1189

разница в напряженных состояниях существенно уменьшается. Следует отметить, что в приведенном примере анизотропия ленты и усилие натяжения исключительно велики и выходят за пределы, ха­ рактерные для намотки композитов. При меньших значениях, как по­ казали расчеты, изменением геометрических характеристик в процессе намотки можно пренебречь, особенно при использовании в качестве независимой переменной порядкового номера слоя, и решать задачу намотки композитов в более простой, геометрически линейной поста­ новке.

7. Принятая физическая схематизация процесса намотки является дискретной по увеличивающемуся внешнему радиусу. С этой точки зрения более адекватной является дискретная модель. Однако уравне­ ния равновесия и соотношения Коши в намотанных витках заменены в этой модели их конечно-разностными аналогами. Это обстоятельство служит источником определенной погрешности в описании процесса намотки. Последнего недостатка лишена непрерывная модель, однако в ней процесс дискретного увеличения наружного радиуса заменен не­ прерывным его ростом. Поэтому при численной реализации этого ме­ тода целесообразно, чтобы шаг по растущему наружному радиусу был равен толщине наматываемой ленты. Таким образом, обе модели при­ ближенно описывают принятую физическую схему процесса намотки.

Определение напряженно-деформированного состояния при дискрет­ ной постановке задачи намотки связано с прямой численной реализа­ цией дискретной модели. Ее использование приводит к конечно-разно­ стной схеме, т. е. многократно повторяющемуся решению возрастаю­ щего числа линейных уравнений (вплоть до конечного числа слоев), коэффициенты которых изменяются на каждом шаге в соответствии с решением на предыдущем. В качестве шага естественно принять тол­ щину наматываемого слоя h. Учет времени в уравнении состояния, как уже указывалось, не связан с принципиальными усложнениями реше­ ния, делая его лишь более громоздким.

Этот метод характеризуется не очень высокой точностью, которая может быть повышена лишь путем выбора более мелкого шага и счета с повышенной точностью (удержанием большего числа значащих цифр). Дробление шага до величин, существенно меньших толщины наматываемой ленты, как уже отмечалось, ведет к искажению картины намотки и поэтому нежелательно. Другая возможность улучшить дис­ кретную модель заключается в использовании более точных дискрет­ ных аналогов непрерывных зависимостей. Кроме того параметры за­ кона состояния (6) можно определять более точно, вычисляя, например, коэффициенты в (6) в каждом слое итерационным методом, т. е. сна­ чала при напряжениях и деформациях, предшествующих наложению очередного витка, затем после вычисления приращений этих величин при средних (до и после наложения витка), а затем уточнить указанные приращения и т. д. Последний метод и был использован при проведении численных расчетов.

Численная реализация непрерывной модели связана с необходимо­ стью решения уравнения (21) или (22) с переменными коэффициен­ тами, заданными таблично, при растущей (с шагом h) границе и соот­ ветствующих граничных условиях. Использование для решения метода конечных разностей приводит к вычислительной процедуре, аналогич­ ной используемой в дискретной модели. Однако формулировка задачи в рамках непрерывной модели лучше приспособлена к применению всего спектра численных методов, в том числе и методов решения кра­ евых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ (см., например, [22]), чем ее дискретный аналог. Здесь также можно прибегнуть к процедуре итерационного уточнения коэффициентов урав­ нений, описанной выше. При использовании непрерывной модели воз­ можен и переход от дифференциальных уравнений fHna (21) и (22) к интегродифференциальным подстановкой (23).

8. Численные расчеты, иллюстрирующие применение описанных моделей, проводились для физически нелинейно-упругого полуфабри­ ката с законом деформирования в виде:

Значения констант принимались соответствующими стеклопластикам в состоянии переработки: £ е-5 -1 0 4 МПа; Ет= 4 МПа; изменением Вг в интервале 25—200 МПа удалось охватить весь диапазон деформацион­ ных кривых сжатия полуфабрикатов стеклопластиков перпендикулярно слоям, приведенных в [15, 23]. Значение коэффициента Лг>0 малосу­ щественно для решения задачи [см. уравнение (22)]; примем вследст­ вие его малости Лго= 0.

