1464
.pdfПроинтегрируем последнее уравнение: |
|
|
|
|
||
hK |
Я к |
|
|
|
|
|
Ql1 |
f dr |
|
(19, |
X) |
||
27г/с7 |
J |
r |
’ |
|||
|
|
|||||
|
г |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
z2 = h i - 271*7 |
, |
R K |
(20, |
X) |
||
|
г |
' |
||||
Подставляя в формулу (20, X) z = hc при г = Дс или интегрируя уравнение (18, X) в соответствующих пределах, получим следующую формулу дебита скважины:
nkiihl - |
h2c) |
(21, |
X) |
|
Q = |
RK |
|||
1 |
|
|
||
Используя соотношение (8, X), формулу (21, X) перепишем так: |
||||
nkys(2hK — s) |
= |
A(2hKs —s2), |
(22, |
X) |
Q = |
||||
где для краткости соответствующая группа постоянных множителей обозначена через А.
Подставляя значение дебита из формулы (21, X) в формулу (20, X),
получим: |
|
|
ti2 _ L2 |
|
|
|
г 2 |
= |
/*2 _ |
In |
Як |
|
|
S __ 3 . |
1 2 L |
(23, X) |
||||
z |
- |
n K |
p |
ш |
r ' |
Уравнение (20, X) или (23, X) вполне определяет формулу ворон ки депрессии — свободной поверхности жидкости; тем самым уравне ние (23, X) позволяет выяснить распределение напоров в пласте, ибо величина z равна напору в любой точке пласта с радиусом-вектором г.
Из формулы (23, X) вытекает, что г = const при г = const. Следо вательно, поверхностями равных напоров служат боковые поверхности цилиндров, соосных скважине. Поскольку этот вывод является логи ческим следствием приближенного допущения, следует помнить, что в действительности поверхности напора имеют более сложную форму.
Как видно из уравнения (23, X), депрессионная кривая является кривой логарифмического типа, но форма ее несколько отлична от той, которая была изучена в § 2 главы IX; именно, в формулу (23, X), в от личие от формулы (23, IX), входят вторые степени величин напоров.
Формулы (21, X) и (22, X) для дебита скважины называют форму лами Дюпюи для случая притока к скважине жидкости со свободной поверхностью.
Из формулы (22, X) следует, что индикаторная линия имеет фор му параболы; она изображена на рис. 64. Ось параболы направлена па раллельно оси абсцисс. Вершина параболы В отвечает значению s = /iK, т. е. максимально возможному понижению уровня в скважине — до ее забоя. Понятно, что пунктирное продолжение BD параболической кри вой не имеет никакого физического смысла — уровень жидкости в сква жине нельзя опустить ниже ее забоя. Пунктирное продолжение BD проведено для лучшего понимания формы основного участка ОВ па раболической кривой. Индикаторная кривая на рис. 64 соответствует также формуле дебита (9, X), выведенной в предыдущем параграфе для случая притока жидкости к прямолинейной галлерее.
Для определения закона движения частицы жидкости вдоль тра ектории заметим [см. формулы (17, X) и (20, X)], что
v = |
Q |
Q |
(24, X) |
2тгrz |
|
Подставим найденное выражение скорости фильтрации в форму лу (10, VIII):
_ dr
т — = —- dt
Q |
(25, X) |
|
Разделим переменные г и t и проинтегрируем последнее уравнение:
Ro I
г’
( 2 6 ' |
х ) |
где До — расстояние движущейся частицы жидкости от оси скважи ны в момент t = 0, а г — расстояние той же частицы жидкости от скважины в момент t.
Интеграл, стоящий в правой части формулы (26, X), в конечном виде не вычисляется; его вычисление приходится выполнять либо с по мощью рядов, либо численными методами. Можно предложить такой приближенный прием вычисления интеграла: заметим, что значение подынтегрального радикала равно напору 2 в точке пласта с коорди натой г. Если разбить интервал интеграции на такие участки, внутри каждого из которых величина 2 меняется не очень сильно, то 2 можно вынести за знак интеграла. Так, например, беря небольшой интервал интеграции в пределах от г = г\ до г = и обозначая через 2 среднее значение напора в этом интервале изменений величины г, получим:
(27, X)
Т\
где At — промежуток времени, в течение которого частица жидкости переместится с расстояния г2 до г\ от оси скважины.
