и (50, XI) имеем:
т'
фдоб. М = J Qudt = >Г?КП(^К —о) = 4?кп£к(1 "" £),
о
где
Пкп= тг(Дкп - Rc)bm. |
(55, XI) |
Разделив массу жидкости QAOe. м на ее плотность при атмосфер ном давлении рат получим объем QA06 жидкости, извлеченной из пласта к моменту времени Т:
<?доб = Ц < „ # Ч 1 - 0 - |
(*6’ XI) |
5По этой формуле нельзя находить распределение давления. Эта формул^ опре деляет только распределение фиктивного давления.
Подставляя в уравнение (56, |
XI) вместо J?Kn и (1 - |
£) значения из |
|||||||
формул (55, XI) и (46, XI) и обозначая R*n = |
получим: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Нс |
|
|
Л |
_ ъг2сЪтвк |
|
^ Дк2п - 1 |
|
(57, XI) |
||||
Здоб ~ ----вГт---- ^ |
® |
21пД*п |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из уравнения состояния жидкости (2, XI) следует, что |
|||||||||
|
е |
= |
£ с = |
е£(р<-р..т) |
е -/3(рк- р с) |
|
|
||
|
|
|
0К |
е@(Рк-р&т) |
|
’ |
|
||
НО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е - 0 ( . Р к - Р с ) = |
! _ Р |
( р к |
- р с ) |
+ 1 |
/32 ( р к |
_ р с ) 2 _ 1 |
^ |
_ Р с ) 3 + |
|
Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, что вследствие ма лости (3дает точность, вполне достаточную для практических расчетов, получим:
или |
£ = 1 - / 3 ( р к ~ Р с ) 1 |
(58, XI) |
||
1 -£ ^ / 3 (р к - р с) . } |
||||
|
|
|||
|
Подставляя это значение (1 — е) |
в уравнение (57, XI) и учитывая, |
||
что с достаточной для практических целей точностью можно принять
£к ^ |
1 |
|
|
£ат |
|
|
|
получим: |
|
|
|
<Здоб = 7Гr2bmP(pK - Рс) |
К 1 - 1 |
(59, XI) |
|
21пД* |
|||
|
|
Из уравнения (59, XI) видно, что количество жидкости, извлечен ной из пласта в течение первой фазы неустановившейся фильтрации, прямо пропорционально мощности b и пористости 771 пласта, коэффици енту объемного упругого расширения жидкости (3 и депрессии (рк —рс) и существенно зависит от размеров пластовой водонапорной системы, определяемых величиной R*n.
§ 4. Неустановившаяся одномерная фильтрация сжимаемой жидкости
Пусть пласт вскрыт не скважиной, а прямолинейной галлереей. Модель пласта представлена на рис. 53а. При отборе жидкости из галлереи давление в ней будет меньше первоначального давления рк. Вследствие этого в пласте начнется первая фаза неустановившейся фильтрации жидкости, сущность которой рассмотрена нами в нача ле § 3. Рассмотрим задачу о первой фазе неустановившейся одномер ной фильтрации сжимаемой жидкости в двух случаях: 1) когда дебит галлереи постоянен и 2) когда приток жидкости происходит при посто янном противодавлении.
Для приближенного решения указанных задач воспользуемся ме тодом последовательной смены стационарных состояний.
1. Случай, когда дебит галлереи является постоянным
Пусть за время t, истекшее с начала отбора жидкости из галлереи, падение давления распространилось на расстояние х к от галлереи. То гда масса жидкости, извлеченной из пласта за это время, равна QM£, где <?м = const. С другой стороны, масса извлеченной из пласта жид кости равна изменению массы жидкости, находящейся в пласте.
