1189

Из уравнения (2.8) следует, что в общем случае система уравнений принадлежит к смешанно-составному типу [6], причем направления ар­ мирования всегда являются характеристиками. В настоящее время тео­ рия уравнений смешанно-составного типа разработана недостаточно полно, чтобы можно было аналитически исследовать свойства решений системы уравнений (2.7) в общем случае. Здесь удается выделить и ис­ следовать некоторые частные классы решений системы (2.7). В случае ео=0 система уравнений (2.7) допускает, в частности, решения, соответ­ ствующие однородному деформированному состоянию (гх= гу= 61 = 62; e*i/=Y= 0). В этом случае из уравнений (2.5) получаем

Операторы дифференцирования (2.4) по направлениям, параллель­ ному и ортогональному волокнам /е-го свойства, в общем случае неперестановочиы. Разность смешанных производных удовлетворяет соотно­ шению

Применяя эти соотношения при дифференцировании углов армирования а/, и учитывая первые два из уравнений (2.9), получим

д2ак

(6= 1, 2).

dlhdtih

Интегрируя эти уравнения вдоль каждого отдельно взятого волокна 6-го семейства, получим либо

где /л — текущая длина волокна, измеряемая от точки пересечения во­ локон с границей пластинки; 1н° — произвольная постоянная.

Случай (2.10) соответствует параллельной укладке волокон. Из по­

х,1= ТТТ7Г (*fc°=const; 6=1,2).

Так как интенсивность армирования т пропорциональна кь, то в случае непараллельной укладки волокон интенсивность армирования обратно пропорциональна текущей длине волокон.

3. Рассмотрим теперь задачу проектирования пластинки, армирован­ ной одним семейством равнонапряженных волокон постоянного попереч­ ного сечения (N=1). В этом случае в силу условия равнонапряженности (1.2) деформированное состояние пластинки можно представить в виде

2ex=2ei —в(1 —cos 2<х\) — у sin2af, 2ey= 2ei —е(1 + cos 2<х\) +у sin2af,

e&= E + Es(v/u—1—v) / (1 +v) +о)о(1 —u)IRyu.

Уравнение совместности деформаций (4.3) в новых обозначениях прини­ мает вид

de е

(4.6)

d R + Ru = '

Подставляя соотношения (4.5) в уравнение равновесия (4.2) и учи­ тывая (4.6), получаем

где с — произвольная постоянная. Это решение соответствует однород­ ному деформированному состоянию er= ee= ei. Волокна арматуры в этом случае укладываются вдоль прямых линий, проходящих на расстоянии с от начала координат. При вычислении напряжений по формулам (4.5) предполагается, что интенсивность армирования на внутреннем контуре пластинки достигает своего максимально допустимого значения со*. Это предположение позволяет с помощью соотношения (4.1) определить постоянную <о0. На рис. 1 показаны траектории армирования пластинки, соответствующие безразмерным нагрузкам <7= 0,38 и р = 0,13. На рис. 2 представлены графики изменения напряжений построенного проекта в зависимости от текущего радиуса. Здесь кривые 1 и 2 соответствуют усредненным напряжениям OR и а©, а прямая 3 — аналогичным напря­ жениям в связующем, которые в силу однородности деформации равны и постоянны. Все вычисления производились при следующих значениях входных параметров: Еа/Ет=15\ v = 0,33; со* = 0,7; а = 0,3; RQ= 5.

Исключая в общем случае из уравнений (4.6) и (4.7) е, получаем

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1983, № 2. с. 285—289

УДК 624.073.001:678.067

И. Н. Преображенский

ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ПЛАСТИНОК

СФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

ВКОСОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Последние достижения в технологии, химии, математике и механике позволили вплотную подойти к разработке теоретических методов исследования поведения тонкостенных конструктивных элементов в виде плас­ тинок и оболочек с физико-механическими особенностями. Эти особен­ ности мог.ут присутствовать в несущих элементах в различном виде — прежде всего в структурном, когда мы используем композитный мате­ риал, геометрическом — изменение толщины, появление вырезов и т. п. и, наконец, нагрузочном — сосредоточенные, импульсные, кратковремен­ ные, знакопеременные и т. п. виды нагружения. Анализ поведения столь разнообразных деформируемых систем и нагрузок ставит перед механи­ ками бесчисленное множество задач, для исследования которых разра­ батываются все новые и новые методы. Автором в работе [1] исследо­ ваны подобные задачи, а именно, посвященные изучению поведения систем, ослабленных различной формы вырезами, на основе сплошных моделей с физико-механическими характеристиками, терпящими раз­ рывы однородности.

