1464

где F — площадь поперечного сечения АВ одномерного потока;

Q — объемный расход жидкости через это сечение (в этой формуле объемный расход следует подсчитывать, учитывая истинные давления в разных точках сечения АВ);

h — напор и

р* — приведенное давление в точке М 1.

Напор и приведенное давление всегда уменьшаются в сторону дви­ жения потока (в данном случае в положительном направлении оси /) и потому при переходе от точки М к М ', т. е. при положительном d/, изменение приведенного давления dp*, а, следовательно, и величи­

ны Щ и - - - оказываются отрицательными. Чтобы получить абсолют­ ен at

ное значение (существенно положительную величину) скорости, при­ шлось в правой части формулы (5, VIII) поставить знак минус.

Алгебраическую величину характеризующую изменение дав­

ления на единице длины пути вдоль направления быстрейшего изме­ нения давления, будем называть градиентом давления2.

1 Чтобы не вводить коэффициенты усадки, будем считать, что всюду, если нет специальной оговорки, объемы жидкости подсчитываются применительно к пла­ стовым условиям.

2Строго говоря, градиент давления есть величина векторная. Абсолютное значе­ ние только что определенной нами алгебраической величины равно модулю вектора градиента давления.

Рис. 50. Элемент радиального потока

радиуса г и высоты 6, равной мощности (высоте) потока (см., например, рис. 44 и 45):

Если в основной плоскости течения поток ограничен радиусами АО и ОБ, то под F следует подразумевать лишь часть боковой поверхности цилиндра.

Предположим, что на рис. 50 точка О является центром, к кото­ рому сходятся прямолинейные траектории трехмерного радиального потока. В таком случае формулы (9, УШ) и (10, VIII) останутся без изменения, но под F надо подразумевать площадь соответствующей части поверхности сферы. Так, например, если считать, что рис. 50 является элементом потока, изображенного на рис. 46, то для всего изображенного на рис. 46 потока F будет равно поверхности полусфе­ ры:

Одномерное и радиальное движение несжимаемой жидкости в условиях водонапорного режима

§ 1. Одномерное движение по линейному закону фильтрации

Исследуем горизонтальный установившийся одномерный поток однородной несжимаемой жидкости в условиях водонапорного режима.

Рис. 51. Вертикальное сечение элемента пласта и пьезометрическая линия в условиях одномерного потока.

Будем считать, что движение жидкости в пористой среде подчиняется линейному закону фильтрации. Допустим, что заданы постоянные ве­ личины приведенных давлений (а следовательно, и напоров) р* и р* в двух вертикальных сечениях OR и БТ, перпендикулярных направ­ лению движения потока (см. рис. 51); пусть р* > р*. На фиг. 51 изоб­ ражено вертикальное сечение потока ORTB, проведенное параллель­ но скорости потока; плоскость этого сечения совмещена с плоскостью

координат x z, а плоскость ху совмещена с нижней непроницаемой гра­ ницей (подошвой) пласта.

Линии OR и ВТ мы интерпретируем как сечения, соответствую­ щие контуру области питания пласта и галлерее; индексы «к» и «г» около обозначений давлений соответствуют первым буквам слов «кон­ тур» и «галлерея».

Конечно, линии OR и ТВ можно было бы интерпретировать и по-другому — как сечения, соответствующие началу и концу образ­ ца горной породы (части керна) при определении его проницаемости в лабораторных условиях.

Расстояние между сечениями OR и ВТ обозначено через LK, мощ­ ность пласта — Ъ.

Рис. 52. Горизонтальное сечение элемента пласта в условиях одномерного по­ тока.

Как было выяснено в предыдущей главе, для полного исследования потока достаточно изучить движение жидкости вдоль оси хх и ограни­ читься построением изобар в одной горизонтальной плоскости, напри­ мер в плоскости ху. Если за опорную плоскость принять плоскость ху, то, судя по формуле (3, VIII), можно утверждать, что истинное давле­ ние в какой-либо точке опорной плоскости численно равно приведен­ ному давлению в той же точке. Обозначим через рк и рг постоянные заданные величины давлений на контуре области питания и в галлерее на уровне опорной плоскости; иными словами, рк и рг есть истинные давления в точках О и В сечения пласта на рис. 51, т. е. давления вдоль горизонтальных линий 0 0 ' и В В' на рис. 52. На рис. 52 поток изобра­ жен в плане (в сечении плоскостью ху); буквой а обозначена ширина потока. Исследование изучаемого потока сводится к определению дав­ ления, градиента давления и скорости в любой точке фильтрационного потока, к определению дебита и закона движения.

