Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1189

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
11.32 Mб
Скачать

~ 1 Гц за время экспозиции повысилась до 98 и 136° С соответственно. Любопытным фактом оказалось возрастание высоты пика tg 6 в области стеклования в образце, подвергнутом 686-сут экспонированию, и суже­ ние области а-релаксации от 107 до 68° С (см. рис. 3), что свидетельст­ вует о повышении кооперативности процесса стеклования связующего после воздействия натурных факторов.

Наиболее вероятным объяснением полученных результатов является протекание двух процессов в связующем углепластика при длительной экспозиции — частичной деструкции напряженных участков макромоле­ кул под действием излучения и знакопеременных температур, протекаю­ щей интенсивно на поверхности образца и в меньшей степени в его объеме, и последующего образования дополнительных поперечных свя­ зей за счет возникающих реакционноспособных групп. В результате уве­ личивается плотность пространственной сетки зацеплений, снижается уровень внутренних напряжений, увеличивается структурная однород­ ность связующего, что ведет к повышению теплостойкости материала и сужению интервала температур, соответствующего а-переходу.

Наблюдаемое снижение G' углепластика в стеклообразном состоянии объясняется аномальным влиянием плотности пространственной сетки зацеплений, типичным для сетчатых полимеров на основе бисфенола-А [3, 4]. Однако известно [3], что в таком случае должно наблюдаться уменьшение высоты a -пика tg 6. В данном случае зависимость высоты

Рис. 4. Зависимости a = f(T)

(а) и tg 6 —f(T) (б) образцов КМУ-Зл при акустических

измерениях на частоте ~ 3 5 0

Гц: 1 — исходный образец; 2, 3 — образцы, экспонирован­

 

ные 304 и 686 сут.

a -пика от времени испытаний углепластика в натурных условиях будет зависеть от того, какой из двух процессов преобладает — структурная упорядоченность макромолекул, ведущая к увеличению высоты tg 6, или увеличение степени сшивки, снижающее уровень механических потерь.

Таким образом, структура связующего в образцах композита после длительного воздействия космических факторов становится более одно­ родной. Подтверждением этого служит повышение теплостойкости угле­ пластика и термостойкости — температуры начала деструктивных про­ цессов, определенной по излому на графике ct= f(T) (см. рис. 3) от 212° С в исходном образце до 232° С в образце с экспозицией 686 сут.

Протекание двух процессов под действием излучения и знакопере­ менных температур влияет и на вязкоупругое поведение углепластика при низких температурах. После 304 сут экспозиции отмечается увеличе­ ние высоты пика tg 6 при —65° С по сравнению с исходным значением (см. рис. 2), однако после 686 сут испытаний пик tgfi вновь уменьшается до своего исходного значения. Можно отметить общее снижение интен­ сивности низкотемпературной релаксации после 686 сут испытаний, так как области снижения G' и Ct выражены слабее, чем в исходных образ­ цах. Не исключено, что частичная деструкция макромолекул связующего после 304 сут экспозиции увеличивает число кинетических элементов, подвижность которых в исходном состоянии ограничена сильным моле­ кулярным взаимодействием, что и приводит к росту пика tg б при —65°

и увеличению АТ1 на графике скорости при этих температурах. Обра-

зование новых поперечных связей и повышение структурной упорядочен­ ности макромолекул связующего при дальнейшей экспозиции вновь уменьшает количество низкотемпературных релаксаторов, а следова­ тельно, и высоту tg 6.

Процессы, происходящие в углепластике при экспонировании в от­ крытом космическом пространстве, были изучены также с помощью ме­ тода акустической спектроскопии на резонансной установке. В получе­ нии экспериментальных данных принимала участие Е. А. Соколова.

На рис. 4—а представлены зависимости низкочастотной скорости звука Ci=f(T) трех образцов — исходного и экспонированных 304 и 686 сут. Результаты исследований подтверждают высказанные выше пред­ положения. Во-первых, подтверждается протекание процессов деструк­ ции на графике ct=f(T) в интервале температур от —150 до 200° С: скорость звука изгибных колебаний, которая в конечном счете определя­ ется эффективностью межмолекулярного взаимодействия, очень резко уменьшается с увеличением времени экспонирования. Следует заметить, что образцы были получены с поверхности, наиболее пострадавшей от внешних воздействий. Во-вторых, наблюдается дополнительная сшивка связующего, что ведет к увеличению температуры перехода связующего из стеклообразного в высокоэластическое состояние (табл. 1). Тс и Т% были определены по изменению температурного коэффициента скорости звука на частоте ~350 Гц. При этом необходимо отметить, что углеплас­

Табл. 1

Температурные переходы в области стеклования КМУ-Зл, определенные по изменению температурного коэффициента скорости звука

на частоте ~ 3 5 0

Гц

Время

т2,°с

тс, °с

экспозиции,

сут

 

 

0

75

154

304

179

686

163

204

тик после экспозиции стано­ вится стабильным по показателю скорости звука в исследован­ ном интервале температур (см.