Расчеты по дискретной и непрерывной моделям по описанным выше конечно-разностным схемам показали практически совпадающие ре­ зультаты (h/по принималось равным 0,001). Характерные зависимости, окружных напряжений от толщины наматываемого изделия при малых (40 МПа) и больших (160 МПа) натяжениях наматываемой ленты приведены на рис. 4. Как видно, с ростом толщины возможна полная потеря слоями предварительного натяжения и даже переход их в об­ ласть сжатия. При этом исходная расчетная модель, строго говоря, остается справедливой лишь для жесткого при сжатии в окружном направлении материала. Окружные свойства слоев полуфабриката при сжатии связаны с их искривлением и становятся неопределенными. Как видно, при намотке ужесточающегося при сжатии в поперечном направлении материала искривление слоев более вероятно при малых натяжениях намотки. Это иллюстрируется графиками на рис. 5, где показаны соотношения ае° и /?Н/Пь при которых впервые появляются слои с ае= 0.

Как видно, увеличение натяжения и намотка более жестких в по­ перечном направлении материалов существенно увеличивают толщины колец, которые можно намотать без искривления волокон с постоянным натяжением за один прием. Характерные зависимости относительного давления на оправку с ростом толщины наматываемого кольца при­ ведены на рис. 6. Они подтверждают два экспериментальных факта, обнаруженных при тензометрировании. оправок, — быстрое стремление давления на оправку к горизонтальной асимптоте, связанное с сущест-

Рис. 4. Изменение окружных напряжений по толщине с ростом относительных разме­

Рис. 5. Соотношения напряжений Оо° при намотке и относительных размеров нама­

А

3

2

Рис. 6. Зависимости относительного давления q/oe0 на оправку от относительного раз­ мера наматываемого кольца /?н/го при различных натяжениях ае° (МПа) (цифры у

кривых). Вг=100 МПа. Штриховые линии соответствуют толщинам, при которых в кольцах появляются искривления.

Рис. 7. Связь между предельным относительным давлением <7тах/(Уе0 на оправку и напряжением в наматываемой ленте <те° при различных Вт (МПа) (цифры у кривых).

венной анизотропией наматываемого материала [24], и зависимость относительного давления на оправку от натяжения [25]. Последнее вызвано ужес?очением полуфабриката в поперечном направлении при увеличении натяжения, т. е. при увеличении радиальных напряжений в наматываемом изделии. Это ужесточение и связанное с ним умень­ шение анизотропии наматываемого материала иллюстрируются рис. 7, где приведена зависимость предельного давления на оправку от усилия натяжения при различных деформативных характеристиках полуфаб­ риката в поперечном направлении. Таким образом, учет нелинейности позволяет объяснить экспериментальные данные по исследованию про­ цесса намотки композитов.

Выводы. 1. Показано, что принятая в механике намотки дискретная слоистая модель является конечно-разностным аналогом задачи о не­ прерывно растущем теле.

2. В рамках описанной в работе непрерывной модели удобно иссле­ довать намотку материалов с любым уравнением состояния.

№5, с. 884—890.

2.Пат. Японии № 53-31.

3.Пат. США № 3226273.

4.Васильев В. В. Упруго-пластические деформации металлических баллонов дав­

ления, усиленных однонаправленным стеклопластиком. — Механика полимеров, 1969,

№6, с. 1069— 1074.

5.Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М., 1980. 375 с.

6. Николаев В. П., Инденбаум В. М. К расчету остаточных напряжений в намо­ точных изделиях из стеклопластиков. — Механика полимеров, 1970, № 6, с. 1026— 1030.

