1464

объемного упругого расширения фиктивной жидкости, находящейся в недеформируемом пласте. Введение этого коэффициента (3' вместо коэффициента /3 в уравнения § 3 и 4 делает эти уравнения справедли­ выми для неустановившегося движения упругой жидкости в упругой пористой среде. Поскольку изложенные в § 3 и 4 методы решения зада­ чи о неустановившейся фильтрации сжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде являются приближенными, то и полученные путем указанной замены формулы неустановившегося движения упру­ гой жидкости в упругом пласте представляют приближенное решение этой задачи. О результатах сравнения с точным решением мы говорили выше.

Значения коэффициентов сжимаемости (Зс образцов песчаников, взятых из различных пластов, вычислены В. Н. Щелкачевым [219]. Ин­

тервал изменения величины (Зс таков: 105/З = 1,1 — 2,2

Гл а в а X II

Одномерное и радиальное движения газов

впористой среде

§1. Законы фильтрации газов. Экспериментальные исследования движения газов в пористой среде

Основные положения, изложенные в теории фильтрации жид­ костей (см. главы IV-VII), справедливы и для фильтрации газов1. В 1928 г. были впервые широко поставлены экспериментальные иссле­ дования установившейся и неустановившейся фильтрации газов. Эти опыты были проведены в СССР в бывшем Государственном исследова­ тельском нефтяном институте (ГИНИ) Д. С. Вилькером под руковод­ ством акад. Л. С. Лейбензона.

Опытный «пласт» представлял собою 4" трубу U-образной фор­ мы длиной 31,1 м. Труба набивалась люберецким песком, состоящим на 88,9% из фракций с диаметром зерен 0,15-0,21 мм. Пористость пла­ ста составляла 38,7%, проницаемость — 26,6 дарси. В «пласт» при по­ мощи компрессора нагнетался воздух, который поступал через один конец трубы и выходил через другой. В процессе экспериментирова­ ния производились наблюдения за распределением давления по длине трубы. Давление измерялось 7 манометрами, расположенными пример­ но на одинаковых расстояниях друг от друга. Опыты проводились при давлениях до 1528 мм рт. ст.

В 1930 и 1932 гг. в быв. ГИНИ И. П. Москальковым под руковод­ ством акад. Л. С. Лейбензона было продолжено экспериментальное изу­ чение установившейся и неустановившейся фильтрации газов.

Модель пласта состояла из U-образной трубы диаметром 6" и об­ щей длиной в 35 лс, набитой предварительно отсортированным и про­ сушенным люберецким песком. При проведении опытов длина пласта могла быть уменьшена в 2 раза. Для измерения давлений вдоль трубы на расстоянии ~ 5 м были установлены манометры. Всего было прове­ дено три серии опытов.

1 Первые доказательства применимости линейного закона фильтрации движения газов в пористой среде были даны еще в конце прошлого века.

П е р в а я с е р и я о п ы т о в проводилась на пласте, набитом мелким песком, пористость которого составила 37,65%, проницае­ мость — 24,2 дарси. Начальные давления газа в пласте составляли 2,72 и 4,05 ата. Истечение газа проходило в атмосферу и в газометр с про­

ста, но труба набивалась смесью глины и песка с весовым соотноше­ нием 100 215. Пористость смеси составила 37,8%. Всего было прове­ дено 20 опытов. Начальные пластовые давления изменялись в преде­ лах 30-3800 мм рт. ст.

Т р е т ь я с е р и я о п ы т о в проводилась на той же модели пла­ ста, что и первая серия. Труба набивалась крупнозернистым пес­ ком с преобладающей фракцией, состоящей из песчинок диамет­ ром более 0,4 мм. Начальные давления изменялись в пределах 30-3800 мм рт. ст. Пористость пласта составляла ~ 37,3%. Истечение газа происходило в газометр.

В 1932-1933 гг. Д. С. Вилькером были проведены в гидродинамиче­ ской лаборатории им. Н. Е. Жуковского Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова опыты по одномерному установив­ шемуся и неустановившемуся движению газов в песке. Модель пласта представляла вертикальную 10" колонну труб длиной 15 л«, заполнен­ ную свободным от минеральных и органических примесей несцемен­ тированным песком. Измерение давлений по длине колонны (пласта) производилось в четырех точках, отстоящих друг от друга на равных расстояниях. Опыты проводились при давлениях от 1 до Ю ати. Из­ мерения вытекающего из пласта воздуха производились путем взвеши­ вания воды, вытесняемой воздухом из газометра. Кроме того, на пути из пласта к газометру была установлена трубка Прандтля, при помощи которой время от времени контролировался расход воздуха.