Табл. 2

Механические характеристики КМУ-Зл

Время

 

и$

 

и .,

кге/мм2

кге/мм2

экспозиции,

 

 

 

 

сут

20° С

120° С

20° С

120° С

 

ю

54,6

33,5

5925

4965

304

52,2

52,1

5850

5350

686

50,5

52,2

5996

5710

рис. 4—а). Измерение тангенса угла механических потерь (рис. 4—б) на акустической установке показывает, что величина tg б при изгибных деформациях уменьшается, что подтверждает вывод о тенденции к уве­ личению плотности пространственной сетки в результате экспонирова­ ния углепластика (кривая 3 рис. 4—6). Кроме этого, в низкотемпера­ турной области увеличилась возможность осуществления локальной подвижности фенильных групп. Все перечисленные факты свидетельст­ вуют о несомненном влиянии ионизирующего излучения, ультрафиоле­ тового воздействия и термоциклирования как факторов, приводящих к увеличению плотности пространственной сетки связующего, улучшению стабильности физико-механических характеристик и расширению ин­ тервала работоспособности КМУ-Зл. Измерение физико-механических

показателей —. прочности и модуля

упругости при

растяжении

(табл. 2) — при 20 и 120° С показывает,

что в результате

экспозиции

КМУ-Зл в открытом космическом пространстве сохраняется их стабиль­ ность, а некоторые показатели улучшаются. Значения прочности при растяжении (при 120° С) и модуля Юнга (при 20 и 120° С) возрастают с увеличением длительности экспозиции. Дефектность, которая имеет место на поверхности образца и в объеме за счет образования микро­ трещин, приводит к некоторому снижению о при 20° С (см. табл. 2), к потере массы; КМУ-Зл становится газопроницаемым после 686 сут экспозиции. Однако пористость и сорбционная способность для этих образцов существенно не изменяются.

Выводы. 1. В результате воздействия ультрафиолетового и ионизи­ рующего излучений и термоциклирования в КМУ-Зл наблюдаются час­ тичная деструкция связующего, вызывающая частичное удаление поли­ мера с облучаемой поверхности, и снижение динамических модулей упругости и скорости звука в стеклообразном состоянии. В случае экра­ нирования поверхности углепластика защитной пленкой исключается повреждение поверхности образцов.

2. Длительное воздействие натурных факторов вызывает появление дополнительных поперечных связей за счет образования реакционноспо­ собных групп, снижение внутренних напряжений и повышение структур­ ной однородности связующего, что приводит к улучшению ряда физико­ механических показателей, расширению температурного интервала ра­ ботоспособности и стабилизации физико-механических характеристик.

3. Углепластик КМУ-Зл в течение 686 сут в целом сохраняет высокий уровень физико-механических характеристик и работоспособность в ши­ роком интервале температур.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Хорошилова И. П., Капитонова Т. Р., Лозовская В. П. Эпоксидные углепластики КМУ-Зл, КМУ-Злн и КМУ-3. — В кн.: Авиационные материалы. Неметаллические компо­ зиционные материалы. М., 1977, вып. 2, с. 19—23.

2.Старцев О. В., Перепенко И. И. Крутильный маятник — прибор для испытания пластмасс. Деп. ВИМИ, № ВМ Д03000, 1977.

3.

Перепенко И. И. Акустические методы исследования полимеров. М., 1973. 295 с.

4.

Перепенко И. И К ва н ева Л. А. — Высокомолекуляр. соединения. Сер. Б, 1969,

т. 11,

№ 1, с. 3.