7.Инденбаум В. М., Перевозчиков В. Г Расчет остаточных напряжений в намо­ точных изделиях, образованных методом послойного отверждения. — Механика поли­ меров, 1972, № 2, с. 284—289.

8.Саусвелл Р\ В. Введение в теорию упругости. М., 1948. 676 с.

9.Ковальский Б. С. Теория многослойной навивки каната. — Докл. АН СССР,

1950, т. 24, № 3, с. 429—432.

10. Кожин С. В. Нагружение барабана при многослойной навивке каната. —

Вкн.: Тр. ВНИИПТМАШ, 1962, вып. 8(30), с. 44—64.

11.Яблонский Б. Напряженное состояние многослойной конструкции при навивке ленты на цилиндру — Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 12, с. 130— 133.

17.Триннер В. К. Постановка задачи о термонапряжениях в растущем теле при заданных на растущей поверхности полных тензорах напряжений и силовых деформа­ ций. — В кн.: V Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике. Анн. докл. Алма-Ата, 1981.

18.Очан М. 10. Программированная намотка изделий из композитов, нелинейно­

тропного вязкоупругого цилиндра методом сеток. — В кн.: Вопросы судостроения, 1976, вып. 12, с. 143— 147 (Л.).

20. Лобанова Г Ф. Ползучесть наследственно-упругой ортотропной трубы, нагру­ женной внутренним давлением. — В кн.: Исследования по упругости и пластичности. 1974, вып. 10, с. 120— 129 (Л.).

21.Болотин В. В., Воронцов А. Н., Мурзаханов Р. X. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготовления. — Механика композит, материалов, 1980, № 3, с. 500—508.

22.Бидерман В. Л. Некоторые вычислительные методы решения задач строитель­

ной механики, приводимых к обыкновенным дифференциальным уравнениям. — В кн.: Расчеты на прочность, 1976, № 17, с. 8—36 (М.).

23. Тарнопольский Ю. М., Портнов Г. Г., Бейль А. И. Механика намотки компо­ зитов. — Изв. АН ЛатвССР, I960, № 12 (401), с. 80—97.

- 24. Бривманис Р. Э., Портнов Г. Г. Исследование процесса намотки бандажа из однонаправленной стеклоленты. — Электротехника, 1968, № 3, с. 53—57.

25. Благонадежин В. Л., Мишенков П. В., Перевозчиков В. Г Исследование дав­ ления на оправку в процессе изготовления намоточных изделий методом тензометри-

Рига

Институт механики Московского

государственного университета uft- Af. В. Ломоносова

Институт механики полимеров АН Латвийской ССР, Рига

УДК 678.2.001:678.067

А. П. Грабовский

ВЛИЯНИЕ УПРУГОНАСЛЕДСТВЕННЫХ СВОЙСТВ МАГНИТНОЙ ЛЕНТЫ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ЕЕВИТКОВ

Всообщении предлагаются формулы для напряжений и перемещений

врулоне из линейно-наследственного материала с цилиндрической ани­

зотропией.

1. В полярной системе координат с полюсом анизотропии в центре рулона для упругого материала радиальные аг и окружные аф напряже­ ния, радиальное перемещение витков и, а также усилия натяжения

имеют вид [1]

га

(m—l)r2m—( т + 1)ф2т

Г2 т +ф 2т

ftm_<ф2т

[(г —Офо £ 1+т г2т+ф:2т

где

начальный и конечный радиусы рулона; v<pr; vr(p — коэффициенты Пуас­ сона; б — толщина материала; а фо; оГо — постоянные остаточные окруж­ ные и радиальные напряжения.

