1464

Наиболее полные экспериментальные исследования вопроса о гра­ ницах применимости линейного закона фильтрации были произведены рядом авторов [24, 120, 174].

Проводились опыты по фильтрации различных жидкостей и газов в разных пористых средах. Применялись нефть, вода, воздух и при­ родный газ. Образцы пористой среды были представлены сцементиро­ ванными и несцементированными песками, свинцовой дробью и др.

Пористость и проницаемость этих образцов изменялись в широ­ ких пределах (пористость от 12,3 до 37,8%, проницаемость от 3,13 до 3000 мд). Эффективный диаметр частиц определялся по форму­ ле (12, IV).

При прокачке различных жидкостей через указанные образцы по­ ристой среды авторы замеряли величины перепадов давлений Лр, рас­ ходов жидкостей Q по формуле (13, IV). Зная расходы жидкостей и га­ зов Q и площади сечений образцов F, легко было вычислить соответ­ ствующие значения скоростей фильтрации.

При обработке полученных результатов исследований искалась за­ висимость между безразмерным коэффициентом гидравлического со­ противления Л и числом Re, причем принималось, что

v — скорость фильтрации, жидкости или газа; g — их плотность и

/2 и v — соответственно абсолютная и кинематическая вязкость. Рассмотрение формул (1, VII) и (2, VII) показывает, что они со­

ставлены лишь по формальной аналогии с трубной гидравликой. Дей­ ствительно, потеря напора на трение h при движении жидкостей по круглым трубам равна:

I \L w2

AZ? 2g'

где Л — коэффициент гидравлического сопротивления; L — длина трубы;

D — диаметр трубы;

w — средняя скорость движения жидкости; д — ускорение силы тяжести.

Отсюда

х _ D -2gh

L w 2 ’

Умножив числитель и знаменатель на плотность д и учитывая, что 7 = дд и h'y = Ар, получим

2РАр

(3, VII)

Lw2g

Как известно из трубной гидравлики, коэффициент гидравличе­ ского сопротивления Л является функцией числа Re и относительной шероховатости стенок трубы е, причем

и (2, VII) показывает, что Фенчер, Льюис и Берне [174] при исследо­ вании явлений фильтрации воспользовались соотношениями трубной гидравлики, в которых скорость движения w механически заменили скоростью фильтрации v, а диаметр трубы D заменили эффективным диаметром частиц, слагающих пористую среду. Конечно, такая за­ мена является чисто формальной и поэтому определенные по фор­ мулам (1, VII) и (2, VII) значения X и Re не являются в действи­ тельности коэффициентами гидравлического сопротивления и чис­ лами Re в том смысле, как они понимаются в трубной гидравли­ ке. Однако, поскольку для данной пористой среды величина скорости фильтрации отличается от скорости движения лишь на постоянный множитель [см. формулу (16, IV)] и диаметр порового канала отли­ чается от диаметра песчинки также лишь на некоторый постоянный множитель, то значения А и Re, определенные указанными авторами, отличаются от соответствующих истинных значений коэффициентов гидравлического сопротивления и чисел Рейнольдса лишь на некото­ рые постоянные множители.

На рис. 40 приведены результаты этих опытов. По оси ординат отложены значения логарифмов А, по оси абсцисс — отвечающие им значения логарифмов Re. Каждая точка на рис. 40 отражает результа­ ты соответствующего опыта.

Напишем уравнения прямолинейных участков кривых зависимо­ стей IgA от lgRe. Поскольку они наклонены к оси абсцисс под углом минус 45°, то угловые коэффициенты их равны —1 и поэтому уравне­ ния прямых имеют вид

lg А = Л —lg Re, (а)

где постоянная А показывает величину отрезка, отсекаемого соответ­ ствующей прямой на оси ординат.

Подставляя в уравнение (а) значения А и Re из формул (1, VII)

Оставляя в правой части уравнения только постоянную А и учи­ тывая, что сумма логарифмов равна логарифму произведения, полу­ чим:

(б)

где

lg В = А.

Формула (г, VII) представляет линейный закон фильтрации, ибо она показывает, что скорость фильтрации прямо пропорциональна па­ дению давления на единице образца пористой среды. Из срав­

нения формул (г) и (13, V) следует, что величина ^ есть не что иное, как число S1, т. е. ^ = S1.

Таким образом, до тех пор, пока зависимость lg А от lg Re изобра­ жается прямой линией, фильтрация происходит по линейному закону

фильтрации. Тем самым определяются границы применимости этого закона. Значения чисел Re, до достижения которых фильтрация про­ исходит по линейному закону, а при превышении которых имеют ме­ сто отклонения от этого закона, называются критическими значения­ ми и обозначаются ReKp. На основании рассмотренных опытов можно считать, что критические значения чисел Re составляют 1 для сцемен­ тированных песков и 4 для несцементированных песков.

Проводились опыты по фильтрации воды в фиктивном грунте, со­ стоящем из свинцовой дроби. Диаметры дробинок изменялись в пре­ делах 1,05-4,92 мм. На рис. 41 приведены результаты этих опытов. В отличие от предыдущих опытов при обработке результатов экспери­ ментов по оси ординат откладывались не lg Л, а произведение ARe, а по оси абсцисс — значения Re.

Как видно из приведенного на рис. 41 графика, все эксперимен­ тальные точки (полученные таким же путем, как в опытах [174]) рас­ положились около двух прямых, составляющих ломаную линию, левая ветвь которой проходит параллельно оси абсцисс. Точка перелома име­ ет абсциссу Re= 4.