Москва

Поступило в редакцию 05.02.82

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1983, № 2, с. 216—222

УДК 539.3:678.067

Б. Е. Победря

ОБ УПРУГИХ КОМПОЗИТАХ

При определении напряженно-деформированного состояния в упру­ гих композитах часто пользуются так называемой теорией эффективного модуля [1]. Эта теория позволяет вместо неоднородной среды рассматри­ вать однородную структурно анизотропную с некоторыми усредненными (эффективными) характеристиками. Однако во многих случаях появля­ ется потребность определения микронапряжений и микроперемещений, т. е. напряжений и перемещений внутри каждого из компонентов, со­ ставляющих композит. Для композитов с регулярной (периодической) структурой на основе техники усреднения [2] разработана методика ре­ шения краевых задач для упругих и вязкоупругих композитов, позволяю­ щая свести решение исходной задачи для неоднородной среды, занимаю­ щей область У, к рекуррентной последовательности двух задач. Первая из этих задач (периодическая) заключается в решении задачи, аналогич­ ной исходной, но для области, являющейся ячейкой периодичности. Входные данные такой задачи определяются из предыдущих приближе­ ний. Вторая задача (краевая) решается для области У, но для однород­ ной среды с предварительно вычисленными эффективными характерис­ тиками. Входные данные для этой задачи также определяются из пре­ дыдущих приближений. При решении обеих задач могут успешно применяться разностные методы [3].

Ниже эта методика иллюстрируется на примере решения статиче­ ских, динамических задач упругих композитов, а также задачи тепло­ проводности. Доказывается, что для слоистых упругих регулярных ком­ позитов решение статической задачи может быть получено сразу же, если найдено решение соответствующей задачи для однородной анизо­ тропной среды с известными эффективными модулями упругости.

1. Рассмотрим линейную неоднородную упругую среду, свойства ко­ торой описываются тензором модулей упругости Сг-^(х) или тензором упругих податливостей /^м(х). Эти тензоры взаимообратны [4]:

Если они являются разрывными функциями координат х, то неоднород­ ная среда называется упругим композитом.

Смешанная статическая задача теории упругости в перемещениях за­ ключается в решении трех дифференциальных уравнений Ламе

[Ст {х)ик11]'1 + Х{ = О

( . )

 

1 1

относительно трех компонент вектора перемещений и при удовлетворе­ нии граничным условиям

 

 

Ui |

= Ui°)

Ст

(X) Uh'itlj | = Si0.

( 1.2)

Входные данные задачи 0-1),

(1.2)

таковы: X — вектор объемных сил;

u

вектор перемещений, заданный на части 2 i поверхности 2 , ограни­

чивающей объем

V\

вектор усилий, заданный на остальной части

 

поверхности 2

, п

единичный вектор нормали к поверхности 2 .

 

Наряду с глобальными (медленными) координатами х введем ло­ кальные (быстрые) координаты

.§= — +а,

(1.3)

а

частную производную по которым будем обозначать вертикальной чертой. Здесь а — малый параметр, равный отношению периода струк­ туры к характерному размеру тела; а — постоянный вектор, зависящий от номера ячейки. Ищем решение задачи (1.1), (1.2) в виде асимптоти­ ческого разложения по параметру а:

Ui = V i ( x ) +

(1.4)

 

q=\

где N ^ ( ’5 ) — так называемые локальные функции q -то уровня, периоди­ ческие по быстрым переменным »§. Для определенности будем считать, что средние значения этих величин по ячейке периодичности равны нулю:

<N<9>(5)> = - Ы

N(«){\)dV%=Q.

V*

v

Заметим, что, получив решение задачи (1.1), (1.2) в виде (1.4) и вос­ пользовавшись преобразованием, обратным (1.3), мы придем к выраже­ нию вектора и через глобальные переменные х. Во всех промежуточных выкладках переменные х и (§ считаются независимыми.

Подставляя разложение (1.4) в уравнения (1.1) и граничные условия (1.2) и комбинируя величины при одинаковых степенях а, получим для «среднего» поля перемещений v(x)

 

 

оо

 

 

 

 

V i =

а P W i i P ]

 

( 1 . 5 )

 

 

р = О

 

 

 

последовательность краевых задач при р = 0, 1, 2,... [3]:

J ijhl

=

hf]klwM

nj\Zt = SiW,

 

1

 

где

 

 

 

 

 

Xit

если p=0;

 

 

 

Х № я *

 

 

 

 

 

 

А<г>

ш {p—r>

 

если

p > 0;

Г=1

i j m n , .. .n r+l jn .m ...n r+ 1j

 

 

 

 

 

 

 

Si0, если £=0; p

AM

wiP~r)

ti j, если p > 0;

r = 1

xim n i...n r+l

m,n\..

r+l

 

 

 

 

 

Ui°,

если p =

0;

 

«i<p> =

 

 

 

- L

NV. .

i P - r

если p > 0.

ijh\...hr

 

Локальные функции N<P>определяются из решения рекуррентной сис­

темы дифференциальных

уравнений (периодическая

задача) при q =

= - 1 , 0 , 1 , 2 , . . .