Подробное описание и анализ результатов указанных выше опытов даются в статьях Д. С. Вилькера [27], И. П. Москалькова [129] и в книгах акад. Л.С. Лейбензона [100, 107] и Б.Б.Лапука [91].

Рассмотрение результатов экспериментальных исследований уста­ новившегося движения газа в пористой среде, проведенный Д- С. Виль­ кером и И. П. Москальковым, показало, что движение газа в пори­ стой среде подчиняется линейному закону фильтрации. Этот вывод был также подтвержден проведенными в 1931-1932 гг. в США опыта­ ми [123, 182] по установившемуся одномерному и радиальному движе­ нию газа в несцементированном песке.

Следует отметить, что в США опыты по неустановивги^йся филь­ трации газов были проведены лишь в 1942 г., т. е. спустя 14 лет после опытов Д. С. Вилькера.

Сопоставление результатов экспериментального изучения неустановившейся фильтрации газов с теорией акад. Л. С. Лейбензона (см. главу XXII) показывает достаточно хорошее совпадение с экспери­ ментальными данными (см. по этому вопросу книги Л. С. Лейбензона [100, 107] и Б.Б.Лапука [91]).

Границы применимости линейного закона фильтрации при филь­ трации газов определяются критическими значениями числа Рейнольд­ са, величины которых так же, как и для жидкости, даются формула­ ми (15, VII) или (9, VII).

Обобщенный закон фильтрации газов, выведенный на основе прин­ ципа однородности размерностей и справедливый для любых значений чисел Re, дается уравнениями (44, VII) или (40, VII).

В главе VI, рассматривая вопрос о проницаемости пористой среды, мы подчеркивали, что величина коэффициента проницаемости не за­ висит от свойств жидкости или газа, а определяется лишь свойствами пористой среды. Чтобы избежать физико-химического взаимодействия между жидкостью и пористой средой, многие авторы предлагают ла­ бораторные определения проницаемости образцов пористой среды про­ изводить при помощи газов.

Однако результаты опытов [71] показали, что в ряде случаев про­ ницаемость пористой среды для жидкостей и газов различна и при от­ сутствии физико-химического взаимодействия между жидкостью и по­ родой (проницаемость для газов определялась при давлениях, близких к атмосферному). В качестве пористой среды применялись стеклянные фильтры и керны, взятые из различных месторождений.

Газами служили воздух, азот, водород, углекислый газ, жидко­ стью — изооктан — химически инертная жидкость. Значения коэффи­ циентов проницаемости определялись на основании линейного закона фильтрации (по формулам (14, VI) для изооктана и (24, XII) для газа).

Результаты опытов показывают, что при весьма малых значениях коэффициента проницаемости к измерение величины к при помощи га­ зов при давлениях, близких к атмосферному, дает сильно завышенные по сравнению с изооктаном результаты. Так, при к = 4,36 миллидарси (для изооктана) проницаемость пористой среды для воздуха в 2,27 ра­ за больше, чем для изооктана. В образцах пористой среды, проница­ емость которых составляет 85 и 190 миллидарси, проницаемость для газа соответственно на 14 и 17% больше, чем для жидкости. И, нако­ нец, в хорошо проницаемых образцах (при А: = 1,35 дарси) разница в результатах определения коэффициента проницаемости при помощи жидкости и газа составляет всего ~ 4%.

На рис. 68 приведены кривые, иллюстрирующие зависимость ко­ эффициента проницаемости образца С для водорода, воздуха и угле-

±

р" 3 am

Рис. 6 8 . Зависимость проницаемости образца С для водорода, воздуха и уг­ лекислого газа от давления. 1 — водород, 2 — воздух, 3 — углекислый газ.

кислого газа от давления. По оси ординат отложены значения коэффи­ циента проницаемости для газа в миллидарси, а по оси абсцисс — зна-

ственно давления газа на входе и выходе из образца. Проницаемость

образца С для изооктана равна 32,1 миллидарси. Как видно из рис. 6 8 ,

при малых давлениях (а следовательно, больших значениях 4 ) газо­

проницаемость зависит от давления и является линейной функцией

величины 4 , причем при одних и тех же давлениях различные газы

Р

имеют различные значения коэффициента проницаемости.

