1189
.pdf~ 1 Гц за время экспозиции повысилась до 98 и 136° С соответственно. Любопытным фактом оказалось возрастание высоты пика tg 6 в области стеклования в образце, подвергнутом 686-сут экспонированию, и суже ние области а-релаксации от 107 до 68° С (см. рис. 3), что свидетельст вует о повышении кооперативности процесса стеклования связующего после воздействия натурных факторов.
Наиболее вероятным объяснением полученных результатов является протекание двух процессов в связующем углепластика при длительной экспозиции — частичной деструкции напряженных участков макромоле кул под действием излучения и знакопеременных температур, протекаю щей интенсивно на поверхности образца и в меньшей степени в его объеме, и последующего образования дополнительных поперечных свя зей за счет возникающих реакционноспособных групп. В результате уве личивается плотность пространственной сетки зацеплений, снижается уровень внутренних напряжений, увеличивается структурная однород ность связующего, что ведет к повышению теплостойкости материала и сужению интервала температур, соответствующего а-переходу.
Наблюдаемое снижение G' углепластика в стеклообразном состоянии объясняется аномальным влиянием плотности пространственной сетки зацеплений, типичным для сетчатых полимеров на основе бисфенола-А [3, 4]. Однако известно [3], что в таком случае должно наблюдаться уменьшение высоты a -пика tg 6. В данном случае зависимость высоты
Рис. 4. Зависимости a = f(T) |
(а) и tg 6 —f(T) (б) образцов КМУ-Зл при акустических |
измерениях на частоте ~ 3 5 0 |
Гц: 1 — исходный образец; 2, 3 — образцы, экспонирован |
|
ные 304 и 686 сут. |
a -пика от времени испытаний углепластика в натурных условиях будет зависеть от того, какой из двух процессов преобладает — структурная упорядоченность макромолекул, ведущая к увеличению высоты tg 6, или увеличение степени сшивки, снижающее уровень механических потерь.
Таким образом, структура связующего в образцах композита после длительного воздействия космических факторов становится более одно родной. Подтверждением этого служит повышение теплостойкости угле пластика и термостойкости — температуры начала деструктивных про цессов, определенной по излому на графике ct= f(T) (см. рис. 3) от 212° С в исходном образце до 232° С в образце с экспозицией 686 сут.
Протекание двух процессов под действием излучения и знакопере менных температур влияет и на вязкоупругое поведение углепластика при низких температурах. После 304 сут экспозиции отмечается увеличе ние высоты пика tg 6 при —65° С по сравнению с исходным значением (см. рис. 2), однако после 686 сут испытаний пик tgfi вновь уменьшается до своего исходного значения. Можно отметить общее снижение интен сивности низкотемпературной релаксации после 686 сут испытаний, так как области снижения G' и Ct выражены слабее, чем в исходных образ цах. Не исключено, что частичная деструкция макромолекул связующего после 304 сут экспозиции увеличивает число кинетических элементов, подвижность которых в исходном состоянии ограничена сильным моле кулярным взаимодействием, что и приводит к росту пика tg б при —65°
и увеличению АТ1 на графике скорости при этих температурах. Обра-
зование новых поперечных связей и повышение структурной упорядочен ности макромолекул связующего при дальнейшей экспозиции вновь уменьшает количество низкотемпературных релаксаторов, а следова тельно, и высоту tg 6.
Процессы, происходящие в углепластике при экспонировании в от крытом космическом пространстве, были изучены также с помощью ме тода акустической спектроскопии на резонансной установке. В получе нии экспериментальных данных принимала участие Е. А. Соколова.