Понятно, что упомянутый приближенный прием будет давать тем меньшую погрешность, чем меньше меняется величина 2 внутри ин тервала интеграции, т. е. чем дальше этот интервал от скважины и чем меньше величина самого интервала.
Подвергнем критическому анали зу приближенное допущение и не которые основанные на нем формулы.
Считая траектории движения го ризонтальными, Дюпюи учитывал кри визну депрессионных линий (кривизну свободной поверхности жидкости), ко торые также принадлежат к семейству траекторий.
Предположение о горизонтально сти траекторий, строго говоря, несов местимо с основными особенностями движения жидкости со свободной по верхностью, в котором влияние силы тяжести должно сказываться на появ лении вертикальных компонент скоро стей фильтрации.
Формулы дебита и рис. 64 указывают на то, что величина дебита стремится к своему максимальному конечному значению при s —>/гк, т. е. когда hc —>0.
Последнее означает, что мощность (высота) фильтрационного по тока вблизи стенки скважины стремится к нулю, но тогда скорость
фильтрации вблизи забоя должна неограниченно возрастать (чтобы получить конечный расход потока, необходимо неограниченно увели чивать его скорость, если площадь поперечного сечения потока неогра ниченно убывает).
Конечно, последние перечисленные выводы либо противоречивы, либо физически нереальны, их абсурдность указывает на то, что при ближенные формулы дебита, а также формулы (20, X) и (23, X) можно применять только с известным ограничением. Действительно, прибли женные допущения (о горизонтальности скоростей фильтрации и т. д.), лежащие в основе вывода всех приведенных выше формул, справедли вы тем с большей точностью, чем меньше понижение уровня жидкости в скважине и чем меньше глубина фильтрационного потока, т. е. чем больше размеры пласта (радиус Rc) по сравнению с первоначальной мощностью hKводоносного слоя. Поэтому нельзя пользоваться форму лой Дюпюи для анализа максимально возможного понижения уровня жидкости в скважине. Наоборот, при сравнительно малых понижени ях уровня этой формулой с успехом пользуются в гидрогеологической практике.
Учитывая приближенность допущения Дюпюи, Козени попытался провести более строгое исследование движения жидкости со свободной поверхностью.
Эти исследования также оказались далеко не точными, а предло женные расчетные формулы были весьма громоздки. Однако справед ливо была отмечена важность явления «скачка» (прыжка). Сущность этого явления состоит в следующем: в процессе откачки воды из ко лодца (скважины) динамический уровень в нем оказывается стоящим ниже, чем уровень воды в пласте непосредственно у стенки колодца.
На рис. 65 схематично изображены: динамический уровень АВ во ды в колодце M N , уровень ЕС воды в пласте у стенки колодца, вер тикальные сечения CD и E F ближайшей к колодцу части свободной поверхности воды в пласте.
Точки Е и С лежат выше А В , длины отрезков АЕ и ВС опре деляют высоту «скачка». Поверхность стенки колодца на участке ЕА называется поверхностью высачивания1.
|
Экспериментальные и теоретические исследования других авто |
|
ров [120 и др.] показали, что существенное влияние на приток |
во |
|
ды к скважине оказывает так называемый «капиллярный слой» |
во |
|
ды |
над ее свободной поверхностью в пласте. Чем больше высо |
|
та |
столба воды в скважине и в области питания по сравнению |
|
Глубокие исследования движения воды в пласте в условиях гравитационного режима (при учете граничных условий на поверхности высачивания) были выпол нены П. Я. Полубариновой-Кочиной [143].
с высотой капиллярного поднятия, тем меньше влияние капилляр ного слоя и тем точнее оказывается формула (21, X). Следует от метить, что еще более чем за 40 лет до появления упомянутой работы американских авторов, в конце 80-х годов прошлого ве ка, проф. Н. Е. Жуковский отмечал необходимость учитывать яв ления капиллярного поднятия при изучении движения грунтовых вод.
