1189

УДК 539.3:678.067

Г И. Брызгалин, В. П. Багмутов, С. Д. Копейкин

АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАКОНОВ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПОДХОДА

Одним из существенных преимуществ композитов по сравнению с традиционными изотропными и однородными материалами является возможность изменения их внутренней структуры по усмотрению проек­ тировщика. Реализация этого преимущества связана с необходимостью подбора закона среды, т. е. уравнений связи между напряжениями, де­ формациями и параметрами структуры композитного материала, доста­ точно точно описывающего свойства не только одного материала, но це­ лого их ряда, получающегося при изменении структурных параметров, таких, как углы между волокнами, объемная доля волокон в слое и т. п. Более того, желательно, чтобы принятые модельные представления, из которых следуют определяющие соотношения, были пригодны для раз­ ных типов материалов, как, например, углепластики и металлические композиты. Это облегчит проектирование конструкции в целом, по­ скольку выбор типа материала является решающим моментом, опреде­ ляющим качества будущего изделия.

К настоящему времени советскими и зарубежными авторами, часть которых указана в библиографии, разработаны и экспериментально подтверждены разнообразные модели, приводящие к подходящим соот­ ношениям композитных сред.

Естественно, что каждый автор, предлагая свои соотношения, убеж­ дается в их удовлетворительном соответствии с экспериментом для неко­ торых композитов при некоторых условиях испытаний. Однако разнооб­ разие условий, в которых приходится работать изделиям из композитов, разнообразие форм и соотношений их внутренней структуры приводят к тому, что для каждого конкретного закона можно найти условия испы­ таний, когда он неудовлетворительно описывает свойства определенного материала. Эти несоответствия могут увеличиваться при смене типов со­ ставляющих материалов, даже если характер структуры остается прежним.

Такая ситуация вызывает естественные затруднение у проектиров­ щика при недостатке экспериментальных данных (который в действи­ тельности всегда имеет место) и может повлечь существенные просчеты

впроектировании.

Всвязи с этим, представляется своевременной для практики и теории инженерного проектирования постановка следующих задач:

1)выяснение областей применимости конкретного закона среды при изменении напряженных состояний, структурных параметров и состав­ ляющих композитных материалов;

2)расширение области адекватности по отношению к экспериментам конкретного закона композитной среды за счет варьирования свободных постоянных модели, к которым возможно отнести и постоянные, характе­ ризующие те механические и структурные параметры, определение кото­

вий проектируемого изделия.

Рассматриваемые задачи взаимосвязаны в том отношении, что для их решения необходимо ввести представления о качестве закона среды как многокритериальной оценке его адекватности имеющемуся объему экспериментальных данных.

Ниже на основе многокритериального подхода будет Дай анализ и произведена оптимизация ряда структурных моделей, с помощью кото­ рых решается типичная задача механики композитов — определение эф­ фективных модулей упругости в плоскости армирования материала, со­ ставленного из некоторого числа однонаправленных слоев с заданными углами <рп ориентации волокон в некоторой общей для пакета системе координат

Одним из распространенных приемов решения рассматриваемой за­ дачи является метод разбиения представительного образца волокнистого композитного материала (ВКМ) с выделением основного «строитель­ ного» элемента — однонаправленного слоя, упругие свойства которого при структурном подходе определяются при помощи той или иной мо­ дели (см. обзоры в [1—4]). Компоненты тензора модулей жесткости ВКМ В^м определяются в плоскости армирования 12 на основе закона анизотропной упругости

игипотезы совпадения усредненных деформаций отдельных слоев пакета

тп= гы, где п — номер слоя, по формуле

В (1), (2) использовано правило суммирования по повторяющимся ин­ дексам; Qn — относительная толщина я-го слоя в единице толщины па­ кета; £* — единая система координат, лежащая в плоскости 12, и — система координат п-го слоя, связанная с направлением волокон этого слоя; BnP^rs — компоненты тензора модулей жесткости я-го слоя.

