1464

где элемент площади df = 2п rdr\ площадь F = 7г(R* —Rc). Подставляя в формулу (34, IX) значение давления из форму­

лы (23, IX), выполняя интеграцию и учитывая, что радиус скважи­ ны Rc величина малая, т. е. пренебрегая всеми членами, содержащи­

Во всех практически интересных случаях вычитаемое значительно меньше уменьшаемого, а потому

Например, если рк = 100 am, рс = 90 am, RK= 10 км, Rc = 10 см,

то

Р = 100 = 2~2~§б•5 = 100 " °«435 - " * 6 атп■

Заканчивая анализ формул (23, IX) и (32, IX), преобразуем их к та­ кому виду:

Сравнивая последнюю формулу с формулой (15, IX), замечаем, что величины из правой части формулы (15, IX) вошли в формулу (37, IX) под знаком логарифма. Причина замены величины х величиной Inг при переходе от одномерного движения к плоско-радиальному выяс­ нится в пятой части при анализе решения дифференциального уравне­ ния движения жидкости в пористой среде.

4 Более точная формула для р:

Чтобы подсчитать время Т движения частицы жидкости именно до стенки скважины, необходимо в двух последних формулах поло­

жить г = Rc. Пренебрегая величиной Щ вследствие ее малости, полу­ чим:

Напомним (см. главу VI), что, подставляя в эти формулы к в д, (л — в сантипуазах, Ьв см, перепад давления — в am, Q — в см3/сек, го в CJH, й к и й с - в любых одинаковых единицах длины, получим время Т в секундах.

Конечно, обе последние формулы равносильны: подставляя в по­ следнее равенство значения дебита из формулы (21, IX), получим фор­ мулу (44, IX).

Как видно из формул, время Т движения частицы жидкости до стенки скважины прямо пропорционально квадрату расстояния этой частицы до оси скважины. Это еще раз подтверждает, что частицы жидкости движутся к скважине по своим траекториям (по радиусам) ускоренно.

Формула (45, IX) допускает проверку на основании простых физи­ ческих соображений. Действительно, величина

(46, IX)

определяет количество жидкости, заключенной в порах цилиндриче­ ского объема пласта радиуса го и мощности b при пористости пла­ ста тп. Разделив объем т на постоянный дебит скважины <3 , найдем время Г, за которое через скважину будет извлечен весь объем жид­ кости т и к забою подойдут частицы жидкости, находившиеся перво­ начально на расстоянии г0 от оси скважины.

Если бы скважина находилась в центре контура нефтеносности ра­ диуса го, если бы вода и нефть имели одинаковую вязкость, водо-неф­ тяной контакт перемещался бы сплошным фронтом (оставаясь верти­ кальным) и проницаемость пласта не менялась бы при вытеснении неф­ ти водой, то формулы (44, IX) и (45, IX) определяли бы время стяги­ вания контура нефтеносности к стенке скважины — через промежуток времени Т скважина обводнилась бы. Конечно, реальные условия го­ раздо сложнее (в дальнейшем они будут учтены), но все же упомяну­ тые формулы могут дать верное представление о порядке промежутка

времени стягивания контура нефтеносности при различных начальных

в соответствующие формулы необходимо подставлять не абсолютную геометрическую, а несколько меньшую эффективную динамическую пористость)5. Требуется определить время Т, за которое частиц жид­ кости подойдет к стенке скважины с расстояния го = 100 м.

В таком случае по формуле (44, IX), выдерживая соответствующие размерности, о которых было выше упомянуто, получим:

Т = 999 суток.

При принятых данных можем подсчитать дебит скважины по фор­ муле (21, IX) или (29, IX) (см. пример 1):

Q = 47,2 At3/ сутки.

Подсчитав по формуле (46, IX) объем жидкости т в порах пласта внутри интересующей нас области, а именно

т = 47100 At3,

легко определим промежуток времени Т из формулы (45, IX):

Т = — = 999 суток.

Если принять го = 1 км, то промежуток времени Т увеличится в 100 раз и станет равным 99900 суток. Даже такой примитивный под­ счет показывает, что было бы совершенно нерационально эксплуатиро­ вать круговую (в плане) залежь нефти одной скважиной, расположен­ ной в центре залежи при радиусе контура нефтеносности, равном 1 км.

В самом деле, увеличив перепад давления в скважине даже в 10 раз, мы добились бы (считая, что линейный закон фильтра­ ции и все прочие оговоренные условия сохраняются) увеличения ее дебита в 10 раз и сокращения в 10 раз срока Т. При этих услови­ ях Т = 9900 суток = 27 лет.

5Пропуская жидкость через образец пористой среды, легко определить скорость фильтрации жидкости v и среднюю действительную скорость w (см. § 4 главы IV). Пористость 7п, определенная как отношение (v : w), оказывается меньше абсолют­

ной пористости; ее и называют эффективной динамической пористостью.

Заметим в заключение, что все выведенные в данном парагра­ фе формулы и следствия из них остаются справедливыми для плос­ ко-радиального движения жидкости из нагнетательной (поглощающей) скважины в пласт6. В последнем случае следует только говорить не о понижении, а о повышении давления в пласте и на забое возмуща­ ющей скважины. Если динамический уровень и кривые депрессии на рис. 57 «зеркально отобразить» по отношению к линии D E F B , соот­ ветствующей положению статического пьезометрического уровня, то получится чертеж, соответствующий случаю работы нагнетательной скважины.

§ 3. Сферическое радиальное движение по линейному закону

Как уже было отмечено в § 1 главы VIII, строго сферического ра­ диального потока встретить в реальных условиях в значительной обла­ сти пласта нельзя. Однако разобрать схему сферического радиального потока интересно для того, чтобы понять, в какую сторону и в какой степени могут нарушаться закономерности, установленные в предыду­ щем параграфе, когда приток жидкости к скважине перестает быть плоским.