Уравнения (1) с точностью до постоянной сходны с уравнениями, по­

Здесь Ефо; ЕГо; v Фг0; v r(Po— мгновенно-упругие значения модулей Юнга и коэффициентов Пуассона; Хф>Рп Рф‘, а — параметры, характеризую-

Для изучения релаксации радиальных напряжений между витками рулона магнит­ ной ленты использовали метод продергивания тонких пластинок сечением 1,2X0,016 мм2 с идеально чистой поверхностью из стали ЭИ-708 А, устанавливаемых по радиусу в процессе намотки. На рис. 1 показаны зависимости усилия продергивания пластинки F от ее перемещения /, которые фиксировали через определенные промежутки времени, при

По установившимся участкам А определяли усилия продергивания пластинки F. Зная коэффициенты трения пластинки по рабочему слою щ и по основе для маг­ нитной ленты, а также усилие продергивания F, остаточные радиальные напряжения между витками рулона определяли зависимостью

F

O r — --------------- .

Здесь b — толщина рулона, h — ширина пластинки.

Исследования релаксации радиальных напряжений между витками рулона магнит­ ной ленты были проведены на специально разработанной установке (рис. 2), обеспечи­ вающей перемещение зажима в двух взаимноперпендикулярных направлениях горизон­ тальной плоскости. Это позволяет устанавливать зажим над любой точкой рулона без его дополнительного поворота. На нижней плите 1 имеется электропривод 26 с короб­ кой передач 3, обеспечивающей требуемую скорость перемещения зажима 11 при пере­ мещении подвижной траверсы 21 по направляющим 2. Динамометрическая система вы­ полнена в виде мембраны 14 с наклеенными полупроводниковыми тензорезисторами, соединенными в мост 23, и посредством переходника соединена с системой опорных призм 16. Опорные призмы с динамометром с помощью ходового винта 13, вращение которому передается от маховичка 12, перемещаются по направляющим 15 в попереч­ ном направлении горизонтальной плоскости. С помощью маховичка 4 ходовым винтом по направляющим 6 осуществляется перемещение динамометра с зажимом в горизон­ тальном продольном направлении. Подвижная траверса перемещается с помощью ходо­ вого винта 17 от электропривода через коробку передач 3, муфту и коническое зубча­ тое зацепление 25. На основании 7 жестко закреплена подставка 3, на которой устанав­ ливается рулон магнитной ленты 9 с пластинками для продергивания 10. Точная установка зажима над исследуемой пластинкой осуществляется с помощью маховичка 19. Мостовая схема динамометра питается от источника постоянного напряжения 24. Сигнал, снимаемый с динамометра, записывается автоматически на потенциометре 22 (типа КСП). Установка обеспечивает осевое продергивание пластинки на исследуемом радиусе рулона с постоянной линейной скоростью перемещения зажима.

На рис. 3 представлены типичные экспериментальные результаты релаксации ради­

Рис. 1. Зависимость усилия продергивания F от перемещения пластинки I во времени.

Рис. 2. Схема установки для исследования радиальных напряжений в рулоне: 1 — ниж­ няя плита; 2 — вертикальные направляющие; 3 — коробка передач; 4 — маховик гори­ зонтального продольного перемещения; 5 — опорные винты; 6 — горизонтальные про­ дольные направляющие; 7 — основание; 8 — подставка; 9 — исследуемый рулон ленты; 10 — продергиваемые пластинки; 11 — зажим; 12 — маховик горизонтального переме­

щения; 13 — ходовой винт горизонтального поперечного перемещения; 14 — динамо­ метр; 15 — горизонтальные поперечные направляющие; 16 — опорные призмы; 17 — вертикальный ходовой винт; 18 — верхняя траверса; 19 — маховик вертикального перемещения; 20 — корпус гайки горизонтального поперечного перемещения; 21 — под­ вижная траверса; 22 — электронный потенциометр; 23 — мостовая схема динамометра;

24 — блок питания; 25 — коническое зубчатое зацепление; 26 — электродвигатель.

Рис. 3. Релаксация радиальных напряжений в рулоне магнитной ленты.

Рис. 4. Относительное изменение радиальных напряжений во времени в рулоне магнит­ ной ленты.

