1464

Исходя из уравнения (13, XI). имеем:

где р' — среднеарифметическая величина между избыточными давле­ ниями на контуре питания и в галлерее.

Из формул (9, XI) и (5, XI) легко найти объемный расход жидко-

сти Q = ^

Как видно из формулы (15, XI), объемный расход сжимаемой жид­ кости в случае установившегося движения есть величина переменная, поскольку плотность жидкости д есть функция х (см. формулу 11, XI).

Разделив объемный расход жидкости на площадь F, найдем ско­ рость фильтрации v, являющуюся также переменной величиной:

_к_ Рк ~ Рг 1

(16, XI)

Рр LK Q*

Знак минус в правой части формулы (16, XI) указывает, что ско­ рость фильтрации направлена противоположно направлению оси х.

Подставляя в формулу (15, XI) вместо д величину £ат, полу­ чим приведенный к атмосферному давлению объемный расход жид­ кости фат

В случае же установившейся одномерной фильтрации несжимае­ мой жидкости объемный расход жидкости QH (см. формулу 14', IX) равен:

Сравнение формул (18, XI) и (19, XI) показывает, что при одинако­ вых граничных условиях приведенный к атмосферному давлению объ­ емный расход сжимаемой жидкости QaT отличается от расхода несжи­ маемой жидкости QHл и ш ь на множитель (1 +/?р'). Но величина /Зр' ма­

ла по сравнению с 1. Так при /3= 5-10“ 5^ и р' = 100 am, (Зр' = 5 •Ю_3. Поэтому при решении большинства практических задач с достаточной точностью [учитывая точность определения других коэффициентов, входящих в уравнение (16, XI) и в уравнение (17, XI)] можно считать, что расход сжимаемой и несжимаемой жидкости при одинаковых гра­ ничных и прочих условиях одинаков и для определения расхода сжи­ маемой жидкости надо пользоваться формулой (17, XI).

Близость значений расходов сжимаемой и несжимаемой жидкости указывает на близость кривых распределения давления в пласте, по­ скольку расход жидкости прямо пропорционален градиенту давления. Действительно, дифференцируя уравнение (11, XI) по х и учитывая

Разделив (20, XI) на (21, XI) и учитывая малую сжимаемость жид-

кости, имеем:

Но если значения градиентов давления в каждой точке пласта при фильтрации сжимаемой и несжимаемой жидкости практически совпа­ дают (при прочих равных условиях), то и соответствующие кривые распределения в пласте должны также совпадать.

Отсюда вытекает, что при решении ряда практических задач, свя­ занных с фильтрацией сжимаемой жидкости, можно пользоваться фор­ мулами распределения давления для несжимаемой жидкости.

§ 2. Радиальная установившаяся фильтрация сжимаемой жидкости

При плоском радиальном движении сжимаемой жидкости по ли­ нейному закону фильтрации в направлении, противоположном направ­ лению оси г, массовая скорость фильтрации равна:

dp

(23, XI)

dr'

Из формулы (3, XI) градиент давления будет:

CL D

Подставляя это значение ^ в уравнение (23, XI), получим:

Массовый расход жидкости QMполучим, умножив модуль массо­ вой скорости gv на площадь сечения F = 27гг6, где Ь— мощность пла­ ста:

Формулы (29, XI) и (30, XI) дают изменение плотности жидкости в пласте в направлении г. Для определения давления в различных точ­ ках пласта нужно найденные по формулам (29, XI) и (30, XI) значения д подставить в уравнение (3, XI).

Найдем объемный расход жидкости Q:

Разделив объемный расход Q на площадь F = 2пгЬ, найдем ско­ рость радиальной фильтрации жидкости, направленную противопо­ ложно направлению оси г:

1п7Ггьс

Подставляя в формулу (31, XI) д = £ат, получим величину приве­ денного к атмосферному давлению расхода сжимаемой жидкости Q&T:

1пж

Формула (35, XI) отличается от известной формулы (21, IX) для дебита несжимаемой жидкости на постоянный множитель (1 + /?р').

Поскольку, как указывалось в § 1, величина /Зр' мала по сравнению

сединицей, при решении практических задач дебит (объемный рас­ ход Q) скважины при радиальной фильтрации сжимаемой жидкости

сдостаточной точностью можно определить по формуле Дюпюи

1пж

Произведя далее вычисления, аналогичные приведенным в § 1, по­ лучим формулу (22, XI), из которой следует, что кривые распределения давления в пласте при радиальной установившейся фильтрации сжи­ маемой и несжимаемой жидкости практически совпадают.