 

 

 

 

 

 

N^+2>

)

,

+ (С .. ,

N^+\) ,

)у,-+

< ijml

miihl...liq.y2\l'

Jj

'

mnln...lig + l

' u

+c

N«i+u

+C

 

7V<«>

=

ih q+2ml

m n h l...kq + l [l

ihq+2mliq+ l

mnk\...hq

 

=

M <J>,

jV<°> = 6

.

 

( 1.6)

 

 

m n

m n

 

 

Здесь и далее все величины с отрицательными индексами тождественно равны нулю.

Величины hinlt ...k4+2l <7= 0,1,... образуют тензоры эффективных мо­ дулей упругости q-го уровня, ранга 4+q. Они определяются усреднением по ячейке периодичности следующих выражений:

А<?>. ь =<С

N(q+ О

+ С

NW

>. (1.7)

inh\...hq+2

I mnk\...h я+1

 

 

 

2. Смешанная динамическая задача теории упругости в перемеще­ ниях заключается в решении трех дифференциальных уравнений движе­ ния [3]

[Сijki (х)«,,,(],j+ Xi = p

(2.1)

при удовлетворении граничным условиям

(1.2) и начальным

данным

при 7=0 Ui= Ui(x) ;

- ^ г=У*(х).

(2.2)

Решение задачи (2.1), (2.2), (1.2) ищем в виде асимптотического раз­ ложения

щ=и{(х) +

ijk\...кд_2р( 6)

д 2*

ViM -l‘g-2»’

 

NU7)(Р)

 

 

<7=1

 

где суммирование по р происходит от р= 0 так, чтобы выполнялось усло­ вие q—2р^Э:0 (все величины, имеющие отрицательные индексы, равны нулю). Повторяя процедуру, описанную в предыдущем пункте, получим для «среднего» поля перемещений v(x) (1.5) рекуррентную последова­ тельность задач при р = 0, 1, 2,...

hf m K Ph +Х 'Р = <Р

д2

^ {р11г, = « i{p);

 

П;|22= ^ 1р>

^

^ (Р} 5

 

при 7 = 0 Ш;<Р = /7г<Р) ; -^-ДО{(Р>= Vj(P>,

 

 

 

где

если

р = 0;

 

 

 

 

Х{,

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

* ,< р >=

 

 

ft(r)(p)

д 2$

 

 

если р>0;

L

Z

 

7n,n,...nr+1_ 2pj

 

jmn,...nr+1_ 2p g p р

'

г=1

 

р

 

 

*Y1 *1 . 41

л 7

 

 

 

 

 

 

если р = 0;

 

 

 

 

5 4(р )

 

 

3)

(?2Р

 

tij,

если р > 0;

 

 

 

____

т,П\..

 

 

 

п,...пг+1_2()

^/2Р

 

 

м,°, если p = 0;

Hi<P> =

'EE

 

 

 

v

 

 

o2P

 

 

 

 

 

ДГ(г) (P)

,

если p > 0;

 

 

 

(5/2p

 

r=l

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t/i,

если

p = 0;

 

 

 

£/*<*> =

 

 

 

 

 

 

 

У 1,

У^Л^г!.(Р).

—г г ау(^Тг), ,

.если p > 0 ;

 

T—1

p

 

 

 

 

 

V,-, если

p = 0;

 

 

 

улр} =

V

 

 

^2P+1

 

 

 

 

 

) ( P )

Ш{P-r}

 

 

EE# ( rijh\...kr_ 2fl

^/2P+1

j.fe|.../tr _2p|<s=o если p > 0.

 

r = l

p

 

 

 

 

Для определения локальных функций NteXP) требуется решить рекур­ рентную последовательность дифференциальных уравнений при <7=

= — 1,0, 1 , 2 , . . . ; р = 0, 1 , . . .

ЛГ(<г+2ИР>

)

|j

+ (С

Ит к д+2-2& ™ nkl...kq + l _ 2fi

),

+

v ijml

m n h x...hq+2_ 2^\l

7

x

|j

 

+ C

yy^+D(P)

 

 

+C.

iV<9 <P

 

-

^<7+ 2- 20™^ m nfei...ft9^ .j_ 2pl^

г^д+2- 20т ^д + 1—20

mnh\...hq_ 2p

 

 

- р Л ^ И Р - l )

 

= f t ( 9 ) ( P )

 

 

 

 

~ inft,...fe (Z + 1_ 2p

inh\...k'q+2—20

 

 

 

 

W<o <o = e

J

 

 

 

 

 

 

гз

 

 

 

 

 

 

Постоянные величины h ’. *9+2_2P определяются усреднением по ячейке периодичности следующих выражений:

ЛОгНО

=<С.