Рис. 65. Схематичное изоб ражение «скачка» при пе реходе от уровня воды
вколодце к уровню воды
впласте.
Новейшие исследования вновь подтвер дили высокую точность формулы деби та (21, X) при малых пониженных уров нях жидкости в скважине и, наоборот, вы яснили довольно значительные неточности формулы (23, X), служащей для определе ния формы свободной поверхности жидко сти в пласте.
Перейдем к изучению радиального при тока к скважине жидкости со свободной по верхностью в том случае, когда в пласте справедлив нелинейный закон фильтрации.
Сохраним все условия рассматриваемой задачи, сформулированные в начале данно го параграфа, но допустим, что движение жидкости во всем пласте подчиняется не ли нейному закону фильтрации, а нелинейно му2. Тогда вместо формулы (17, X) полу чим:
Q = 27гrzv — 2nrzc |
(28, X) |
где с и п — постоянные величины, причем 1 < по «С 2. Разделим переменные г и г в последнем уравнении:
dr = znodz. |
(29, X) |
Для определения формы депрессионной кривой проинтегрируем
2При сравнении с формулами главы VII и здесь следует учитывать, что п =
[см. подстрочные примечания к формулам (64, IX) и (14, X)].
уравнение (29, X): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30, |
X) |
откуда |
|
|
|
|
|
zn0+ 1 _ ^n0 + 1 _ |
п0+ 1 f Q |
|
1 |
(31, |
X) |
К |
По - 1 \^27ГС |
гп 0- 1 |
|||
|
|
|
|
К °~ \ |
|
Для вывода формулы дебита скважины проинтегрируем уравне- |
|||||
ние (29, X) в других пределах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32, |
X) |
откуда |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
2жс П р — 1 |
h 2 0 + 1 |
- h ? ° + 1 |
По |
X) |
(33, |
|||||
|
П о + 1 |
_ 1 __________ |
|
|
|
|
|
д п 0- 1 |
д п о - 1 |
|
|
Конечно, последнюю формулу можно было бы вывести из уравне ния (31, X), положив z = hc, г = Rc.
Заметим, что при RK^> Rс и при значении щ не слишком близком
« |
1 |
можно пренебречь по сравнению с |
1 |
|
к единице, величиной — |
|
Я?0" 1' |
||
RZ°~l |
|
|
||
Если в формуле (33, X) |
принять по = |
2, то получим формулу, |
||
впервые выведенную Краснопольским для трещиноватых пород. |
||||
Заметим, что формулы |
(28, Х)-(33, X) |
могут иметь лишь огра |
||
ниченное применение, указывая влияние нарушения линейного зако на фильтрации в том теоретически возможном (или осуществленном в эксперименте на специальной модели) случае, когда нарушение за кона фильтрации охватывает весь пласт. Как показывают рассужде ния § 6 главы IX, при движении к скважине жидкости со свободной поверхностью было бы правильнее учитывать возможность появле ния ограниченной зоны кризиса линейного закона фильтрации и рас сматривать движение жидкости при одновременном существовании по крайней мере двух (а еще правильнее нескольких) режимов фильтра ции.
Гл а в а X I
Одномерное и радиальное движения сжимаемой жидкости в пористой среде по линейному закону фильтрации
§ 1. Одномерная установившаяся фильтрация сжимаемой жидкости
Согласно линейному закону фильтрации массовая скорость филь трации жидкости (т. е. произведение скорости фильтрации на плот ность жидкости) при одномерном движении (см. рис. 53а) равна:
Q V = |
_fc Фр |
(1, XI) |
|
И в dx’ |
|
где все обозначения прежние.
Выразим давление р через плотность жидкости д.
