1464

Часть III

Задачи подземной гидравлики, допускающие элементарное решение

§ 1. Описание простейших фильтрационных потоков

Рассмотрим три типа фильтрационных потоков, полное исследо­ вание которых можно выполнить элементарными методами.

Предположим, что при движении жидкости или газа в пористой среде совокупность всех траекторий состоит из параллельных прямых линий, причем в каждом плоском сечении, перпендикулярном к на­ правлению движения, скорости фильтрации во всех точках не только параллельны, но и равны друг другу1.

г 3

Рис. 42. Одномерный поток.

Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока совершенно одинаковы, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за декартову ось координат, например за ось х. Заметим, что положение частицы жид­ кости, движущейся вдоль оси, вполне определяется одной координатой.

*Для дальнейшего важно подчеркнуть, что при установившемся движении жид­ кости траектории совпадают с линиями тока. То же справедливо и для тех неустановившихся потоков, в которых с течением времени в каждой точке меняется лишь величина, но не направление скорости.

Кроме того, если рассматриваемый поток установившийся, то в любой его точке скорость фильтрации и напор будут функциями только од­ ной координаты х. Поток, обладающий перечисленными свойствами, называется одномерным.

На рис. 42 изображено сечение одномерного потока, параллель­ ное направлению движения. Как будет доказано ниже, в один и тот же момент времени в разных сечениях, перпендикулярных направле­ нию движения, скорости фильтрации оказываются различными только в том случае, если движется газ или если учитывается, что жидкость сжимаема. Так, например, на рис. 42 в сечении А\А\ скорость филь­ трации всех частиц сжимаембй жидкости или газа равна vi, а в се­ чении А2А2 — равна v2, причем v\ < г>2- Для одномерного движения несжимаемой жидкости v\ = г>2, т. е. скорость фильтрации оказывается одинаковой во всем фильтрационном потоке.

Рис. 43. Прямолинейная батарея скважин FF, эксплуатирующих залежь нефти АВС, и почти одномерный поток краевых вод.

С одномерным фильтрационным потоком приходится сталкивать­ ся на практике в следующих, например, случаях: в лабораторных усло­ виях при движении жидкости или газа через цилиндрический керн па­ раллельно его оси; на отдельных участках подземного артезианского потока, когда поперечное сечение потока мало изменяется. Допустим также, что залежь нефти АВС составляет часть пластовой водонапор­ ной системы, которая схематически изображена на рис. 43. АС — кон­ тур нефтеносности, FF — ближайшая к контуру батарея (группа) эксплуатационных скважин; залежь нефти испытывает односторонний напор краевой воды справа. Границу M ABCN считаем практически непроницаемой, определяющейся линиями выклинивания продуктив­ ного пласта, линиями сбросов или порогов фациальной изменчивости. При эксплуатации батареи равнодебитных скважин F F приток жид­ кости к ним справа можно считать почти одномерным (за исключе-

Рис. 44. Плоский радиальный Рис. 45. Вертикальное сечение плоского поток (в плане). радиального потока к гидродинамически

совершенной скважине.

нием ближайшей к скважинам зоны скорости фильтрации v всех ча­ стиц жидкости будут друг другу параллельны, см. подробности в гла­ ве XXI). Чем теснее в описываемых условиях расположены скважины в батарее FF, тем точнее поток жидкости к ним можно характеризо­ вать как одномерный. Если мысленно представить себе крайний пре­ дел уплотнения сетки скважин — заменить батарею скважин сплош­ ной прямолинейной галлереей, то движение жидкости к галлерее будет строго одномерным.

Перейдем к потоку второго типа, исследование особенностей кото­ рого имеет весьма большое значение для понимания законов притока нефти, воды и газа к скважинам. Предположим, что при движении жидкости или газа в пористой среде все его частицы движутся парал­ лельно одной и той же плоскости. Такое плоскопараллельное движение частиц жидкости или газа можно назвать двухмерным, ибо для пол­ ной характеристики потока достаточно изучить движение хотя бы в од­ ной плоскости, параллельной основной; положение же частицы в опре­ деленной плоскости вполне определяется двумя координатами. Если в каждой из упомянутых плоскостей движения траектории оказыва­ ются прямыми линиями, радиально сходящимися в одной точке (или расходящимися из одной точки), то такое движение называется двух­ мерным радиальным сечением или плоско-радиальным движением. На рис. 44 представлено сечение двухмерного сходящегося радиального потока, параллельное основной плоскости движения.

Как и в случае одномерного потока, частицы жидкости или газа здесь движутся по прямолинейным траекториям, но в основной плос­

кости движения траектории, а следовательно, и скорости фильтрации друг другу непараллельны.

