1464

Сопоставим установленный экспериментально линейный закон фильтрации [формула (4, VI)] с обобщенным выражением закона филь­ трации, полученным аналитически [формула (13, V)]:

Формула (9, VI) является общим выражением для коэффициента фильтрации, показывающим влияние различных факторов на его ве­ личину. Рассмотрение формулы (9, VI) показывает, что коэффициент фильтрации прямо пропорционален квадрату эффективного диаметра слагающих пласт частиц, зависит от пористости и структуры порового пространства [поскольку [Sl= /(га,£)] и от свойств жидкости. Коэффи­ циент фильтрации обратно пропорционален абсолютной вязкости жид­ кости и прямо пропорционален ее удельному весу. Так как с увеличе­ нием температуры вязкость жидкостей резко понижается, а плотность их уменьшается мало, то коэффициент фильтрации должен резко воз­ растать, что и было подтверждено экспериментально.

Существуют различные формулы для определения величины ко­ эффициента фильтрации кф. К числу их относятся формулы Замарина, Зауэрбрея и др. Описание этих формул и их применения даются в книге акад. Л. С. Лейбензона [100]. Все эти формулы по существу совпадают с формулой (9, VI), в каждой из них лишь по-разному выражено чис­ ло S1 как функция пористости. В качестве примера приведем формулу:

£

k * = ° f >

где кф — коэффициент фильтрации, см/сек,

<4 — эффективный диаметр частиц (см. § 3 главы IV);

р— абсолютная вязкость жидкости, пуазы. Коэффициент с из­ меняется в широких пределах.

с = 2,00 — для песков, составленных из округленных зерен почти одинакового диаметра.

Для воды формула имеет вид:

кф =75cgc(0,70 + 0,03*),

т. е. скорость фильтрации прямо пропорциональна коэффициенту к. Очевидно, что коэффициент fc, входящий в закон фильтрации

(11, VI) и зависящий только от свойств пористой среды, как раз и ха­ рактеризует ее свойство пропускать сквозь себя жидкости или газы, т. е. проницаемость. Поэтому коэффициент к называется коэффициен­ том проницаемости пористой среды.

Сопоставление формулы (11, VI) с экспериментально полученной формулой (4, VI) оказывает, что эмпирически линейный закон филь­ трации целиком совпадает с полученным аналитически законом филь­ трации (11, VI), в котором вместо коэффициента фильтрации, зави­ сящего от свойств пористой среды и жидкости, введен коэффициент проницаемости, зависящий лишь от геометрических свойств пористой среды и не зависящий от свойств жидкостей.

Таким образом, формула (11, VI) является линейным законом фильтрации.

Формула (10, VI), введенная нами [91] в 1940 г., является общим выражением для коэффициента проницаемости, показывающим влия­ ние различных факторов на его величину.

Как видно из общего выражения для коэффициента проницаемо­ сти, величина к пропорциональна числу S1 и квадрату эффективного диаметра слагающих пористую среду частиц.

Из формулы (10, VI) непосредственно следует, что коэффициент проницаемости имеет размерность площади, поскольку число S1 есть величина безразмерная. Таким образом,

[fc] = L2

в отличие от коэффициента фильтрации, имеющего размерность ско­ рости.

Что коэффициент проницаемости имеет размерность площади, легко убедиться также, решив уравнение (11, VI) относительно к:

Е д и н и ц а п р о н и ц а е м о с т и — д а р с и . Умножив скорость фильтрации v на площадь F, получим расход жидкости;

kF Др

(13, VI)

4 Р ЛЬ'

Решая это уравнение относительно проницаемости к, имеем:

Очевидно, что при Q = 1, /х = 1, ЛЬ = 1, F = 1 и Ар = 1 коэффи­ циент проницаемости к = 1. Отсюда вытекает физическое определение единицы проницаемости пористой среды.

За единицу проницаемости пористой среды принимается проница­ емость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью в 1 см2 и длиною в 1 см при перепаде давления в 1 am расход жидкости вязкостью в 1 сантипуаз составляет 1 см3/ сек. Про­ ницаемость такой пористой среды равна 1 дарси и в дальнейшем обо­ значается д.

Если при тех же условиях расход жидкости составил не 1 см3/сек, а, скажем, 0,5- 0,1 см3/сек, то проницаемость такой пористой среды равна соответственно 0,5 или 0,1 д и т.д. Один дарси разделяется на более мелкие части.

0,1 дарси называется децидарси и обозначается дд

0,01 дарси « сантидарси, сд

0,001 дарси « миллидарси, мд.

Поскольку коэффициент проницаемости не является безразмерной величиной, то размерность его зависит от применяемой для соответ­ ствующих вычислений системы единиц.