ЛД<Ж><Р

+С .

ЛД<7 (Р

_

ij/li.../l9 + 2-2p

^ l g+2-20m ^

rn^ ,-* ^(7 + l-2 0

г^д+ 2 -20Ш^д + 1-20

 

k q _ 2^

 

 

— p A /r(.?) ( P—n

>.

 

 

г20

Вчастности, из последнего выражения при q= 0, (3 = 1 следует

Лг,-(0)(1)=-<Р>б,>

Заметим, что величины

и h^)(°) совпадают с величинами N(9) и

предыдущего пункта.

3.При решении несвязанных задач термоупругости температурное

поле определяется из задачи теплопроводности, которая заключается в решении дифференциального уравнения относительно температуры Т:

[hij(х) T j ] + Q= рСр дТ ,

(3.1)

где Kij — тензор теплопроводности среды; ср — теплоемкость; Q — объ­ емный приток тепла [3]. К уравнению (3.1) следует добавить граничное условие

hiT,jni\z = y\(T \s-T c),

(3.2)

(где т] — коэффициент теплоотдачи; Тс — заданная температура окру­ жающей среды) и начальные данные

при / = 0:

Т= Т°(х).

(3.3)

Применяя описанную выше технику усреднения, будем искать реше­ ние задачи (3.1) —(3.3) в виде

7’='0'(х) + 2.J &ч2.J МММ ( 5 ) - п з г т # * < W ’

<7=1 Р

где суммирование по р также происходит от р = 0, так чтобы q—2р ^ 0. Для «среднего» температурного поля Ф(х)

оо

-0= ^ «Р9<Р>

р=0

получим рекуррентную последовательность задач теплопроводности для однородной среды с изменяющейся величиной объемного притока тепла (при р = 0, 1,...),

 

 

A ij<o)(O)0,i .{P) + Q (P) =

д0(р>

 

 

 

 

 

<pC > .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

при выполнении граничного условия

 

 

 

 

 

 

 

(Лгj(0) (0)0,j{р)Пг- —Т]0 fp>)2= Df

 

 

 

и начальных данных

 

 

 

 

l2

 

 

 

при / = 0 : ,0{р> = 7,«р)>

 

 

 

где

 

 

 

 

 

Q, если р = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q{p} =

ЕЕЛ(Г)(Рli. . . .,lr+ 2 _2P

 

1 »г1* ,гг+2-2Р

 

 

 

 

р

 

 

(32Р-1

 

 

 

 

г-1

6

 

Л49Л . 0{.Р“Г}

, если

/?> 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—л^’с, если р= 0;

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

{ГТ,М<г)(Р)

 

 

 

 

 

Д(р} =

 

 

 

 

-------- 0{р-г}

 

_

 

 

 

ЕЕг=1 р I.

»| . *г_2р

(5/2Р

 

 

 

 

k —Л(^.)(Р)

<?23

 

1

если

Р > 0;

 

 

 

Г»

 

 

 

ii....ir+1_2P д№

,г|...гГ4-1—2Р J

 

 

 

 

Т°,

если /э = 0;

 

 

 

 

 

 

Г { р } =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

У ,

У .

M(r)(p)

4

t

0(p-r,

 

, если р > 0.

 

AffrM?

 

 

»г1•■•гг-2р1^""®

 

 

 

 

*l---ir_2p (?^23

 

 

 

 

г=1

р

ii...г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Локальные функции ММ(3) определяются из решения уравнений

(\»»М<Г 2- (Р) .

). + (X .

 

Af^+рсз)

) , +

т п

г ,-- г д + 2- 2р | т

|п

г <7+ 2- 2РП

г ‘ - г д+ 1-2Р

' \ П

+ Л.

Afta+W3

+JL.

 

 

Af<«><3> -

г <7+2-2РП l|” -*g + l- 2 p | n

г <7+2-2Р^ + 1-2р

<1—г в -2Р

 

-рСрЛ4(?нР-п

=Л(?)(Р)

 

 

 

 

*д+2-2р

 

1q+2—2Р

 

Для нахождения постоянных величин Л/

\

 

имеем

 

 

 

1\

•1<7+2-2Р

 

 

 

Л ^ н з) =<я, .