На рис. 4—а представлены зависимости низкочастотной скорости звука Ci=f(T) трех образцов — исходного и экспонированных 304 и 686 сут. Результаты исследований подтверждают высказанные выше пред положения. Во-первых, подтверждается протекание процессов деструк ции на графике ct=f(T) в интервале температур от —150 до 200° С: скорость звука изгибных колебаний, которая в конечном счете определя ется эффективностью межмолекулярного взаимодействия, очень резко уменьшается с увеличением времени экспонирования. Следует заметить, что образцы были получены с поверхности, наиболее пострадавшей от внешних воздействий. Во-вторых, наблюдается дополнительная сшивка связующего, что ведет к увеличению температуры перехода связующего из стеклообразного в высокоэластическое состояние (табл. 1). Тс и Т% были определены по изменению температурного коэффициента скорости звука на частоте ~350 Гц. При этом необходимо отметить, что углеплас
Табл. 1
Температурные переходы в области стеклования КМУ-Зл, определенные по изменению температурного коэффициента скорости звука
на частоте ~ 3 5 0 |
Гц |
|
Время |
т2,°с |
тс, °с |
экспозиции, |
||
сут |
|
|
0 |
75 |
154 |
304 |
— |
179 |
686 |
163 |
204 |
тик после экспозиции стано вится стабильным по показателю скорости звука в исследован ном интервале температур (см.
Табл. 2
Механические характеристики КМУ-Зл
Время |
|
и$ |
|
и ., |
кге/мм2 |
кге/мм2 |
|||
экспозиции, |
|
|
|
|
сут |
20° С |
120° С |
20° С |
120° С |
|
||||
ю |
54,6 |
33,5 |
5925 |
4965 |
304 |
52,2 |
52,1 |
5850 |
5350 |
686 |
50,5 |
52,2 |
5996 |
5710 |
рис. 4—а). Измерение тангенса угла механических потерь (рис. 4—б) на акустической установке показывает, что величина tg б при изгибных деформациях уменьшается, что подтверждает вывод о тенденции к уве личению плотности пространственной сетки в результате экспонирова ния углепластика (кривая 3 рис. 4—6). Кроме этого, в низкотемпера турной области увеличилась возможность осуществления локальной подвижности фенильных групп. Все перечисленные факты свидетельст вуют о несомненном влиянии ионизирующего излучения, ультрафиоле тового воздействия и термоциклирования как факторов, приводящих к увеличению плотности пространственной сетки связующего, улучшению стабильности физико-механических характеристик и расширению ин тервала работоспособности КМУ-Зл. Измерение физико-механических
показателей —. прочности и модуля |
упругости при |
растяжении |
(табл. 2) — при 20 и 120° С показывает, |
что в результате |
экспозиции |
КМУ-Зл в открытом космическом пространстве сохраняется их стабиль ность, а некоторые показатели улучшаются. Значения прочности при растяжении (при 120° С) и модуля Юнга (при 20 и 120° С) возрастают с увеличением длительности экспозиции. Дефектность, которая имеет место на поверхности образца и в объеме за счет образования микро трещин, приводит к некоторому снижению о при 20° С (см. табл. 2), к потере массы; КМУ-Зл становится газопроницаемым после 686 сут экспозиции. Однако пористость и сорбционная способность для этих образцов существенно не изменяются.
Выводы. 1. В результате воздействия ультрафиолетового и ионизи рующего излучений и термоциклирования в КМУ-Зл наблюдаются час тичная деструкция связующего, вызывающая частичное удаление поли мера с облучаемой поверхности, и снижение динамических модулей упругости и скорости звука в стеклообразном состоянии. В случае экра нирования поверхности углепластика защитной пленкой исключается повреждение поверхности образцов.
2. Длительное воздействие натурных факторов вызывает появление дополнительных поперечных связей за счет образования реакционноспо собных групп, снижение внутренних напряжений и повышение структур ной однородности связующего, что приводит к улучшению ряда физико механических показателей, расширению температурного интервала ра ботоспособности и стабилизации физико-механических характеристик.
3. Углепластик КМУ-Зл в течение 686 сут в целом сохраняет высокий уровень физико-механических характеристик и работоспособность в ши роком интервале температур.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Хорошилова И. П., Капитонова Т. Р., Лозовская В. П. Эпоксидные углепластики КМУ-Зл, КМУ-Злн и КМУ-3. — В кн.: Авиационные материалы. Неметаллические компо зиционные материалы. М., 1977, вып. 2, с. 19—23.