Допустим, например, что непроницаемые кровля АА! и подо­ шва В В' однородного пласта друг другу параллельны и эксплуатацион­ ная скважина CD вскрывает пласт на всю его мощность (см. рис. 45). Заметим, что скважину, вскрывшую пласт на полную мощность, на­ зывают в подземной гидравлике « гидродинамически совершенной по степени вскрытия пласта». Если такая скважина сообщается с пла­ стом только через отдельные отверстия в колонне труб (будут ли они отверстиями специального фильтра или отверстиями, простреленными в трубах и цементном кольце, когда пласт вскрыт по методу сплошной заливки), то ее называют «гидродинамически совершенной по степени вскрытия, но гидродинамически несовершенной по характеру вскры­ тия». Если башмак водозакрывающей колонны остановлен у кровли пласта, пласт вскрыт на всю мощность, забой скважины открытый, так что жидкость может свободно притекать к скважине через всю по­ верхность ее стенок, то такую скважину называют «гидродинамически совершенной и по степени и по характеру вскрытия пласта» или просто

«гидродинамически совершенной».

Понятно, что чем больше отверстий в фильтре или чем больше дыр прострелено в колонне труб и в цементном кольце и чем большую мощ­ ность пласта вскрывает скважина, тем лучше условия ее работы при­ ближаются к условиям работы гидродинамически совершенной сква­ жины.

Допустим, что скважина CD на рис. 45 гидродинамически совер­ шенная, причем уровень жидкости в скважине, даже при ее работе, находится выше кровли пласта; если к тому же скважина находит­ ся вдали от соседних эксплуатационных скважин и вблизи нее нет нарушений в сплошности и однородности пласта, то приток жидко­ сти (или газа) к забою такой скважины будет плоско-радиальным. На рис. 45 стрелками указаны направления скоростей фильтрации жид­ кости; рис. 44 можно рассматривать как изображение в плане притока жидкости к гидродинамически совершенной скважине. Даже если бы скважина CD вскрывала пласт не на полную мощность, то отклоне­ ние потока от плоско-радиального имело бы место лишь в ближайшей окрестности забоя скважины. Строгое гидродинамическое исследова­ ние доказывает, что уже на расстоянии от такой скважины, равном мощности пласта (и тем более на еще большем расстоянии), движение жидкости почти точно следует законам плоско-радиального движения. Если бы скважина была не эксплуатационная, а нагнетательная, т.е.

внее нагнетали бы воду или газ, то направления стрелок на рис. 44

и45 пришлось бы переменить на прямо противоположные.

Итак, в произвольном установившемся плоско-параллельном (двухмерном) потоке скорость фильтрации и напор должны быть, во­

обще говоря, функциями двух координат, определяющих положение точки в плоскости потока.

Рис. 46. Вертикальное сечение сферического радиального потока к сква­ жине, вскрывшей кровлю пласта весьма большой мощности.

Однако в частном случае плоско-радиального потока картина упрощается: благодаря осевой симметрии величина скорости фильтра­ ции и напор в какой угодно точке М потока зависят только от ее рас­ стояния г до точки пересечения О всех траекторий, лежащих в одной плоскости с М (см. фиг. 44). Зависимость величины скорости филь­ трации и напора только от одной координаты — от радиуса вектора точки — позволяет провести полное исследование плоско-радиального потока столь же элементарными методами, как и в случае одномерного потока.

Перейдем к третьему типу потоков. Если все частицы жидкости (или газа) движутся в пористой среде так, что их скорости фильтрации не параллельны одной и той же плоскости, то такое движение называ­ ется пространственным, или трехмерным, ибо для определения поло­ жения частицы жидкости в пространстве требуются три координаты. Если при пространственном движении все траектории прямолинейны и радиально сходятся в одной точке (или расходятся из одной точки), то такое движение называется трехмерным радиальным, или сфериче­ ским радиальным. Рис. 44 можно рассматривать как плоское сечение сферически-радиального движения, проведенное именно через ту точ­

ку О пространства, в которой все траектории сходятся.

И здесь, благодаря пространственной симметрии относительно центра О, величина скорости фильтрации и напор в какой-нибудь точ­ ке потока будут функциями только от расстояния г между этой точкой и центром О. Поскольку величина скорости фильтрации и напор оказы­ ваются функциями только от одной переменной (от радиуса-вектора г), постольку полное исследование сферического радиального потока так­ же можно выполнить элементарными методами.

Можно привести такой пример сферического радиального потока: допустим, что гидродинамически несовершенная скважина В'ВЕСС' малого диаметра едва вскрыла непроницаемую горизонтальную кров­ лю ABCD однородного пласта весьма большой мощности (см. рис. 46). В таком случае приток жидкости или газа в ближайшей окрестности к забою скважины будет почти точно (тем точнее, чем меньше сте­ пень вскрытия пласта, чем больше его мощность и чем меньше ра­ диус скважины) следовать законам трехмерного радиального движе­ ния.