При малых значениях р проницаемость образцов пористой среды для воздуха может резко отличаться от проницаемости их для жидко­ сти.

Получение более высоких значений коэффициента проницаемости для газов по сравнению с жидкостями Клинкенберг объясняет эффек­ том скольжения, заключающимся в том, что скорость слоя газа, нахо­ дящегося в непосредственной близости от неподвижной твердой стен­ ки, в отличие от жидкости не равна нулю. Поэтому расход газа оказы­ вается ббльшим, чем при линейном законе фильтрации, гидравличе­ ское обоснование которого базируется на формуле для потери напора при ламинарном движении жидкости по трубам.

Как показали исследования, проницаемость пористой среды для газа является функцией средней длины свободного пробега молекул,

и, следовательно, проницаемость зависит от давления, температуры и природы газа, влияющих на величину свободного пробега молекул.

Исходя из вышеизложенного и учитывая, что значения ряда вели­ чин, входящих в уравнения подземной гидравлики (площадь F сечения продуктивных пластов, пористость га, расстояния до контуров пита­ ния, а часто и данные о вязкости жидкостей и газов ^), в большинстве случаев известны с точностью, не превышающей 10-15%, а давления в пласте обычно гораздо выше атмосферного давления, при решении задач, связанных с разработкой нефтяных и газовых месторождений,

проницаемость пористых пластов для жидкостей и газов можно при­ нимать одинаковой. Исключение составляют лишь малопроницаемые породы, для которых в условиях низких давлений, на основе приве­ денных выше данных, следует вносить соответствующие коррективы. При лабораторных определениях при помощи газов величины коэффи­ циента проницаемости малопроницаемых пород необходимо прокачку газа через образцы производить при средних давлениях, превышаю­ щих ~ 2 ати.

§ 2*. О термодинамических процессах при движении газов в пористой среде

1. Установившееся движение газа в пласте как дроссельный процесс

Прежде чем приступить к выводу уравнений движения газа в пористой среде, необходимо выяснить вопрос о том, какие термодинамические процес­ сы происходят при фильтрации газов1. С этой целью рассмотрим установив­ шееся движение газа в призабойной зоне пласта, ограниченной поверхностью цилиндра, коаксиального скважине. Введем следующие допущения.

Каждый элемент пористого пласта и весь пласт в целом рассматривают­ ся как термически изолированная система, т. е. принимается, что теплопере­ дача от одного элемента к другому, а также от подстилающих и перекрываю­ щих пористый пласт горизонтов отсутствует, не принимается также во вни­ мание теплопередача от пористой породы к газу, обусловленная разностью температур между газом и пористой средой. Газ принимается совершенным.

Обозначим Як и Дс - радиусы соответственно внешней границы при­ забойной зоны пласта и скважины, р — давление, 7 — удельный вес газа,

*Мы не рассматриваем здесь вопрос о термодинамических процессах, происхо­ дящих в нефтяных пластах при закачке в них горячих газов. Интересующегося читателя отсылаем к статьям Б . Б . Л а п у к а «К итогам работ по подземной газификации нефтяных пластов» («Азерб. нефт. хоз.» К* 2, 1939) и «О термическом

воздействии на нефтяные пласты в целях повышения нефтеотдачи» («Азерб. нефт. хоз.», X* 12, 1939).

w — скорость движения газа, и — внутренняя энергия 1 кг газа, д — уско­ рение силы тяжести. Тогда для энергии 1 кг движущегося к скважине газа можно написать следующее уравнение:

+ ^ + 2К+ 2д с + 7с + с + 2д '

где z — геометрическая высота, а индексы к и с относятся соответственно к контурам внешней границы призабойной зоны и скважины.