2.Старцев О. В., Перепенко И. И. Крутильный маятник — прибор для испытания пластмасс. Деп. ВИМИ, № ВМ Д03000, 1977.
3. |
Перепенко И. И. Акустические методы исследования полимеров. М., 1973. 295 с. |
4. |
Перепенко И. И К ва н ева Л. А. — Высокомолекуляр. соединения. Сер. Б, 1969, |
т. 11, |
№ 1, с. 3. |
Москва |
Поступило в редакцию 05.02.82 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1983, № 2, с. 216—222
УДК 539.3:678.067
Б. Е. Победря
ОБ УПРУГИХ КОМПОЗИТАХ
При определении напряженно-деформированного состояния в упру гих композитах часто пользуются так называемой теорией эффективного модуля [1]. Эта теория позволяет вместо неоднородной среды рассматри вать однородную структурно анизотропную с некоторыми усредненными (эффективными) характеристиками. Однако во многих случаях появля ется потребность определения микронапряжений и микроперемещений, т. е. напряжений и перемещений внутри каждого из компонентов, со ставляющих композит. Для композитов с регулярной (периодической) структурой на основе техники усреднения [2] разработана методика ре шения краевых задач для упругих и вязкоупругих композитов, позволяю щая свести решение исходной задачи для неоднородной среды, занимаю щей область У, к рекуррентной последовательности двух задач. Первая из этих задач (периодическая) заключается в решении задачи, аналогич ной исходной, но для области, являющейся ячейкой периодичности. Входные данные такой задачи определяются из предыдущих приближе ний. Вторая задача (краевая) решается для области У, но для однород ной среды с предварительно вычисленными эффективными характерис тиками. Входные данные для этой задачи также определяются из пре дыдущих приближений. При решении обеих задач могут успешно применяться разностные методы [3].
Ниже эта методика иллюстрируется на примере решения статиче ских, динамических задач упругих композитов, а также задачи тепло проводности. Доказывается, что для слоистых упругих регулярных ком позитов решение статической задачи может быть получено сразу же, если найдено решение соответствующей задачи для однородной анизо тропной среды с известными эффективными модулями упругости.
1. Рассмотрим линейную неоднородную упругую среду, свойства ко торой описываются тензором модулей упругости Сг-^(х) или тензором упругих податливостей /^м(х). Эти тензоры взаимообратны [4]:
Если они являются разрывными функциями координат х, то неоднород ная среда называется упругим композитом.
Смешанная статическая задача теории упругости в перемещениях за ключается в решении трех дифференциальных уравнений Ламе
[Ст {х)ик11]'1 + Х{ = О |
( . ) |
|
1 1 |
относительно трех компонент вектора перемещений и при удовлетворе нии граничным условиям
|
|
Ui | |
= Ui°) |
Ст |
(X) Uh'itlj | = Si0. |
( 1.2) |
Входные данные задачи 0-1), |
(1.2) |
таковы: X — вектор объемных сил; |
||||
u |
вектор перемещений, заданный на части 2 i поверхности 2 , ограни |
|||||
чивающей объем |
V\ S° |
вектор усилий, заданный на остальной части |
||||
|
поверхности 2 |
, п |
единичный вектор нормали к поверхности 2 . |
|
Наряду с глобальными (медленными) координатами х введем ло кальные (быстрые) координаты
.§= — +а, |
(1.3) |
а
частную производную по которым будем обозначать вертикальной чертой. Здесь а — малый параметр, равный отношению периода струк туры к характерному размеру тела; а — постоянный вектор, зависящий от номера ячейки. Ищем решение задачи (1.1), (1.2) в виде асимптоти ческого разложения по параметру а:
Ui = V i ( x ) + |
(1.4) |
|
q=\ |
где N ^ ( ’5 ) — так называемые локальные функции q -то уровня, периоди ческие по быстрым переменным »§. Для определенности будем считать, что средние значения этих величин по ячейке периодичности равны нулю:
<N<9>(5)> = - Ы |
N(«){\)dV%=Q. |
V* |
v |
Заметим, что, получив решение задачи (1.1), (1.2) в виде (1.4) и вос пользовавшись преобразованием, обратным (1.3), мы придем к выраже нию вектора и через глобальные переменные х. Во всех промежуточных выкладках переменные х и (§ считаются независимыми.