§ 2. Напор и приведенное давление; поверхности равного напора и изобары

Рис. 47. Элемент пласта (вертикальный разрез).

Рассмотрим вертикальное сечение элемента пласта ABCD (см. рис. 47); AD и ВС — сечения подошвы и кровли пласта.

Проведем опорную горизонтальную плоскость, пересекающую вы­ бранное нами вертикальное сечение пласта по прямой, которую примем за ось х. Будем отсчитывать высотные отметки различных точек пла­

ста от выбранной горизонтальной плоскости, а в сечении ABCD — от оси х .

Обозначим высотные отметки точек Е и К через Z E и Z K , дав­ ления в этих точках — через ре и рк, вес единицы объема жидкости в пластовых условиях — через 7 . Тогда напоры Не и Нк в точках Е и К определяются как суммы пьезометрических высот и высотных отметок:

Если в этих формулах давления р измерять в атмосферах, то вы­ сотные отметки z и напоры h необходимо измерять в сантиметрах, а ве­ личину 7 — в кг/см3.

Определим приведенные давления р*Е и р*к в точках Е и К с по­

в той же точке, а также вес единицы объема жидкости в пластовых условиях.

Приведенным давлением часто удобнее пользоваться, чем истин­ ным. Действительно, в реальных условиях забои скважин в одном и том же пласте имеют разные гипсометрические отметки, ибо, во-первых, скважины имеют различные глубины проникновения в пласт и, во-вто­ рых, одни скважины вскрывают пласт в более повышенной, а дру­ гие — в менее повышенной части структуры.

Благодаря этому глубинные манометры, помещенные на забоях скважин, зафиксируют различные пластовые давления даже тогда, ко­ гда никакого движения жидкости в пласте нет. Однако напоры и при­ веденные давления будут в последнем случае одинаковы во всех сква­ жинах. Наоборот, если жидкость в пласте движется, то напоры и при­ веденные давления уменьшаются в сторону ее движения.

Приведенные давления в точках Е и К были бы равны истин­ ным давлениям в точках Е* и К *, лежащих в опорной плоскости на одних вертикалях с Е и К, если бы поток однородной жидкости в пла­ сте был плоско-параллельным, и именно горизонтальным, и если бы опорная плоскость была расположена внутри потока. Конечно, то же

заключение о равенстве истинных и приведенных давлений было бы справедливо и в частном случае однородной покоящейся жидкости.

На практике за опорную горизонтальную плоскость чаще всего принимают либо первоначальное зеркало водо-нефтяного контакта, ли­ бо помещают опорную плоскость на уровне моря.

В формулах (1, VIII) — (4, VIII) напор выражается в сантимет­ рах столба жидкости с удельным весом, соответствующим пластовым условиям. Когда величину 7 в пластовых условиях можно считать по­ стоянной, это не вызывает особенного неудобства.

Однако часто приходится сталкиваться с такими случаями, когда в пласте находятся две жидкости, с разными удельными весами, напри­ мер вода и нефть или соленая и пресная вода. В этих случаях(а так­ же при наличии в пласте газированной жидкости) для сопоставлений статических пластовых давлений в разных точках пласта удобнее пе­ ресчитать напоры и измерять их в метрах или сантиметрах столба од­ ной определенной жидкости, например воды с удельным весом, равным единице.

При подсчетах величины «избыточного напора», определяющего высоту уровня жидкости в открытой скважине, в формулы (1, VHI) — (4, VHI) следует вместо абсолютных давлений подставить избыточные над атмосферным.

До сих пор в данном параграфе мы упоминали лишь о жидкостях, ибо при движении газа в пласте и при сравнении давлений в различных точках чисто газовой залежи влиянием веса самого газа пренебрегают. Считая величину 7 для газа в формулах (3, VIII) и (4, VIII) пренебре­ жимо малой, можно сделать вывод, что в чисто газовой залежи нет надобности различать истинное давление и приведенное. Поэтому все, что ниже будет говориться о приведенном давлении, следует для чисто газовой залежи считать справедливым и по отношению к истинному давлению.

Геометрическое место тех точек в пласте, в которых напор име­ ет одну и ту же величину, образует поверхность равного напора; эта поверхность одновременно является и поверхностью равного приведен­ ного давления. Как дальше будет показано, в любой точке пласта ско­ рость фильтрации жидкости всегда направлена по нормали к поверх­ ности равного напора, проходящей через ту же точку пласта.

Всегда, когда поверхность равного напора не вырождается в го­ ризонтальную плоскость, давления в разных точках этой поверхности напора оказываются различными (но приведенные давления, повторя­ ем, будут одинаковыми).

В плоско-параллельных горизонтальных фильтрационных потоках поверхности равного напора оказываются цилиндрическими поверхно­