Следовательно, можно написать уравнение (36, XI):
Qut = f2 (0 K -0 .), |
(36, XI) |
где Q — объем порового пространства области пласта, на которую рас пространилась воронка депрессии:
|
Q = m FxK; |
|
(60, XI) |
||
дк — плотность жидкости |
в точках пласта, для |
которых координата |
|||
х ^ Хк, QK — const, |
объему |
i? |
плотность |
жидкости, которая |
|
£ — средневзвешенная по |
|||||
в условиях одномерного движения выражается в виде |
|||||
|
|
+ QK |
|
(61, XI) |
|
|
|
2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
||
где дг — плотность жидкости у входа в галлерею. |
|
|
|||
Подставляя в уравнение (36, XI) вместо QM, |
и д их значе |
||||
ния (9, XI), (60, XI) и (61, XI), получим: |
|
|
|||
kF(eK - |
gr) |
m FxK(gK Qr) |
|
|
|
Р^Хк
что дает |
mfifi |
|
|
|
|
|
(62, |
XI) |
|
= ~2кГХк |
|
|||
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
х к — |
2k |
t |
(63, |
XI) |
т/Зр |
|
|||
|
|
|
|
|
Зная величину хк, легко найти давление в галлерее рг. Объемный |
||||
расход жидкости равен: |
|
|
|
|
п — |
|
|
(61, |
XI) |
4 ~ V |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Qn _ |
(65, |
XI) |
|
Рг = Р к - kF |
к |
|||
2.Случай, когда в галлерее поддерживается постоянное
противодавление
В указанном случае уравнение материального баланса дается фор мулой (50, XI). Подставляя в уравнение (50, XI) значения QM, ft и g из формул (9, XI), (60, XI) и (61, XI) и учитывая, что при рг = const, gr = const, имеем:
kF(gK - |
gr) |
mF(gK- |
gr) |
||
-r |
at — |
|
-z |
ax, |
|
(3pxK |
|
|
|
l |
|
откуда |
_ |
m(3g, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
at — |
2^. |
хкахк. |
|
|
Интегрируя полученное уравнение по хк в пределах от 0 до хк |
|||||
и по t от 0 до £, находим: |
|
|
|
|
|
|
_ |
гпрр |
2 |
|
|
|
“ |
4к |
Хк’ |
|
|
что дает |
|
|
|
|
|
|
хК = 2 |
|
к |
(66, XI) |
|
|
тп(3ц t. |
|
|||
Подставляя значение х к из формулы (66, XI) в формулу (64, XI), найдем изменение во времени объемного расхода жидкости (дебита галлереи).
Как видно из формул (63, XI) и (66, XI), в рассмотренных условиях одномерного движения расстояние х к от галлереи до границы области падения давления в пласте пропорционально корню квадратному из времени t.
Определим массу жидкости Сдоб. м , извлеченной из пласта к мо менту времени T i когда область падения давления распространится до контура питания пласта, расстояние до которого обозначим LK.
С д о б . М — & кп{@ к 0 ) l
где
Дсп — TTIF LK.
Или
Сдоб.м — Д сп (£ к О) — Q).
Подставляя вместо g его значение из формулы (61, XI), получим:
|
m FLK(gK— gr) |
i |
LKgK[l £ ), |
Сдоб, м — |
2 |
— 2 |
где
е0г_ вк
Но согласно формуле (58, XI)
1 “ £ = Р {вк ~ вг),
следовательно,
Сдоб, м — 2 m FLKgKp(pK—р г ).
Разделив Сдоб, м на плотность жидкости д&Тпри атмосферном дав
лении и принимая ^ = 1 получим объем жидкости Сдоб извлеченной
за время Т :
Одоб = | m FLKl3{pK- рг) = | Я кп/3(Рк - Р г). |
(67, XI) |
Как видно из формулы (67, XI), этот объем жидкости прямо про порционален объему порового пространства пласта 12кп, коэффициен ту объемного упругого расширения жидкости (3 и величине депрес сии (рк - р г).
Сравнение изложенного приближенного решения задачи о неустановившейся одномерной фильтрации с точным решением (см. И. А.Пар ный [189]) показало, что в случае рг = const расхождение в величине дебита жидкости составляет около 11%, причем полученные по форму лам (64, XI) и (56, XI) значения дебита жидкости являются занижен ными.
Приближенное решение задач о неустановившейся фильтрации сжимаемой жидкости методом последовательной смены стационарных состояний при условиях, когда дебит жидкости или давление на сква жине (или в галлерее) являются заданной функцией времени, дается в книге И. А.Чарного [189].
§5. Приближенное решение задач
онеустановившемся движении сжимаемой жидкости в упругом пласте
Как отмечалось в главе II, при падении давления в пласте про исходит не только расширение жидкости, но и изменение объема порового пространства вследствие упругости слагающих коллектор гор ных пород. В. Н. Щелкачевым [219] введено понятие о коэффициенте, упругоемкости пласта /?*, показывающем, какую долю от выделенного элемента объема пласта составляет объем жидкости, вытекшей из ука занного элемента при снижении давления в нем на 1 am. Коэффициент упругоемкости связан с коэффициентом объемного упругого расшире ния жидкости (Зж следующим образом:
/?* = р(Зж+ /Зс1,
где т — пористость пласта, а /?с — коэффициент сжимаемости пористой среды.
Разделив коэффициент упругоемкости (3* на пористость пласта т найдем величину /?', показывающую, какую долю от объема порового пространства элемента пласта составляет объем вытекшей из него жидкости при снижении давления на 1 am:
0' = m f = P ~ + m&- |
<68’ Х1> |
Коэффициент /?', зависящий от упругости жидкости и упругости пористой среды, можно рассматривать как некоторый коэффициент
^ м . главу XXII, а также книгу В. Н. Щелкачева [219].
1S Подземная гидравлика