Подставляя разложение (1.4) в уравнения (1.1) и граничные условия (1.2) и комбинируя величины при одинаковых степенях а, получим для «среднего» поля перемещений v(x)
|
|
оо |
|
|
|
|
V i = |
а P W i i P ] |
|
( 1 . 5 ) |
|
|
|
р = О |
|
|
|
последовательность краевых задач при р = 0, 1, 2,... [3]: |
|||||
J ijhl |
= |
hf]klwM |
nj\Zt = SiW, |
|
|
1 |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
Xit |
если p=0; |
|
|
|
|
Х № я * |
|
|
|
|
|
|
А<г> |
ш {p—r> |
|
если |
p > 0; |
Г=1 |
i j m n , .. .n r+l jn .m ...n r+ 1j |
|
|
||
|
|
|
|
|
Si0, если £=0; p
AM |
wiP~r) |
ti j, если p > 0; |
|
r = 1 |
xim n i...n r+l |
m,n\.. |
r+l |
|
|
||
|
|
|
|
Ui°, |
если p = |
0; |
|
«i<p> = |
|
|
|
- L |
NV. . |
i P - r |
если p > 0. |
ijh\...hr |
|
Локальные функции N<P>определяются из решения рекуррентной сис
темы дифференциальных |
уравнений (периодическая |
задача) при q = |
||||
= - 1 , 0 , 1 , 2 , . . . |
|
|
|
|
|
|
(С |
N^+2> |
) |
, |
+ (С .. , |
N^+\) , |
)у,-+ |
< ijml |
miihl...liq.y2\l' |
Jj |
' |
mnln...lig + l |
' u |
+c |
N«i+u |
+C |
|
7V<«> |
= |
ih q+2ml |
m n h l...kq + l [l |
ihq+2mliq+ l |
mnk\...hq |
|
|
= |
M <J>, |
jV<°> = 6 |
. |
|
( 1.6) |
|
|
m n |
m n |
|
|
Здесь и далее все величины с отрицательными индексами тождественно равны нулю.
Величины hinlt ...k4+2l <7= 0,1,... образуют тензоры эффективных мо дулей упругости q-го уровня, ранга 4+q. Они определяются усреднением по ячейке периодичности следующих выражений:
А<?>. ь =<С |
N(q+ О |
+ С |
NW |
>. (1.7) |
inh\...hq+2 |
I mnk\...h я+1 |
|
|
|
2. Смешанная динамическая задача теории упругости в перемеще ниях заключается в решении трех дифференциальных уравнений движе ния [3]
[Сijki (х)«,,,(],j+ Xi = p |
(2.1) |
|
при удовлетворении граничным условиям |
(1.2) и начальным |
данным |
при 7=0 Ui= Ui(x) ; |
- ^ г=У*(х). |
(2.2) |
Решение задачи (2.1), (2.2), (1.2) ищем в виде асимптотического раз ложения
щ=и{(х) + |
ijk\...кд_2р( 6) |
д 2* |
ViM -l‘g-2»’ |
||
|
NU7)(Р) |
|
|
<7=1 |
|
где суммирование по р происходит от р= 0 так, чтобы выполнялось усло вие q—2р^Э:0 (все величины, имеющие отрицательные индексы, равны нулю). Повторяя процедуру, описанную в предыдущем пункте, получим для «среднего» поля перемещений v(x) (1.5) рекуррентную последова тельность задач при р = 0, 1, 2,...