вает, что наиболее интенсивно релаксационные процессы протекают в начальный (после намотки) период времени и в витках, расположенных у оправки.

Влияние величины начального напряжения в витках наматываемого материала на динамику релаксации радиальных напряжений в рулоне в относительных координатах Ort/oro = f(0 (<*rt — радиальные напряжения в рулоне в момент времени /; а Го — ра­

диальные напряжения в рулоне в начальный момент времени при / = 0 ) показано на рис. 4 . Из рассмотренного примера следует, что в диапазоне напряжений намотки от

Из экспериментов на простую ползучесть при растяжении прямоугольных полосок образцов и сжатии набранного пакета отрезков наматываемой ленты в интервале рабо­ чих напряжений, возникающих по радиусу намотки, согласно принятым в формулах (5) обозначениям и методикам обработки кривых [4, 8 ] были определены реологические пара­

=0,063; xi = 0,027; Х2=0,036; 6Г=0,088; т 0=4; т=4,72.

На рис. 5 представлены результаты сравнения теоретических и экспериментальных данных распределения радиальных напряжений в рулоне магнитной ленты после его намотки (кривые /, 2) и после хранения рулона в течение 20 ч (кривые 3, 4). Сплош­ ными линиями изображено теоретическое распределение радиальных напряжений в ру­

экспериментальные результаты пределов изменения отношения схг*/афо для рулонов, на­

матываемых с постоянным напряжением в ленте от Го=2,5 МН/м2 до Г0 =7,5 МН/м2

(нижняя и верхняя кривые соответственно).

Сравнение расчетных и экспериментальных данных показывает, что найденные соот­ ношения достаточно точно описывают релаксацию напряжений в рулоне магнитной ленты, с учетом ее наследственных свойств.

Рис. 5. Распределение радиальных напряжений в рулоне магнитной ленты после на­ мотки и при его хранении в течение 20 ч. Пояснения в тексте.

Рис. 6. Изменение усилия натяжения при намотке рулона магнитной ленты, обеспечи­ вающего постоянство окружных напряжений в витках без учета и с учетом ее наследст­ венных свойств. Пояснения в тексте.

О влиянии наследственных свойств наматываемой ленты на изменение усилия натя­ жения в витках можно судить по рис. 6. Кривые изменения усилия натяжения, обеспе­ чивающие постоянство остаточных окружных напряжений после намотки рулонов, по­ строены при то=4 (кривая /)_, а для хранящихся рулонов магнитной ленты, с учетом ее наследственных свойств, при т=4,72 с использованием операторных представлений [7, 8] (кривая 2),

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Грабовский А. П„ Дебривный И. Е., Билида Г. В., Кострицкий В. В. О некоторых закономерностях механики намотки полимерной пленки в рулон. — Хим. и нефтян. ма­ шиностроение, 1979, № 9 (95), с. 82—83.

2.Тарнопольский Ю. М., Портнов Г. Г. Изменение усилия натяжения при намотке деталей из стеклопластиков. — Механика полимеров, 1956, № 2 , с. 278—284.

3.Тарнопольский Ю. М., Портнов Г. Г. Программированная намотка стеклопласти­ ков. — Механика полимеров, 1970, № 1, с. 48—53.

4.Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 383 с.

5.Ван Фо Фы Г. А. К теории анизотропной ползучести стеклоленты. — Механика полимеров, 1965, № 2, с. 64—69.^

6 . Розовский М. И. Нелинейные интегрально-операторные уравнения ползучести и

задача о кручении цилиндра при больших углах крутки. — Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1959, № 5, с. 109— 116.

7. Громов В. Г. К вопросу о решении граничных задач линейной вязко-упругости. — Механика полимеров, 1967, № 6 , с. 999— 1011.

8 . Портнов Г. Г., Бейль А. И. Модель для учета нелинейности свойств полуфабри­