В связи с изложенным очевидно, что все соображения, приведен­ ные в § 2 и 3 главы IX, о форме изобар и линий тока, о зависимости дебита скважины от ее радиуса и расстояния до контура питания, о «во­ ронке депрессии» и пр. справедливы и для установившейся фильтрации сжимаемой жидкости в аналогичных условиях.

§3. Приближенное решение задачи

онеустановившейся радиальной фильтрации сжимаемой жидкости

До вскрытия пласта скважиной давление р, а следовательно, и плотность жидкости Q во всей нефтяной залежи одинаковы и равны первоначальному пластовому давлению и соответствующей ему плот­ ности жидкости. Рассмотрим горизонтальный пласт, пренебрегая дей­ ствием силы тяжести вследствие незначительной мощности пласта по сравнению с напором жидкости.

Выясним, что происходит в пласте при вскрытии его скважиной в условиях упругого режима. Схема пласта изображена на рис. 54.

Начиная с момента вскрытия нефтяной залежи, по мере отбора жидкости, падение давления распространяется от скважины к конту­ ру питания. Падение давления-приводит к расширению находящейся в пласте жидкости и вытеснению за счет этого нефти из пласта в сква­

жину.

Назовем этот процесс увеличения «радиуса действия» RKскважи­ ны или, иными словами, расширения «воронки депрессии» первой фа­ зой неустановившегося движения1. Характерной особенностью ее яв-

1 Величина RK является условной и определяется по методу последовательной

смены стационарных состояний (см. дальше).

ляется постоянство давления на внешней границе воронки депрессии, величина которого равна первоначальному пластовому давлению.

С того момента, когда радиус воронки депрессии гк достигнет кон­ тура области питания, на котором в условиях водонапорного режима давление рк можно во многих случаях считать постоянным, движение жидкости станет установившимся и при решении практических задач можно (как указывалось в § 1 и 2 настоящей главы) считать жидкость несжимаемой.

Если количество жидкости, поступающей в пласт в области пита­ ния, меньше количества жидкости, отбираемой из пласта, или равно нулю, то движение жидкости в пласте будет происходить в условиях падения контурного давления, характеризующего истощение пласто­ вой энергии. Назовем этот процесс истощения нефтяной залежи второй фазой неустановившейся фильтрации.

Поскольку разработка нефтяных месторождений производится в течение длительных промежутков времени, исчисляемых годами, из­ менения во времени дебита жидкости и давления в пласте происходят относительно медленно. Это позволяет для решения задачи о неустано­ вившейся фильтрации сжимаемой жидкости воспользоваться методом последовательной смены стационарных состояний, при применении ко­ торого приближенно принимается, что в каждый момент времени де­ бит жидкости и распределение давления в пласте такие же, как в слу­ чае установившейся фильтрации жидкости при тех же граничных усло­ виях. Рассматривая неустановившуюся радиальную фильтрацию сжи­ маемой жидкости как непрерывную последовательность стационарных состояний, для определения дебита скважины и забойного давления в пласте можно воспользоваться формулами, приведенными в § 2 на­ стоящей главы.

1. Случай, когда дебит скважины является постоянным

Пусть ко времени t (время, истекшее с момента ввода скважины в эксплуатацию) падение давления распространилось на расстояние RK от скважины. Тогда масса жидкости, извлеченной из пласта за время t, равна QM£, где массовый расход QM= const. С другой стороны, мас­ са извлеченной из пласта жидкости равна изменению массы жидкости, находящейся в пласте.

Следовательно,

где i? — объем порового пространства области пласта, ограниченной окружностью радиуса Дк,

Подставляя вместо д(г) его выражение из формулы (30, XI), раз­ делив уравнение (43, XI) на дк и вводя переменные e, R* и f , значения которых даются формулами (40, XI), получим:

к1

где R* = -щ.

Произведя интегрирование, получим:

получим:

Рис. 66. Зависимость безразмерного радиуса воронки депрессии R* от без­ размерного времени т в случае эксплуатации скважины при постоянном де­ бите (Q = const).

На рис. 66 приведена кривая зависимости безразмерного радиу­ са воронки депрессии R* от безразмерного времени т, построенная по формуле (49, XI).

Зная значения R* в различные моменты времени, легко най­ ти соответствующие им величины забойного давления рс. Из форму­ лы (21, IX) имеем:

(50, XI)

Рс ~ Рк 2тгkb

где Q — объемный расход жидкости.

Распределение давления определяется по формуле (23, IX)2.

2. Случай эксплуатации скважины при постоянном противодавлении

2По формуле (23, IX) Дюпюи можно определять фиктивное распределение дав­ ления, а не истинное.