hf m K Ph +Х 'Р = <Р |
д2 |
^ {р11г, = « i{p); |
|
П;|22= ^ 1р> |
|||
^ |
^ (Р} 5 |
|
|||||
при 7 = 0 Ш;<Р = /7г<Р) ; -^-ДО{(Р>= Vj(P>, |
|
|
|
||||
где |
если |
р = 0; |
|
|
|
|
|
Х{, |
|
|
|
|
|||
У |
|
|
|
|
|
|
|
* ,< р >= |
|
|
ft(r)(p) |
д 2$ |
|
|
если р>0; |
L |
Z |
|
7n,n,...nr+1_ 2pj |
||||
|
jmn,...nr+1_ 2p g p р |
' |
|||||
г=1 |
|
р |
|
|
*Y1 *1 . 41 |
л 7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
если р = 0; |
|
|
|
|
|||
5 4(р ) |
|
|
3) |
(?2Р |
|
tij, |
если р > 0; |
|
|
|
____ |
т,П\.. |
|||
|
|
|
п,...пг+1_2() |
^/2Р |
|
|
м,°, если p = 0;
Hi<P> = |
'EE |
|
|
|
||
v |
|
|
o2P |
|
|
|
|
|
|
ДГ(г) (P) |
, |
если p > 0; |
|
|
|
|
(5/2p |
|||
|
r=l |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t/i, |
если |
p = 0; |
|
|
|
£/*<*> = |
|
|
|
|
|
|
|
У 1, |
У^Л^г!.(Р). |
—г г ау(^Тг), , |
.если p > 0 ; |
||
|
T—1 |
p |
|
|
|
|
|
V,-, если |
p = 0; |
|
|
|
|
улр} = |
V |
|
|
^2P+1 |
|
|
|
|
|
) ( P ) |
Ш{P-r} |
|
|
|
EE# ( rijh\...kr_ 2fl |
^/2P+1 |
j.fe|.../tr _2p|<s=o если p > 0. |
|||
|
r = l |
p |
|
|
|
|
Для определения локальных функций NteXP) требуется решить рекур рентную последовательность дифференциальных уравнений при <7=
= — 1,0, 1 , 2 , . . . ; р = 0, 1 , . . .
(С |
ЛГ(<г+2ИР> |
) |
|j |
+ (С |
Ит к д+2-2& ™ nkl...kq + l _ 2fi |
), |
+ |
|
v ijml |
m n h x...hq+2_ 2^\l |
7 |
x |
|j |
|
|||
+ C |
yy^+D(P) |
|
|
+C. |
iV<9 <P |
|
- |
|
^<7+ 2- 20™^ m nfei...ft9^ .j_ 2pl^ |
г^д+2- 20т ^д + 1—20 |
mnh\...hq_ 2p |
|
|||||
|
- р Л ^ И Р - l ) |
|
= f t ( 9 ) ( P ) |
|
|
|
||
|
~ inft,...fe (Z + 1_ 2p |
inh\...k'q+2—20 |
|
|
|
|||
|
W<o <o = e |
J |
|
|
|
|
|
|
|
гз |
|
|
|
|
|
|
Постоянные величины h ’. *9+2_2P определяются усреднением по ячейке периодичности следующих выражений:
ЛОгНО |
=<С. |
ЛД<Ж><Р |
+С . |
ЛД<7 (Р |
_ |
ij/li.../l9 + 2-2p |
^ l g+2-20m ^ |
rn^ ,-* ^(7 + l-2 0 |
г^д+ 2 -20Ш^д + 1-20 |
|
k q _ 2^ |
|
|
— p A /r(.?) ( P—n |
>. |
|
|
г20
Вчастности, из последнего выражения при q= 0, (3 = 1 следует
Лг,-(0)(1)=-<Р>б,>
Заметим, что величины |
и h^)(°) совпадают с величинами N(9) и |
предыдущего пункта.