Обозначая через г — энтальпию (теплосодержание) газа

г

и пренебрегая величиной zc — zK вследствие ее малости по сравнению с г, получим:

гк — ic +

—wк2 w ~

Оценим максимально возможное значение величины т^-, представляю- 29

щей запас удельной кинетической энергии газа при входе в скважину. Рассмотрение данных о свободных дебитах газовых скважин по бо­

лее чем 70 газовым месторождениям СССР, США и Канады (см. книгу И. Н. Стрижова [164] или работу Б. Б. Лапука [91]) показывает, что макси­ мальный дебит газовых скважин при открытом фонтанировании состав­ ляет около 7 млн. м3/сутки, причем мощность пласта, представленного в этом случае песком, равна 20 м. Примем эти величины свободного де­ бита и мощности пласта в качестве исходных данных. Пусть приведенный к атмосферному давлению и забойной температуре дебит газовой скважи­ ны Q = 7 •106 м3/сутки = 81 м3/сек, мощность пласта Ъ= 20 м, пористость пласта т = 0 , 2 , радиус скважины Rc = 0, 1 м и давление на забое скважи­ ны рс = 1 ата (в действительности забойное давление больше 1 ата, но мы принимаем заведомо заниженное значение рс, чтобы получить завышенное значение wc). Тогда скорость движения газа при входе в скважину будет:

Приращение кинетической энергии газа при переходе его от внешней границы призабойной зоны к скважине составит:

Переходя от килограммометров к килокалориям, получим:

Принимая теплоемкость газа Ср = 0,57 ккал/кг °С и считая, что при­ ращение кинетической энергии газа целиком происходит за счет внутренней энергии газа, можно оценить величину вызванного этим понижения темпе­

ратуры :

Таким образом, увеличение кинетической энергии газа при движении его в пористом пласте и связанные с этим температурные изменения ничтож­ но малы даже при чрезвычайно больших расходах газа2 Следовательно, во все* технических расчетах с вполне достаточной точностью можно положить

wс2 = 0,

что на основании уравнения (1, XII) дает:

1с —

Итак, установившееся движение газа в пористом пласте характеризует­ ся постоянством теплосодержания (энтальпии). Из термодинамики известно, что постоянством теплосодержания характеризуются дроссельные процессы.

Таким образом, при установившемся движении газа в пористом пла­ сте имеет место процесс дросселирования газа.

2. Понижение температуры при дросселировании газа в пласте

Понижение температуры газов при дросселировании широко известно

иносит название эффекта Джоуля - Томсона. Определение изменения темпе­ ратуры при движении газа в пласте может быть произведено двумя метода­ ми: на основе данных о коэффициентах Джоуля - Томсона, обозначаемых о,

ипри помощи энтальпийных диаграмм.

О п р е д е л е н и е и з м е н е н и я т е м п е р а т у р ы г а з а на ос ­ н о в е к о э ф ф и ц и е н т о в а. Исходя из дифференциальных соотноше­ ний термодинамики (см. [199]), при независимых переменных р и Г , имеем

где Ср — теплоемкость газа при постоянном давлении, р — давление,

V — удельный объем газа.

2Следует отметить, что в случае гидродинамически несовершенных скважин (см. § 2 главы XIV) скорость газа при входе в скважины может быть в несколько де­ сятков раз больше, чем при эксплуатации скважин совершенных. Однако и в этих условиях величина A t остается малой.

Так как при дросселировании процесс происходит при постоянной эн­ тальпии, то

di = О

и, следовательно:

- V,

получим

Кривые, приведенные на рис. 70, показывают влияние температуры на коэффициенты а для метана при различных давлениях.

Из приведенных на рис. 69 и 70 кривых видно, что:

1 ) с повышением давления при неизменной температуре величина ко­ эффициентов ос сначала несколько увеличивается, а затем уменьшается;

2 ) с повышением температуры при неизменном давлении коэффициен­ ты а уменьшаются;

3) при любой температуре имеется некоторое максимальное значение коэффициента а.

На рис. 71 показана зависимость коэффициентов а для естественно­ го нефтяного газа от давления при температуре 71,1° С. Химический состав

Рис. 71. Зависимость коэффициентов а для естественного нефтяного газа от давления р при температуре 71,1° С.

этого газа следующий (в процентах молей): кислорода и азота — 1,50%, угле­ кислоты — 0,60%, метана — 87,78%, этана — 3,82%, пропана — 3,36%, «-бу­ тана и изобутана — 2,00%, пентана — 0,64% и более тяжелых углеводоро­ дов - 0,30%.

Исходя из средних значений коэффициентов а, легко определить паде­ ние температуры в пласте при дросселировании газа, пользуясь формулой:

At = аАр,

где At — падение температуры газа между двумя точками пласта, перепад давления между которыми равен Ар.

О п р е д е л е н и е в е л и ч и н ы и з м е н е н и я т е м п е р а т у р ы г а з а при п о м о щ и э н т а л ь п и й н ы х д и а г р а м м . Так как движе­