Описание сплошных моделей проводилось с помощью обобщенных, в частности импульсивных, функций. В названной работе исследо­ вание осуществлялось в декартовой системе координат. Отметим очень важную, с нашей точки зрения, особенность применяемого математиче­ ского аппарата, состоящую в том, что импульсивную функцию от не­ скольких переменных можно представлять произведением импульсивных функций от каждой переменной в отдельности. Эта особенность исполь­ зована в работе [2] для изучения колебаний круговых пластинок с выре­ зами в полярной системе координат. В результате были получены вполне приемлемые для практического проектирования теоретические резуль­ таты, подтвержденные экспериментами авторов [3]. Указанные сообра­ жения позволяют сделать вывод о том, что аналогичный подход целесо­ образно развить для изучения поведения пластинок различной формы (в частности, в форме параллелограмма) с физико-механическими осо­ бенностями на основе импульсивных функций в различных системах ко­ ординат (в частности, косоугольной системе координат), выбор которых обусловливался формой исследуемой конструкции. Для вывода соответ­ ствующих соотношений были использованы зависимости не только на­ званных выше работ, но и работы [4].

Считается, что задачи устойчивости и колебаний будут формулиро­ ваться в рамках теории Кирхгофа—Лява при следующих предположе­ ниях: при деформации нормали к срединной поверхности остаются пря­ мыми; нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, равны нулю. По-видимому, здесь целесообразно отметить [4], что в рамках этих предположений теория имеет достаточную точ­ ность согласно известным «статическим» исследованиям, когда толщина составляла не более 0,2 наименьшего размера пластинки в плане. Бу­ дем рассматривать соотношения в рамках линейной теории.

весия (движения) для пластинок с переменной жесткостью в форме па­ раллелограмма в косоугольной системе координат

+ - ^ sec,“ l<t8, 't + i‘) - ^ r - 2sec!<tt8 “ - 5 p ^ +sec!® '5^rJ

Уравнение (14) позволяет исследовать собственные частоты колеба­ ний или устойчивость изотропных пластинок в форме параллелограмма, ослабленных вырезами или имеющих участки со ступенчатым измене­ нием жесткости (массы). Если исследуются собственные ча'стоты коле­ баний, то грузовой член G уравнения (14) запишется следующим об­ разом:

где у — переменный параметр, характеризующий плотность пластинки, Y=Y(g,T)); g — ускорение свободного падения; h — толщина пластинки (если пластинка имеет ступенчато изменяющуюся толщину, то через h обозначают толщину приведения); t — время.

Переменные параметры изгибной жесткости и плотности определя­ ются по методу работы [1].

Для исследования собственных частот изгибных колебаний по методу работы [1] необходимо задаться их формой, зависящей от условий за­ крепления наружного контура исследуемой пластинки. Такие соотноше­ ния можно принять по аналогии с работой [4], где они использовались для изучения движения изотропных параллелограммных либо ромбовид­ ных пластинок. Так, для случаев, когда угол а мал (15—30° в зависи­ мости от граничных условий), формы колебаний могут описываться зависимостью типа

где Хт, У„ — балочные функции для соответствующих граничных усло­ вий внешнего контура пластинки.

Формы колебаний пластинок, изображенных на рис. 3, с физико-меха­ ническими особенностями, например, ослабленных центральным свобод­ ным вырезом той же формы и сторонами, параллельными наружному контуру, могут аппроксимироваться в первом приближении выписан­

при условии a = b . Основной тон колебаний параллелограмма с анало­ гичными граничными условиями и центральным свободным вырезом может быть исследован с помощью функции вида

ш= (а 2— х 2) (Ь2- у 2) ( а 10+ а п х у + а 2оХ2+ а 02У2+ а 31х 2у + а 13х у 3+ а 2 2 Х 2у 2) .

Для случая рис. 3—б формы колебаний могут аппроксимироваться функцией (15) и, наконец, для случая рис. 3—в

AvqUPq>

где

Выбор функций, аппроксимирующих колебания пластинок с вырезами, в форме, аналогичной сплошным изотропным, базируется на сравнениях, полученных автором ранее [1] при изучении частот собственных колеба­ ний прямоугольных пластинок с вырезами.

Выведенные здесь соотношения пригодны для исследования колеба­ ний параллелограммных пластинок, выполненных из композитных мате­ риалов с армирующими элементами, компенсирующими ослабление, вно­ симое вырезом. Кроме того, полученное уравнение равновесия может быть использовано для исследования устойчивости аналогичных парал­ лелограммных пластинок.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Преображенский И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отвер­ стиями. М., 1981. 192 с.

2.Белякова Н. Г., Преображенский И. Н. Влияние вырезов на собственные частоты

колебаний круговых пластинок. — Прикл. механика, 1981, т. 17, вып. 1, с. 71—76.

3. Белякова Н. Г., Преображенский И. Н. Экспериментальное исследование низших частот собственных колебаний круговых пластинок с отверстиями. — В кн.: Сопротив­ ление материалов и теория сооружений. Киев, 1981, с. 12— 16.

4. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, 1964. 288 с.