3.При решении несвязанных задач термоупругости температурное
поле определяется из задачи теплопроводности, которая заключается в решении дифференциального уравнения относительно температуры Т:
[hij(х) T j ] + Q= рСр дТ , |
(3.1) |
где Kij — тензор теплопроводности среды; ср — теплоемкость; Q — объ емный приток тепла [3]. К уравнению (3.1) следует добавить граничное условие
hiT,jni\z = y\(T \s-T c), |
(3.2) |
(где т] — коэффициент теплоотдачи; Тс — заданная температура окру жающей среды) и начальные данные
при / = 0: |
Т= Т°(х). |
(3.3) |
Применяя описанную выше технику усреднения, будем искать реше ние задачи (3.1) —(3.3) в виде
7’='0'(х) + 2.J &ч2.J МММ ( 5 ) - п з г т # * < W ’
<7=1 Р
где суммирование по р также происходит от р = 0, так чтобы q—2р ^ 0. Для «среднего» температурного поля Ф(х)
оо
-0= ^ «Р9<Р>
р=0
получим рекуррентную последовательность задач теплопроводности для однородной среды с изменяющейся величиной объемного притока тепла (при р = 0, 1,...),
|
|
A ij<o)(O)0,i .{P) + Q (P) = |
д0(р> |
|
|
|
||||
|
|
<pC > . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
при выполнении граничного условия |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(Лгj(0) (0)0,j{р)Пг- —Т]0 fp>)2= Df |
|
|
|
|||||
и начальных данных |
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
||
при / = 0 : ,0{р> = 7,«р)> |
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|||||
Q, если р = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q{p} = |
ЕЕЛ(Г)(Рli. . . .,lr+ 2 _2P |
|
1 »г1* ,гг+2-2Р |
|
|
|
||||
|
р |
|
|
(32Р-1 |
|
|
|
|||
|
г-1 |
6 |
|
Л49Л . 0{.Р“Г} |
, если |
/?> 0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
—л^’с, если р= 0; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Р |
|
{ГТ,М<г)(Р) |
|
|
|
|
|
|
Д(р} = |
|
|
|
|
-------- 0{р-г} |
|
_ |
|
||
|
|
ЕЕг=1 р I. |
»| . *г_2р |
(5/2Р |
|
|
|
|||
|
k —Л(^.)(Р) |
<?23 |
|
1 |
если |
Р > 0; |
||||
|
|
|
Г» |
|||||||
|
|
|
ii....ir+1_2P д№ |
,г|...гГ4-1—2Р J |
|
|
|
|||
|
Т°, |
если /э = 0; |
|
|
|
|
|
|
||
Г { р } = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
У , |
У . |
M(r)(p) |
4 |
t |
0(p-r, |
|
, если р > 0. |
|
|
AffrM? |
|
|
»г1•■•гг-2р1^""® |
||||||
|
|
|
|
*l---ir_2p (?^23 |
|
|
||||
|
|
г=1 |
р |
ii...г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Локальные функции ММ(3) определяются из решения уравнений
(\»»М<Г 2- (Р) . |
). + (X . |
|
Af^+рсз) |
) , + |
|||
т п |
г ,-- г д + 2- 2р | т |
|п |
г <7+ 2- 2РП |
г ‘ - г д+ 1-2Р |
' \ П |
||
+ Л. |
Afta+W3 |
+JL. |
|
|
Af<«><3> - |
||
г <7+2-2РП l|” -*g + l- 2 p | n |
г <7+2-2Р^ + 1-2р |
<1—г в -2Р |
|||||
|
-рСрЛ4(?нР-п |
=Л(?)(Р) |
|
|
|||
|
|
*д+2-2р |
|
1q+2—2Р |
|
||
Для нахождения постоянных величин Л/ |
\ |
|
имеем |
||||
|
|
|
1\ |
•1<7+2-2Р |
|
|
|
|
Л ^ н з) =<я, . |
.Af(?+i)(3) |
. + |
|
|||
|
г , , г <7-|-2-2р |
г</ + 2-2р^ ^••|<7+ 1-2P U |
|
|
|||
|
+ Л. |
Л^МР) |
—рс |
Л1<?НР-,) |
>, |
г<?+2-2Ргд + 1-2Р |
г , -гг/-2р |
Р |
г|,,1(7 + 2-2р |
откуда в частности при {$ = 0 , q —\ получим
Л<о)(1) = _ < рСр>.