.Af(?+i)(3)

. +

 

 

г , , г <7-|-2-2р

г</ + 2-2р^ ^••|<7+ 1-2P U

 

 

 

+ Л.

Л^МР)

—рс

Л1<?НР-,)

>,

г<?+2-2Ргд + 1-2Р

г , -гг/-2р

Р

г|,,1(7 + 2-2р

откуда в частности при {$ = 0 , q —\ получим

Л<о)(1) = _ < рСр>.

4. Рассмотрим слоистый упругий композит. Направим ось х3 (а сле­ довательно, и | 3н=£) ортогонально слоям композита. В этом случае уравнения (1.6) становятся обыкновенными дифференциальными урав­ нениями по переменной |. Решая эти уравнения и учитывая (1.7), на­ ходим

h i j m n h i j m n ( . C i j m n )

(,С {]к зС к3 1 зС 1 3 т п У 4 "

(4.1)

 

 

+ < С ^ /(з С й з ( з )< С /з р з ) -

К С р з у з С дЗтп X

 

где под Ск.3)3 понимается матрица, обратная матрице Скззз- Компоненты тензора эффективной теплопроводности выражаются в

следующем виде:

 

х Азз / х ^33 7 х А33 7

х Мз )■

В явном виде могут быть вычислены и локальные функции. Например, для задачи теории упругости

 

 

 

 

 

Ъ

N i i h s s N i j k = JV гЭйК0) =

J

Q i j h { n ) d r \ - ^

J

 

 

О

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

(4.2)

Qijk^= Сдз/з((С;3т3^

*(СтЗпзСпЗцУ

 

Для задачи теплопроводности

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

М£^М ;(»(0)=

J

Л(т,)с/Г1- (

1^<(л)^Л ) ;

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

V -1

1

^гЗ

р‘- ( ^

)

О

г

У

^33

^33

Для слоистых регулярных композитов выражений (4.1) и (4.2) доста­ точно, чтобы получить решение статической задачи упругости (1.1),

( 1.2).

Рассмотрим, например, вторую краевую задачу теории упругости, когда на границе тела 2 заданы усилия. Тогда среднее поле перемеще­ ний определяется из решения статической задачи теории упругости для однородной среды

hijkiVh,ij + X i = 0;

(4.3)

hijhiVk,ij |2 = Si°.

(4.4)

Решение соответствующей неоднородной задачи можно записать в виде

оо

d.4

Г 1

U i = V i { x ) - \ r a N i j k ( t ) v U i k ) ( x ) + 2 - 1

a‘7+,£;j/<('J- 1)(£)-T—г y(.i,ft)(x), (4-5)

а=1

йХз

где

 

£

*

Bijft< n )(g )= in l2 ^ J a -

r ] ) n N .j k ( r ] ) d r ] +

n l

0

p=0

Mijh{lp) — постоянные,

которые

находятся из условия, чтобы все

 

 

( — I ) п

<Bijh{n)(l)>= 0 (например, MijhW= ^ -*-<£#(£))). Круглые скобки в

индексах (4.5) означают операцйю симметрирования [4]. Как уже указы­ валось, в выражении (4.5) следует заменить быстрые координаты g че­ рез медленные дг3 по формуле (1.3).

Итак, для слоистого регулярного упругого композита решение стати­ ческой задачи теории упругости выписывается в явном виде по извест­ ному решению соответствующей задачи (4.3) для однородной среды с известными эффективными модулями (4.1).

Доказательство сформулированного выше утверждения следует из

того, что все компоненты hWuz... а эффективных модулей h^) уровня выше нулевого тождественно равны нулю и поэтому все локальные функции N(<?) уровня выше первого выражаются квадратурами через N^=N<4

ДО(<7+1)

= — #(<?)

mn/i3...3|3

?nn/i3...3*

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. М., 1978. 556 с.

2.Бахвалов Н. С. Осреднения дифференциальных уравнений с частными производ­

ными с быстро осциллирующими коэффициентами. —

Докл. АН

СССР, 1975, т. 221,

№ 3, с. 516—519.

 

 

3. Победря Б. Е. Численные методы в теории

упругости

и пластичности. М.,

1981. 344 с.

 

 

4. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М., 1979. 244 с.

Московский государственный

Поступило в редакцию 25.06.82

университет им. М. В. Ломоносова

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]