Согласно формуле (11, III), приведенной в § 2 главы III, коэффи циент объемного упругого расширения жидкости
/3 = |
- |
(11, III) |
Но |
|
Mdg |
‘СЖ-- м |
d12и/ — |
|
в ’ |
|
|
где М — масса рассматриваемого объема жидкости Г2Ж (М = const). Подставляя эти значения Г2Жи сШж в уравнение (11, III), находим:
dg
РQdp'
Разделяя переменные д и р, имеем:
Полагая /3 постоянным и интегрируя полученное уравнение по р в пределах от рат до р и р соответственно от рат до р, находим:
= / 3(Р -Р ат),
откуда уравнение состояния жидкости может быть написано в виде:
е = е*'е?ь-р«), (2, xi)
где рат — плотность жидкости при атмосферном давлении рат; /3 — коэффициент объемного упругого расширения жидкости;
р — давление в точке, в которой плотность жидкости равна р. Логарифмируя уравнение (2, XI), имеем:
In в = In Рат + Р(р - Рат), |
|
откуда |
|
р=р- + | 1п£ - |
(3- Х1) |
Дифференцируя уравнение (3, XI) по х, легко найти градиент дав-
dp ления — :
ах
dp = 1. 1 dg dx /3 Q dx'
Подставляя это значение dxdp в уравнение (1, XI), имеем:
Q V = |
к_ de |
|
/З/i dx |
||
|
Обозначим массовый расход жидкости через QM
Q*, = \ev\-F = eQ,
где F — площадь вертикального сечения пласта; Q — объемный расход жидкости.
Умножая уравнение (4, XI) на F, получим:
(3', XI)
(4, XI)
(5, XI)
Так как . при установившемся движении массовый расход жидко сти QMесть величина постоянная, то уравнение (6, XI) содержит две переменных — д и х, разделяя которые, имеем:
de = i ^ d |
x . |
|
(7, |
XI) |
||
Граничные условие формулируются следующим образом: при |
|
|||||
х = 0, |
II |
ч |
(8, |
XI) |
||
II н |
£ |
II |
Я |
|||
|
|
|||||
где дг — плотность жидкости у входа в галлерею (т. е. на выходе из пласта);
дк — плотность жидкости на контуре питания, удаленном от галлереи на расстояние LK.
Интегрируя уравнение (7, XI) в пределах от дг до дк и от 0 до LK, имеем:
вг |
|
о |
|
что дает |
|
PIAQMLK |
|
QK |
Qr — |
||
kF ’ |
|||
|
|
откуда получаем формулу для определения кассового расхода жидко сти
Для нахождения распределения давления в пласте, проинтегриру ем уравнение (7, XI) в пределах от дг до д и от 0 до х в
|
х |
|
|
|
0 |
|
|
откуда |
|
|
|
в = вт + |
PnQu |
X. |
(Ю, XI) |
|
kF |
|
|
Но из формулы (9, XI) имеем:
QK - Qr kF LK
Подставляя это выражение в уравнение (10, XI), имеем:
(И, XI)
Формулы (10, XI) и (11, XI) дают изменение плотности жидкости
впласте в направлении х. Для определения давления в пласте нужно значения g, найденные по формулам (10, XI) или (11, XI), подставить
вуравнение (3, XI).
Разложим |
входящую в |
уравнение состояния (2, XI) величи |
|
ну е^ р-Рпт) в ряд по степеням /3(р —рат), |
|||
е Р ( Р |
Р . т ) = 1 + / 3 (р _ р а т ) + 1 ^ ( р - р а х ) 2 + |
||
|
|
|
(12, XI) |
|
+ |
/З3(р — Рат)3 + ••• |
|
Пусть |
|
|
|
|
/3 — 5-10 5 |
(р Рат) — ЮО am. |
|
Тогда |
|
Pip - |
Рат) = 5-10 3; |
|
|
||
|
1 |
/}2 ( р - Р а Т)2 = 1,25-1(Г5; |
|
I Р Ч р - Рат)3 = 2,084-Ю -7
Из рассмотренного примера очевидно, что для решения практиче ских задач можно с высокой степенью точности ограничиться первыми тремя членами ряда (12, XI). Это позволяет написать уравнение состо яния в виде:
в — Рат 1 + Р(Р ~ Рат) + т) р2(р Рат) |
(13, XI) |