1189

Таким образом, если материал обеих фаз слоистого композита под­ чиняется закону линейной упругости, то при любых законах ползучести упругая деформация композита полностью обратима. Это подтвержда­ ется также обширными экспериментальными исследованиями разных авторов.

Пусть теперь хотя бы одна из фаз композита подчиняется закону

Из первого уравнения очевидно, что oi° является корнем уравнения (неизвестная обозначена через х)

Предполагая, что Aoi определяется из третьего уравнения, вычтем из второго уравнения третье. Тогда легко видеть, что разность o*i —Aoi является корнем уравнения

Поскольку 01° и a*i —Aoi являются корнями различных уравнений [см. правые части (10) и (11)], то условие (8), вообще говоря, не выпол­

вом a- + bn<(a+b)- (а>О, Ь>0, п>1), из (14) получаем

тривиальное неравенство an+ bn> (а+ Ь)п (а>О, Ь>О, 1 > /г>0), из (14) легко получить, что

)

откуда следует (13).

Аналогично можно показать, что, если p*i>p*2, то при п> 1 выпол­ няется (13), а при 0< AZ< 1 — (12).

Таким образом, может происходить как упрочнение материала (в смысле уменьшения упругих деформаций), так и его разупрочнение. Технический интерес представляет случай, когда п> 1, поскольку пока­ затель 1 > лг>0 не встречается у конструкционных материалов. Исклю­ чением являются биоволокна (например, мышцы сердца).

Когда обе фазы удовлетворяют нелинейной теории упругости, дока­ зательство общих положений, подобных неравенствам (12) и (13), за­

ф1 (СГ1°), (pi(cr*i), cpi(Acn).

Изучим влияние ползучести на величину упругой деформации при ступенчатом изменении внешней нагрузки.

Пусть в промежутке времени fe]0 , /*[ композитный образец нагру­

=•+0 возникнет мгновенная упругая деформация e°= cpi(ai°), определя­ емая системой уравнений (5). Затем в результате ползучести фаз

= а'(/> 0 ), то тогда мгновенная упругая деформация (обозначим ее е") определилась бы из системы уравнений

ао'\+ (1 —a)cr//2 = a/; ф^с/'О =ф 2(а"2),

Аналогично тому, как это было сделано ранее, можно доказать, что, если фазы композита удовлетворяют линейным законам упругости, то

и если р*\>р*2, то при л>1 выполняется (18), а при 0</г<1 — (17).

УДК 539.4:678.067

Т. Л. Челидзе

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ПРОЧНОСТИ композитов

Экспериментально установлено, что в большинстве случаев разрушение — это множественный, развивающийся во времени и простран­ стве процесс [1, 2]. Поскольку следить за каждой из 1016—1011 трещин, имеющихся (например, в полимерах) в предразрывном состоянии [3], а тем более за их взаимодействием и перераспределением полей напря­ жений, невозможно, исходя из классической теории трещин [4], стано­ вится очевидной необходимость применения статистического подхода к описанию разрушения. Необходимость статистических методов осо­ бенно наглядно проявляется в таких сильно неоднородных системах, как композиты, горные породы, трещиноватые среды, где разрушение, несомненно, должно иметь дисперсный характер.

Для аппроксимации процесса развития ансамбля трещин использу­ ются различные статистические подходы — такие, как априорные введения неизменных в процессе разрушения функций распределения прочностей (либо напряжений) [5, 6], теория ветвящихся (марковских) процессов [7—9]. Однако при этом не всегда становится возможным учесть топологические аспекты процесса — число и расположение трещин, характер их взаимодействия, возможность слияния (кластери­ зации), уменьшения эффективного «несущего» сечения системы [10, И], иными словами, принять во внимание степень и характер связности системы.

Теория перколяции (протекания) [12, 13] предоставляет возмож­ ность достаточно корректно учесть топологические факторы (связ­ ность), определяющие ход дисперсного разрушения.