В вертикальных графах табл. 3 приведены размерности различных величин входящих в формулы подземной гидравлики. Эти размерности должны строго соблюдаться при выполнении вычислительных работ в указанных в табл. 3 системах единиц.

Выведем формулы пересчета значений коэффициента проницае­ мости для перехода из одной системы единиц в другую. Назовем си­ стему единиц в которой проницаемость пористой среды имеет раз­ мерность дарси, смешанной системой (см. табл. 3). Обозначим че­ рез А;т, /сфиз и кс величины коэффициентов проницаемости соответ­ ственно в технической, физической и смешанной системах единиц.

Тогда из формулы (14, VI) и табл. 3 следует, что

= 1,02 •10-8[fc]*„3 = 1,02 •10" 12[А:]т;

следовательно,

Уравнения (15, VI) позволяют сопоставить величины единиц про­ ницаемости пористой среды, выраженных в различных системах еди­ ниц. Из рассмотрения приведенных равенств видно, что наиболее мел­ кой единицей является д. Один д приближенно равен одному квадрат­ ному микрону (точнее 1,02 •10” 12лс2).

Из уравнений (15, VI) легко получить интересующие нас форму­ лы пересчета. Чем мельче единицы, тем больше будет выражающее результаты измерений ими число этих единиц, поэтому:

Формулы (16, VI) позволяют, зная проницаемость пористой среды, выраженную в одной системе единиц, найти величину проницаемости этой среды, выраженную в другой системе единиц1. При решении боль­ шинства задач подземной гидравлики наиболее удобно пользоваться смешанной системой единиц.

ХВ ряде случаев [120 и др.] за 1 am принимается не техническая атмосфе­

ра (104 кг/л*2), а физическая атмосфера (1 ,0 3 3 -104 кг/л*2), что соответствует дав­ лению 760 л*л* рт. ст.). При выводе формул (16, VI) принято, что 1 ат = 104 кг/м2

(что соответствует давлению 735 л*л* рт. ст.).

Зная величину коэффициента проницаемости, легко определить величину коэффициента фильтрации. Подставляя в формулу (9, VI) вместо dl S1 величину к [в соответствии с формулой (10, VI)], получим уравнение, устанавливающее связь между коэффициентом фильтрации и коэфициентом проницаемости:

ния (14, VI). Через образец породы площадью сечения F и длиною ЛЬ прокачивается жидкость, абсолютная вязкость которой /х (при темпе­ ратуре опыта) должна быть известна. Измерив при помощи маномет­ ров величину перепада давления Ар на длине ЛЬ и замерив расход жидкости Q, по формуле (14, VI) определяют величину коэффициента проницаемости к.

Размерность к зависит от системы единиц, в которой выражены величины Q, р, Ар, ЛЬ, F. Наиболее удобно пользоваться смешанной системой единиц (см. табл. 3), при применении которой величина к по­ лучается в д.

При лабораторном определении коэффициента проницаемости необходимо убедиться, что фильтрация жидкости происходит по ли­ нейному закону фильтрации. Это легко сделать, построив график за­ висимости Q = Q(Ap).

Поскольку по этому закону (см. формулу [13, VI]) между деби­ том Q или скоростью фильтрации v и перепадом давления Лр суще­ ствует линейная зависимость, то, отложив по оси ординат значения Q, а по оси абсцисс соответствующие им значения Лр, получим прямую линию, свидетельствующую о том, что фильтрация происходит по ли­ нейному закону фильтрации. Если линия Q = Q(Ap) окажется кривой, то это указывает на наличие отклонений от этого закона, а следова­ тельно, определение величины коэффициента проницаемости по осно­ ванной на этом законе формуле (14, VI) в этих условиях недопусти­ мо.

При наличии на кривой Q = Q(Ap) начального прямолинейно­ го участка определение величин к должно производиться по значени­ ям Q и Лр, лежащим в пределах этого прямолинейного участка кривой.

Существуют различные конструкции приборов для определения коэффициентов проницаемости. Описание устройства этих приборов

и методики пользования ими даются в книгах Ф.И. Котяхова [75], М. Ф.Мирчинка [128] и Ф. А.Требина [172]

Приведем пример определения коэффициентов проницаемости и коэфициента фильтрации.