(7, IX)

'К

к Рк - Р г

(8, IX)

ЧLK

Формулы (5, IX) — (8, IX) вполне определяют все искомые величи­ ны не только применительно к одной плоскости ху фильтрационного потока, но и для всего исследуемого пространственного одномерного потока. Действительно, рк — рг = р* —р*, а потому, заменив р, рк, рг через р, р*, р*, можем считать, что упомянутые формулы вполне опре­ деляют градиенты давления, давление и скорость фильтрации в любой точке всего потока1.

Оказывается, что дебит есть линейная функция перепада давления (или перепада приведенного давления или перепада напора).

Градиент давления и скорость фильтрации постоянны — не зави­ сят от координаты х.

Истинное и приведенное давления (напор) суть линейные функ­ ции координаты х. Откладывая параллельно оси ординат на рис. 51 отрезки, пропорциональные истинному давлению в точках оси х, по­ лучим пьезометрическую линию E N F , которая, согласно только что сказанному, оказывается прямой.

Судя по формуле (7, IX), истинное давление в горизонтальной плоскости будет одинаковым во всех тех точках, для которых постоян­

представляет собой уравнение семейства изобар — семейства горизон­ тальных прямых линий, параллельных оси у.

Поверхностями равного напора (равного приведенного давления) будут служить вертикальные плоскости, параллельные плоскости yz.

Вданном случае изобары и траектории (прямые, параллельные оси х) образуют два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий.

Вусловиях других плоско-параллельных потоков изобары и траекто­ рии могут не быть прямолинейными, но всегда должны пересекать друг друга под прямым углом (т. е. должны быть взаимно ортогональными). Это общее свойство гидродинамического поля будет доказано далее.

Следуя упомянутому в § 2, главы VIII, правилу, изобары данного потока необходимо чертить на одинаковом расстоянии друг от друга.

Заметим, что рк может быть названо статическим (при остановке), а рг — ди­

намическим (при работе) давлениями в галлерее на уровне опорной плоскости.

U

Рис. 53. Горизонтальное сечение элемента пласта в условиях одномерного по­ тока; специальный выбор осей координат, наиболее удобный для сравнения с радиальным потоком.

начало координат так, как показано на рис. 53. Обозначив

ОАг = Lr, ОМ = х,

ОАк = Ьк

и сохранив все остальные прежние обозначения, мы из форму­ лы (7, VIII), применительно к потоку в плоскости x z , получим:

рх

(12, IX)

Рк Рг

3Если начало координат выбрать в точке А г (см. рис. 53а) и ось у пустить вдоль галлереи, то окажется Ьг = О, L'K = LK и вместо формул (14, IX) и (15, IX) получим

Рис. 53а. Горизонтальное сечение элемента пласта в условиях одномерного потока. Начало координат — на линии галлерей.

Заметим, что если бы давления рк и рг в сечениях АКА'К и АГА'Г были бы не постоянными, а заданными функциями времени, то фор­ мулы (5, IX) — (8, IX), (14, IX), (15, IX) остались бы справедливыми. Действительно, поскольку при данном исследовании жидкость и пори­ стая среда считаются несжимаемыми, постольку изменение давления должно мгновенно распространяться на весь фильтрационный поток.

Поэтому, как бы ни менялось давление на «границах пласта» (в сеченияхЛк и А г ) , в каждый данный момент времени распределе­ ние давления в пласте и скорость частиц жидкости будут таковы, как если бы поток был установившийся.

Состояние движения в любой момент не зависит от истории дви­

жения.

Считая, что рк и рг являются заданными функциями времени, из перечисленных выше формул дебит, скорость, градиент давления и давление также определяются как функции времени.

следующие формулы, которыми в дальнейшем воспользуемся:

Рк ~РГ~

ь к