В наших предыдущих работах [14, 15] рассматривалась эволюция дисперсного разрушения, основанная на представлениях теории перко­ ляции — а именно, статистических закономерностях образования и укрупнения кластеров из элементарных дефектов с ростом концентра­ ции последних р вплоть до появления при критической концентрации рс (порог перколяции) бесконечного кластера (БК), пронизывающего всю систему. (Естественно, размеры дефектов а гораздо меньше раз­ меров системы L.) Величина рс определяется размерностью системы D и координационным числом (числом ближайших дефектов) Вт. Беско­ нечный кластер можно рассматривать как аналог магистрального раз­ рыва. В упомянутых работах использовались в основном решеточные модели перколяции, где подразумевалось, что сфера влияния фиксиро­ вана; она — порядка постоянной решетки, и поэтому поля ближайших соседей достоверно перекрываются. Отсюда следовало, что явление протекания в этой модели обусловлено лишь ростом концентрации на­ рушений. Роль силы (механических напряжений) в этом случае сво­ дится к обеспечению роста числа элементарных дефектов — трещин, обладающих идентичными характеристиками (размером, «сферой вли­ яния» и т. д.), и к разделению тела на части при достижении крити­ ческой концентрации pD. Величина pD отличается от обычного условия протекания рс, ибо ря — это критическая концентрация дефектов, обес­ печивающая возможность расцепления тела на части. Естественно, Ро^>Рс и зависит от типа поверхности разрушения. При растяжении 2£>-систем, например, достаточно потребовать отсутствия «замков» БК,

препятствующих расцеплению. Как показали численные эксперименту, «замки» — явление довольно редкое, и поэтому pD^ p c-

Описанная выше модель соответствует больше термофлюктуационному разрушению, коррозии под напряжением, разрушению из-за усы­ хания и т. д., — назовем их длительным разрушением. Основное вни­ мание обращалось на доказательство существования тесных аналогий в закономерностях процессов разрушения и перколяции ^ на поиски предвестников (прогноз близости к критическому состоянию) путем анализа статистики кластеров.

В то же время ясно, что большой интерес, особенно для практики, представляет формулировка таких понятий, как прочность или крити­ ческая, максимальная нагрузка (деформация) в рамках теории перко­ ляции. Попытаемся сформулировать перколяционную модель так на­ зываемого силового (атермического) мгновенного разрушения. Из ус­ ловия «мгновенности» разрушения следует, что оно происходит при практически неизменном числе дефектов Ns с характерным размером а за счет перекрытия их «сфер влияния» радиусом Rc. Положим, что радиус сферы влияния определяется приложенным (положительным) напряжением о, тогда при любой концентрации Ns приложением доста­ точно большой нагрузки можно добиться выполнения условия неустой­ чивости (разрыва).

Соответствующие модели в теории, протекания имеются — это так

ностей соотносятся как R = r/2, то условие связности в обеих моделях идентично (рис. 1). В [16] показано, что критическая доля поверх­ ности CAF (critical area fraction), при которой образуется БК, явля­ ется инвариантной лишь для модели ОФ.

Рассмотрим пока двухмерную (2D) систему, например, черно-бе­ лую, используя понятие CAF в модели случайных узлов для ОФ. Со­

где R — радиус поля влияния; F(da) — некая функция расстояния между i и / — dif, Н — функция Хевисайда: Н(х) =0 при *,<0, Н(х) = = 1 при х^О .

Рассмотрим несколько задач.

1. Положим, что все R равны й что перекрытия полей дефектов достаточно для разрушения, т. е. имеем простейший случай перколяции: F(dij) =dij. Это означает, что имеется однородное распределение по энергиям связи Е\ микроплощадок, причем Ei = Em[n==l и условие

(1) переходит в

Численные эксперименты [16] показывают, что перколяция имеет

их Ns- Не стремясь к строгости расчета и полагая, что напряжение близ дефекта Да на расстоянии г от его центра, размер дефекта а и

где Дас и ас — значения Да и а при r = RCl получим простейшее перколяционное выражение для разрушающего напряжения ас

2. Положим, что для разрыва связи между узлами i и / недоста­ точно лишь перекрытия полей влияния, а необходимо еще преодолеть некоторую силу сцепления. Припишем всем узлам некоторую энергию

Это модель перколяции случайных узлов с окружностями переменного радиуса, ибо на величину Rc влияет безразмерная энергия связи узла Ei = E{/Em|П. Условие (6) жестче, чем (2), ибо из БК выпадают узлы