Пример. Определить величины коэффициента проницаемости к и коэфициента фильтрации кф образца пористой среды, представлен­ ного кварцевым песком, на основании следующих данных:

длина образца ЛЬ = 20 см\

площадь поперечного сечения образца F = 4,9 см2;

расход жидкости Q = 2 см3/мин = 0,0333 см3/сек; перепад давления Лр = 500 мм рт. ст. = 0,68 кг/см3; абсолютная вязкость жидкости р = 6.9 сантипуаз;

удельный вес жидкости 7 = 862 кг/мг = 0,862 •10“ 3 кг/см3. Находим сначала величину коэффициента проницаемости образца

пласта. Пользуясь смешанной системой единиц, имеем:

Определяем далее коэффициент фильтрации. Подставляя в фор­ мулу (17, VI) вместо А;, 7 , р их значения в смешанной системе единиц,

По определению и физическому смыслу коэффициента проницае­ мости величина его не должна зависеть от природы жидкости, т. е. от того, какая однородная жидкость (вода, нефть, керосин, масло, воздух, природный газ и т. д.) движется через образец пористой среды. Однако опыты, проводившиеся на протяжении последних 50-60 лет (в частно­ сти отметим опыты Ф.А.Требина [172]), указывают на определенное влияние характера жидкостей на результаты измерения величины ко­ эффициента проницаемости. Оказалось, что скорость течения дистил­ лированной воды, сырой нефти и керосина через песчаники с течением времени уменьшается. В опытах часто наблюдалось падение проница­ емости более чем на 50% за один час.

Существуют различные объяснения причин, вызывающих измене­ ние проницаемости во времени и влияние на нее свойств жидкостей. К числу этих причин можно отнести следующие.

При фильтрации жидкостей в рыхлых коллекторах и наличии весьма малых фракций песка возможны: перегруппировка слагающих коллектор зерен породы, явления выноса мелких фракций породы (суффозия) и забивания поровых каналов мелкими частицами, изме­ няющие проницаемость среды.

Частицы, находящиеся в нефти во взвешенном состоянии, при вы­ падении вызывают закупоривание пор.

В результате выделения содержащихся в сырой нефти смолистых веществ происходит отложение их на поверхности зерен породы, при­ водящее к уменьшению поперечного сечения поровых каналов.

При фильтрации воды в коллекторах, содержащих глинистые це­ ментирующие вещества, последние разбухают (причем степень разбу­ хания зависит от солености воды), что вызывает уменьшение попереч­ ного сечения поровых каналов. При воздействии воды на кремнезем возможно образование в поровых каналах коллоидального кремнезе­ ма, что также ведет к их закупориванию.

Можно было бы увеличить перечень подобных причин, но это заве­ ло бы нас в область физико-химии фильтрации, выходящую за рамки курса подземной гидравлики.

Ясно одно: если в результате физико-химического взаимодействия фильтрующихся жидкостей и пористой среды или вследствие механи­ ческих причин изменяется поперечное сечение поровых каналов, то, конечно, это не может не привести к изменению коэффициента прони­ цаемости. Так как указанные физико-химические и механические явле­ ния зависят от времени, то и коэффициент проницаемости при наличии их меняется со временем.

Из изложенного вытекает, что лабораторное определение коэффи­ циента проницаемости следует производить при помощи газа, соприка­ сание которого с пористой средой не вызывает указанных выше фи­ зико-химических явлений. В качестве такого газа можно использовать воздух, очищенный от влаги и механических примесей. Следует, од­ нако, иметь в виду, что в мало проницаемых образцах при невысоких давлениях значения коэффициентов проницаемости, определенные при помощи газов, могут оказаться значительно завышенными (более по­ дробно этот вопрос рассматривается в главе XII). Вычисление вели­ чины коэффициента проницаемости при определении его при помощи газа производится по формуле (23, XII).

Необходимо подчеркнуть, что часто определенные в лаборатории величины коэффициентов проницаемости предварительно экстрагиро­ ванных образцов пористой среды оказываются значительно больше со­ ответствующих значений коэффициентов проницаемости в пластовых условиях. Это объясняется тем, что при движении жидкостей к сква­ жинам в пластах часто наблюдается фильтрация неоднородных жид­ костей (например смеси нефти и воды, газированной нефти), отлича­ ющаяся рядом специфических особенностей от движения однородных жидкостей в пористой среде. Вопрос о фильтрации неоднородных жид­ костей и проницаемости пористой среды в этих условиях рассматрива­ ется нами отдельно (см. главу XIII).

Проницаемость нефтяных и газовых коллекторов изменяется в ши­ роких пределах — от нескольких дарси до нескольких миллидарси. В указанных выше книгах Ф. А. Требина и М. Ф. Мирчинка можно най­ ти фактические данные о проницаемости пластов по ряду нефтяных месторождений СССР. В порядке приближенной оценки можно счи­ тать, что если коэффициент проницаемости определяется единицами или несколькими десятыми долями <?, то такой пласт можно считать хорошо проницаемым. Проницаемость пласта плохая, если его коэф­ фициент проницаемости измеряется единицами или несколькими де­ сятками мд.