Для большинства относительно простых модельных зависимостей, употребляющихся в расчетной практике, при описании упругих свойств однонаправленного слоя характерно следующее: в качестве структур­ ного параметра используется объемный коэффициент армирования Vf\ чаще всего однонаправленный слой наделяется свойствами трансвер­ сально-изотропной с осью симметрии, параллельной направлению воло­ кон, или ортотропной среды; в приближенных моделях обычно рассмат­ ривается плоское напряженное состояние как слоя, так и его компонентов.

В ряде случаев для определения модулей упругости однонаправлен­ ного слоя образуется комбинация из формул, соответствующих разным моделям.

В моделях работ [5, 6], а также в методике последовательной раз­ резки композита (МПР) [7, 8] использовано понятие подслоя, с помощью которого однонаправленный слой можно представить состоящим из ар­ мированного подслоя с относительной толщиной со и подслоя связующего с толщиной (1—со). При этом приспособляемость указанных простых моделей по отношению к экспериментальным данным несколько возрас­ тет, так как появляется второй структурный геометрический параметр т], учитывающий плотность укладки арматуры в плоскости слоя (для одно­ направленного слоя Vf = сот]). Кроме того, вводится параметр модели с, позволяющий отразить влияние слагаемых, соответствующих нижней и верхней оценкам сдвиговой жесткости слоев и ВКМ в целом на его упру­ гие характеристики. Использование параметров укладки со и г] делает модель более удобной для расчета и проектирования тел с переменной интенсивностью армирования.

Для удобства анализа и сопоставления результатов по разным моде­ лям в качестве единого приема формирования величин В^м для ВКМ принят метод разбиения на слои [формула (2)], несмотря на наличие и других методик расчета, например [1, 4, 8]. Свойства же слоев определя­ ются в соответствии с методикой авторов рассматриваемых моделей. В таблице указаны структурные параметры используемых в работе мо­ делей 1—7 двухфазного однонаправленного слоя и двухэлементных мо­ делей 8—11 армированного подслоя однонаправленного слоя.

ристики упругости и количества информации от реализации эксперимен­ тов при ее получении частные критерии качества первой группы опреде­

лялись зависимостью 2= /бя/бР, где 6н=Убя2; 6Р = Убр2; 6я2 — сумма квадратов невязок расчетных и средних значений экспериментальных данных, приходящаяся на одну точку некоторой аппроксимируемой кри­

вой. Так, если имеется k средних значений экспериментальных точек, яв-

к

ляющихся функцией заданного аргумента, то 6я 2 = 26яг2/&, 6P = 3S(1/} — 1

утроенное среднеквадратичное отклонение, характеризующее разброс экспериментальных данных относительно среднего. / — коэффициент, характеризующий количество информации (полученное при реализации экспериментов по определению упругой характеристики) относительно ее истинного значения, представляющий аналог меры информации Шен-

п

нона и имеющий вид [16] 1= —ЕР* log* Pi. В данном выражении Pi — до- 1

верительные вероятности отклонения среднего экспериментального зна­ чения упругой характеристики от ее математического ожидания, опреде­ ляемые на основании неравенства Чебышева; я — число экспериментов. Как известно, неравенство Чебышева для симметричного одномерного распределения имеет вид [17]

с точностью до одного среднеквадратичного отклонения Д= 6Р/3 с дове­ рительной вероятностью Р = 0,95, получаем я*= 9. Изменяя я от 1 до я*, вычисляем значения соответствующих доверительных вероятностей Р{ = = 1 —4/9яг-.

Положим при я = я* значение коэффициента /= 1, тогда основание

Задавая основание логарифма х в форме (3), можно сказать, что опре­ деляется нормированное значение коэффициента / относительно числа экспериментов я*, необходимого для описания значений упругих харак­ теристик с заданнойkстепенью точности. Соответственно при я = & (k<.

<я*) имеем 7= /fe-Ei P i logxPi.

Если экспериментальные значения рассматриваемой упругой харак­ теристики являются функцией некоторого аргумента (например вели­ чины угла ориентации волокон), то окончательное значение коэффи-

т

циента I определится суммой I = Ihm= 2 //t2’, где т — число фиксирован- i=i

ных значений аргумента.