сбольшой энергией связи; иначе говоря, области с большой

микропрочностыо не разрушаются при выполнении условия (2) и требуется приложить большую нагрузку для достижения Rc, со­ ответствующего условию (6). Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2, где двухмерная задача с различными энергиями связи рассмот­ рена как аналог трехмерной модели с ограниченным третьим измере­ нием по Ei и показан разрез в плоскости x(\/Ei). Если все £i=const== = 1, то условие связи Вц = Н(Е — йц) = 1 выполняется для всех узлов: I, /, k\ введение распределения по энергиям исключает из кластера узел k, ибо для него условие 2йц/[ (l/Ej) + (1/£/,)] не выполняется.

Рассмотрим уравнение для CAF в этой модели. Согласно [17] ве­ роятность того, что любая точка плоскости не попадет в круг радиуса Гт/Ei (гш — максимальный радиус круга, соответствующий Е{—1), опи­ санного вокруг узла, равна ехр[—А(1/Е{)N (l/Ei)d(l/Ei)], где A(\/Ei) —

площадь круга, описанного вокруг i-ro узла,

При равномерном распределении А (1 /£ г) от 0 до 1 имеем для вероят-

ности любой точки, плоскости попасть в описанные вокруг узлов окруж­ ности в модели ПФ

№ =1-ехр [ - y n r m2iVs] = 1 —exp [ - y ( r m/f,)2]

или при выполнении условия d i j ^ [(l/£j) + (\/Е,)]гт получим для CAF

где вместо rm подставлен критический перколяционный радиус для «охватывающих» окружностей Rc^2.rm, т. е. здесь модель «перекрыва­ ющихся» фигур переведена в модель «охватывающих», для которых и доказана инвариантность CAF. Подставляя вновь Rc из выражения (4а), имеем из (8)

Это выражение можно рассматривать как аналог двухмерного рас­ пределения Вейбулла с плотностью вероятности сах*~хехр (—сха) при a = l, c= L2^>1, где L — приведенный размер системы, и с интервалом изменения х от 0 до 1. Тогда, подставляя (10) в (7), получим

распределения типа (10) наблюдается сильный масштабный эффект: при фиксированном числе дефектов N„ чем больше размер системы,

Выражение (12) практически совпадает с формулой Броека [18] для прочности двухфазной смеси с включениями, расположенными в узлах

кубической решетки; 2) вместо (9) имеем при однородном распределении энергии связей

и условии связи (6)

1 _ CVF = ехр [ - - 1 (4яЯc3JVs)/24 ] = exp [- я (<тс/Дас) W * /24],

где CVF (critical volume fraction) — критическая объемная доля,

3) наконец, для экспоненциального распределения энергий связи вида N(l/Ei) —NSL3exp (—L3/£,) и при том же условии (6)

Нетрудно видеть, что так же, как и в 2D (см. рис. 2), в трехмерных системах учет распределения по энергиям связи эквивалентен введе­ нию ограниченного (от 0 до 1) четвертого измерения.

4. Рассмотрим теперь несколько иную модель: положим, что между узлами будущего БК имеются упругие связи (цепочки), разрыв кото­ рых и обеспечивает впоследствии развитие БК. Предположим также, что связи между узлами i и / осуществляются последовательным со­ единением пц звеньев цепочки {nij~dij) с экспоненциальным распре­ делением прочностей звеньев:

где но — прочность бездефектного материала. Хотя прочность каждой цепочки определяется звеном с наименьшей прочностью, прочность сетки определит цепочка с наибольшим aj (или наименьшим (1ц) из всего набора этих минимальных значений dij. Поэтому прочность сетки можно оценить из выражения (15). Тогда, принимая E i= E min= l и приравнивая dij величине RJ2 в (3), получим для 2D

При условии (6) и равномерном распределении 1/£у от 0 до 1 отноше­ ние Rcl2rs = Rc/2dij=l,85 (см. [16]) и

Вместо (16) и (17) в трехмерных системах получаются соответственно выражения

Можно далее ввести экспоненциальную функцию распределения по энергиям и получить аналоги формул (11) и (14).

Попытаемся конкретизировать величину Дас в формулах (5), (10), (11) —(14), т. е. то значение поля дефекта на расстоянии Rc от ее