Уравнение прямой, проходящей параллельно оси абсцисс, имеет

вид:

ReA = В

где В — постоянная.

Подставляя вместо Re и А их значения из формул (I, VII) и (2, VII), получим формулу (в) и выражение для скорости фильтрации (г). Сле­ довательно, при Re ^ 4 фильтрация происходит по линейному закону. Итак, опыты со свинцовой дробью, так же как и эксперименты с раз­ личными образцами песков и песчаников, показали, что для пористой среды, состоящей из несцементированных частиц, критическое значе­ ние числа Re равно 4.

Напишем уравнение правой ветви ломаной линии — прямой, составляющей с осью абсцисс некоторый положительный угол (см.

где постоянная а' показывает величину отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, а постоянная Ь' — угловой коэффициент.

Подставляя в уравнение (6, VII) значения Л и Re, получим после сокращения

где а и b — постоянные, причем

2а!и

а — ’

. w e

ь = ~ г -

Из формулы (8, VII) следует, что при Re > ReKp между падением

давления на единице длины Li и скоростью фильтрации v нет линей-

ной зависимости. Проф. М. А. Великанов [25], Э. Чекалюк [192]2 и дру­ гие исследователи отмечают, что при Re > ReKp зависимость между скоростью фильтрации и градиентом давления лучше всего описыва­ ется двучленной формулой (8, VII).

§2. Теоретические исследования вопроса

ограницах применимости линейного закона

фильтрации

Впервые гидродинамическое обоснование вопроса о границах при­ менимости линейного закона фильтрации было произведено русским ученым акад. Н. Н. Павловским в его знаменитой работе [138].

2Об основных идеях работы Чекалюка следует сказать подробнее. Следует под­ черкнуть, что если принять двухчленную степенную формулу, то в значительной мере теряется смысл критического значения параметра Рейнольдса. Теоретически говоря, с самого начала режим фильтрации нелинейный. Однако практически, за­ даваясь определенным % % отклонением (малым процентом), режим фильтрации можно считать линейным до определенного значения Re, которое можно назвать условно критическим.

Акад. Павловский исходил из выражения для числа Re, использу­ емого при расчетах движения жидкостей в круглых трубах:

(9, VII)

где w — средняя скорость движения жидкости по трубе;

D— диаметр трубы;

^= v — кинематическая вязкость жидкости.

Акад. Павловский выразил входящие в формулу (9, VII) скорость движения w и диаметр D трубы (которую в данном случае можно рассматривать как поровый канал идеального грунта) через скорость фильтрации v, диаметр зерен d и пористость т.

В результате такого преобразования число Re применительно к условиям фильтрации в реальном грунте было приведено к виду:

Значение формулы (10, VII) в том, что она, сохраняя неизменный смысл параметра Re, учитывает пористость грунта гат и эффективный диаметр слагающих его частиц d'э .

Когда число Re достигает критического значения ReKp, скорость фильтрации тоже достигает критической величины г?кр, легко опреде­

На основе формулы (10, VII) и экспериментальных данных (см. § 1 настоящей главы) акад. Павловский установил, что критическое зна­ чение числа Re колеблется в пределах от 7,5 до 9, т. е.

Недостаток формулы (10, VII) заключается в том, что для вычис­ ления по ней числа Re, кроме знания скорости фильтрации г>, кинема­ тической вязкости жидкости v и пористости т , должен быть известен эффективный диаметр d? слагающих пористую среду частиц. Между тем вычисление величины эффективного диаметра одного и того же грунта по различным формулам (см. § 3 главы IV) дает различные, ино­ гда резко расходящиеся результаты. Кроме того, указанные формулы

совершенно не пригодны для пористой среды, представленной извест­ няками и доломитами. В связи с этим проф. В. Н. Щелкачев в 1942 г. выразил входящий в формулу (10, VII) эффективный диаметр зерен <£> через пористость т и проницаемость пласта к. Из общего выражения для проницаемости пласта к [см. формулу (10, VI)] легко определить величину d}э :

Исходя из значения числа S1 по Слихтеру и выразив просветность п через пористость т , В. Н. Щелкачев получил выражение для числа Re в виде1:

Подсчеты значений чисел Re по формулам (15, VH) и (10, VII) для фиктивных грунтов и хорошо отсортированных грунтов дают до­ статочно хорошо совпадающие результаты. Преимуществом формулы В. Н. Щелкачева является возможность определения чисел Re при дви­ жении жидкостей и газов не только в песках, но и в пористой среде, представленной сцементированными песками, известняками и доломи­ тами, пористость и проницаемость которых известны.

Произведенные В. Н. Щелкачевым подсчеты критических значе­ ний чисел Рейнольдса на основе формулы (15, VII) и эксперименталь­ ных данных о зависимости коэффициента гидравлического сопротив­ ления от числа Рейнольдса показали, что

ReKp = 1 + 12 2. (16, VII)

1См. статью Каприелова в АН Х, № 1, 1955 г., стр. 21.

2Относительно широкие пределы, в которых заключены критические значения числа Re, возможно объясняются тем, что в формулах (15, VII) и (10, VII) не учте­ ны некоторые факторы, зависящие от структуры (строения) порового простран­ ства. Критическое значение параметра Re в подземной гидравлике может зависеть от структуры порового пространства аналогично тому, как в трубной гидравлике величина ReKp зависит от степени шероховатости труб. Кроме того, как отмеча­ лось выше, переход от одного режима фильтрации к другому происходит плавно, что затрудняет установление определенного критического значения ReKp.