Исследуем ту схему сферического радиального потока, которая соответствует рис. 46: Ас — вертикальное сечение полусферическо­ го забоя гидродинамически несовершенной скважины В1ВЕС С , едва вскрывшей непроницаемую кровлю продуктивного пласта весьма боль­ шой (теоретически бесконечной) мощности. Будем считать, что несжи­ маемая жидкость притекает к скважине по линейному закону филь­ трации, режим пласта водонапорный, пласт однородный.

Допустим, что первоначальное статическое приведенное давление (напор) во всем пласте и на забое скважины равно р*. Затем приведен­ ное давление на забое скважины понизили до величины р*, а постоян­ ное приведенное давление р* сохраняется на достаточно большом рас­ стоянии от скважины — на полусферической границе Ак радиуса RK.

Радиус забоя скважины — Rc.

Конечно, в разных точках границы Лк, так же как и в разных точках забоя Ас истинные давления различны, хотя приведенные дав­ ления р* и р* (а следовательно, и напоры) вдоль каждой из соответ­ ствующих границ во всех точках одинаковы и постоянны.

6Для нагнетательной скважины рс > Рю а потому, например, в формулу деби­ та (21, IX) вместо рк — Рс пришлось бы подставить рс — Рк«

Под влиянием перепада приведенного давления (р* —р*) жидкость будет притекать в скважину. Определим дебит скважины, скорость фильтрации и приведенное давление в любой точке пласта, а также закон движения частицы жидкости вдоль траектории.

Из формул (9, VIII) и (12, VIII), разделяя переменные, получим:

Р2тггЧ '

где р* — приведенное давление в некоторой точке М пласта, г — ради­ ус-вектор этой точки, Q — постоянный дебит скважины (расход жидко­ сти через каждую полусферическую поверхность, концентричную за­ бою Ас равен дебиту скважины).

Проинтегрируем уравнение (47, IX):

Эта формула определяет приведенное давление в любой точке пла­

ста.

Для определения дебита скважины проинтегрируем уравнение (47, IX) в других пределах:

Подставив найденное значение Q из формулы (51, IX) в (47, IX), (49, IX) и (9, Vni), получим:

Яс Як

Дс Дк

Если учесть, что Дк 3> Дс и потому величиной 1/Дк пренебречь по сравнению с 1/RC, то приведенные выше формулы можно значительно упростить. В частности, формулы (51, IX) и (53, IX) примут вид:

В последней формуле мы пренебрегли величиной -5- по сравнению

Як

са потому эта формула позволяет определять давление достаточно

точно лишь при г <$: Лк, т. е., например, вблизи скважины. Перейдем к анализу выведенных формул.

Как видно из формул (55, IX) и (51, IX), зависимость дебита от перепада приведенного давления, а следовательно, и форма индика­ торной линии будут те же, что и в случае плоско-радиального потока (см. предыдущий параграф и рис. 55).

Как показывают формулы (52, IX) и (54, IX), градиент давления и скорость фильтрации в любой точке пласта обратно пропорциональ­ ны квадрату радиуса-вектора этой точки. Следовательно, если постро­ ить график, аналогичный графику рис. 56, то в рассматриваемом сей­ час случае соответствующая линия имела бы при малых значениях г около стенки скважины еще большую крутизну.

Упомянутая зависимость v от г может быть, как и в предыдущем параграфе, легко объяснена, если в формулу (9, VIII) подставить зна­

Из формулы (56, IX) следует, что понижение приведенного давле­ ния Ар* в любой точке пласта обратно пропорционально радиусу-век­ тору этой точки (в том диапазоне, в котором справедлива приближен­ ная формула). Пьезометрической линией будет служить равнобочная

гипербола, а пьезометрической воронкой депрессии — гиперболоид вра­ щения. Уравнение семейства поверхностей равного напора будет то же, что и в формуле (31, IX), но оно будет обозначать, что поверхностя­ ми равного напора служат концентричные полусферы. Понятно, что в разных точках любой поверхности равного напора (а также в раз­ ных точках граничных поверхностей Ас и Ак — см. рис. 46) истинные давления будут различны. Конечно, зная распределение приведенных давлений, легко найти истинное давление в любой точке пласта, учтя ее высотную отметку и удельный вес жидкости в пласте, см. формулу (3, VIII).

Соотношение между понижениями пьезометрических уровней sp и 5 в реагирующей и возмущающей скважинах (чертеж вполне анало­

Р к -Р с

Пример. Пусть Rc = 10 см. На основании формулы (58, IX) со­ ставлена табл. 6, дающая ясное представление о распределении при­ веденных пластовых давлений в условиях сферического радиального потока.

Т а б л и ц а б

Относительные понижения пьезометрических уровней в пласте на разных расстояниях от возмущающей скважины

[таблица рассчитана по формуле (58, IX)]

В табл. 6 мы не привели результатов подсчетов для столь боль­ ших значений г, как в табл. 5, ибо, во-первых, расчет проводился по приближенной формуле (58, IX) и, во-вторых, в реальных условиях нельзя ожидать сохранения сферического радиального потока на боль­ ших расстояниях от скважины. Сравнение табл. 5 и 6 показывает, что в условиях сферического радиального потока потери давления вблизи стенки скважины гораздо больше и, следовательно, пьезометрическая линия более крутая, чем в условиях плоско-радиального потока: с из­ менением радиуса-вектора в геометрической прогрессии величина от-

ношения -j- меняется также в геометрической (а не в арифметической, как в случае предыдущего параграфа) прогрессии.