Вторая группа частных критериев качества назначалась из следующих соображений. Подбирая наилучшие значения параметров управления, мы тем самым повышаем адекватность закона среды. Од­ нако при расширении диапазонов варьирования этих параметров увели­ чивается степень риска неточности прогноза значений упругих характе­ ристик произвольно армированных пакетов анализируемого материала.

В окончательном виде единый критерий качества вычислялся по фор­

муле D=i/Dap.Du, где £ ад — обобщенная функция желательности адек-

N

ватности £>ад= (Ш ;)1/*; di — частные желательности адекватностей, со­

ставляющие первую группу параметров оптимизации; N — общее число экспериментальных характеристик упругости по всем анализируемым пакетам; Du — обобщенная функция желательности управления Di =

т

= (Пti)x!m\ ti — частные желательности значений параметров управле- 1

ния, составляющие вторую группу параметров оптимизации; т — число

параметров управления.

Структурная схема процесса анализа и оптимизации законов компо­ зитных сред представлена на рис. 2.

На рис. 3 представлен алгоритм анализа и многокритериальной опти­ мизации законов композитных сред, построенный в диалоговом режиме и базирующийся на методе Монте-Карло.

Зависимости утроенных значений среднеквадратичных отклонений модулей упругости (£, G,v) от угла армирования <р для базовой модели (однонаправленный слой или подслой) задавались на основе экспертных оценок (рис. 4).

В качестве параметров управления были выбраны модули упругости связующего Е", G” и объемные содержания волокон в слоях Vjn\ для мо­ делей 8—И производилось также варьирование величин т] и с.

Разработанный метод оптимизации и выбора расчетных моделей (законов композитной среды) был реализован на базе экспериментов [19, 20] для двух композитных систем — углепластика и боропластика с различными сочетаниями слоев.

На рис. 5 представлены диаграммы, на которых указаны эксперимен­ тальные значения [19, 20] модулей упругости некоторых из исследован­ ных материалов (левые столбцы) и соответствующие им расчетные зна­ чения. Остальные столбцы изображают значения модулей упругости, рассчитанные по некоторым моделям (например, М2, М3 и т. д.) до оптимизации и после нее. Стрелками указан процесс улучшения началь­ ных расчетных значений в процессе оптимизации.

Анализ результатов позволяет заключить, что оптимизация законов композитных сред дает возможность значительно улучшать степень

е

Рис. 5. Диаграммы соответствия экспериментальных и расчетных значений некоторых модулей упругости, вычисленных по моделям 2, 3, 9, 11 до и после оптимизации, ГПа. Результаты оптимизации представлены на основе всей совокупности исследованных материалов — углепластика, 16 слоев (а—в), и боропластика (г—е). а: ±45°, и/ = 0,343;

нием о (/) = оо, которое снимается при t=t* (a(t)= 0 при t>t*). Задача состоит в изучении обратимости упругой деформации композита как

Определяющие уравнения для каждой из фаз композита берутся в

где Ai — некоторый временной оператор; аг=о»ц£ — напряжение в фазе; фг(0)=0. Все изменяющиеся во времени напряжения считаются непрерывными слева функциями, Ог(0)=0.

Запишем уравнения равновесия и совместности деформаций:

где а — отношение величины объема первой фазы к величине объема

где cri0 = <Ti(+0).

В результате ползучести фаз композита при a(t)=ao напряжения

После того как произведена разгрузка при / = /*, в фазах композита возникнут остаточные напряжения. Их значения в момент снятия на­

Очевидно, что упругая деформация образца из композитного матери­ ала будет полностью обратимой, если выполняется условие

Пусть материал обеих фаз композита удовлетворяет линейному за­ кону упругости, т. е. (pi(а) =о/Еи ф2(а) = а/£2, где — модуль Юнга.

С учетом конкретизации функций фгпервое уравнение системы (9) дает

Ф1(<*1°) =— р"Т7Г— Vr~

(1 — а ) . с 2

а второе и третье позволяют вычислить разность (величины р*\ исклю­ чаются путем вычитания рассматриваемых равенств)

откуда ясно, что условие (8) выполняется.