4. Рассмотрим слоистый упругий композит. Направим ось х3 (а сле довательно, и | 3н=£) ортогонально слоям композита. В этом случае уравнения (1.6) становятся обыкновенными дифференциальными урав нениями по переменной |. Решая эти уравнения и учитывая (1.7), на ходим
h i j m n — h i j m n — ( . C i j m n ) |
(,С {]к зС к3 1 зС 1 3 т п У 4 " |
(4.1) |
|
|
|
+ < С ^ /(з С й з ( з )< С /з р з ) - |
К С р з у з С дЗтп X |
|
где под Ск.3)3 понимается матрица, обратная матрице Скззз- Компоненты тензора эффективной теплопроводности выражаются в
следующем виде: |
|
х Азз / х ^33 7 х А33 7 |
х Мз )■ |
В явном виде могут быть вычислены и локальные функции. Например, для задачи теории упругости
|
|
1о |
|
|
|
Ъ |
N i i h s s N i j k = JV гЭйК0) = |
J |
Q i j h { n ) d r \ - ^ |
J |
|||
|
|
О |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
Qijk^= Сдз/з((С;3т3^ |
*(СтЗпзСпЗцУ |
|
||||
Для задачи теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
М£^М ;(»(0)= |
J |
Л(т,)с/Г1- ( |
1^<(л)^Л ) ; |
|||
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
V -1 |
1 |
^гЗ |
р‘- ( ^ |
) |
О |
г |
У |
^33 |
^33 |
Для слоистых регулярных композитов выражений (4.1) и (4.2) доста точно, чтобы получить решение статической задачи упругости (1.1),
( 1.2).
Рассмотрим, например, вторую краевую задачу теории упругости, когда на границе тела 2 заданы усилия. Тогда среднее поле перемеще ний определяется из решения статической задачи теории упругости для однородной среды
hijkiVh,ij + X i = 0; |
(4.3) |
hijhiVk,ij |2 = Si°. |
(4.4) |
Решение соответствующей неоднородной задачи можно записать в виде
оо |
d.4 |
Г 1 |
|
U i = V i { x ) - \ r a N i j k ( t ) v U i k ) ( x ) + 2 - 1 |
a‘7+,£;j/<('J- 1)(£)-T—г y(.i,ft)(x), (4-5) |
а=1 |
йХз |
где
|
£ |
* |
Bijft< n )(g )= in l2 ^ J a - |
r ] ) n N .j k ( r ] ) d r ] + |
|
n l |
0 |
p=0 |
Mijh{lp) — постоянные, |
которые |
находятся из условия, чтобы все |
|
|
( — I ) п |
<Bijh{n)(l)>= 0 (например, MijhW= ^ -*-<£#(£))). Круглые скобки в
индексах (4.5) означают операцйю симметрирования [4]. Как уже указы валось, в выражении (4.5) следует заменить быстрые координаты g че рез медленные дг3 по формуле (1.3).
Итак, для слоистого регулярного упругого композита решение стати ческой задачи теории упругости выписывается в явном виде по извест ному решению соответствующей задачи (4.3) для однородной среды с известными эффективными модулями (4.1).
Доказательство сформулированного выше утверждения следует из
того, что все компоненты hWuz... а эффективных модулей h^) уровня выше нулевого тождественно равны нулю и поэтому все локальные функции N(<?) уровня выше первого выражаются квадратурами через N^=N<4
ДО(<7+1) |
= — #(<?) |
mn/i3...3|3 |
?nn/i3...3* |
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. М., 1978. 556 с.
2.Бахвалов Н. С. Осреднения дифференциальных уравнений с частными производ
ными с быстро осциллирующими коэффициентами. — |
Докл. АН |
СССР, 1975, т. 221, |
№ 3, с. 516—519. |
|
|
3. Победря Б. Е. Численные методы в теории |
упругости |
и пластичности. М., |
1981. 344 с. |
|
|
4. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М., 1979. 244 с. |
||
Московский государственный |
Поступило в редакцию 25.06.82 |
|
университет им. М. В. Ломоносова |
|
|