Теория анализа хозяйственной деятельности

Критерий Вальда:

шах min Щ ХГ S ) = -121; Х опт = 20. x i sj

Судя по результатам, критерий Вальда неприменим, так как в этом случае объем производства слишком мал.

Критерий Гурвица:

Для разных значений а можно построить таблицу доходов по критерию Гурвица (табл. 4.29).

Тогда оптимальный объем производства велосипедов, в со­ ответствии с критерием Гурвица, в зависимости от а приведен

в табл. 4.30.

Таблица 4.30

Оптимальный объем производства

Критерий Сэвиджа: построим матрицу «сожалений» (табл. 4.31).

Приведем краткую классификацию систем массового об­ служивания. При наличии одного канала обслуживания сис­ тема массового обслуживания называется одноканальной, если их несколько — многоканальной. Если источники заявок включены в систему, она называется замкнутой, иначе — разомкнутой. Если несколько систем соединены цоследовательно, таким образом, что заявки, удовлетворенные в одной системе, переходят к следующей, возникает многофазная система массового обслуживания (например, последователь­ ная обработка деталей на нескольких видах оборудования).

Исполнение заявки в системе продолжается некоторое случайное время, после чего освободившийся канал вновь го­ тов к приему заявки. Если в системе допускается формирова­ ние очереди заявок, поступивших в моменты, когда все каналы заняты, они становятся в очередь и ожидают осво­ бождения занятых каналов.

В зависимости от допустимости и характера формирова­ ния очереди различают системы обслуживания с отказами, с неограниченной очередью и смешанного типа.

Система с отказом имеет место, если формирование оче­ реди не разрешено. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не будет удовлетворена. Примерами таких систем служат автоматические телефон­ ные станции, поточные линии и т.д.

Система массового обслуживания с неограниченной оче­ редью представляет собой структуру, где разрешается оче­ редь неограниченной длины. В такой системе поступившие заявки будут обслужены, хотя время ожидания может ока­ заться довольно продолжительным.

В системе массового обслуживания смешанного типа

возможны различные ограничения, например, на макси­ мальную длину очереди, время пребывания заявки в очереди и т.д. В системе с ограниченной очередью заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди за­ няты. Заявка, попавшая в очередь, обязательно обслужива­ ется. В системе массового обслуживания с ограниченным временем пребывания в очереди (система с «нетерпеливыми» клиентами) заявка становится в очередь и ожидает некоторое случайное время. Если она за это время не попадает в канал обслуживания, то покидает очередь. Такой вариант обслу­ живания применяется для моделирования входного контро­

ля заготовок и имитации брака на операциях по обработке деталей.

Работа в перечисленных системах обслуживания ослож­ няется тем, что заявки поступают не регулярно, а через слу­ чайные промежутки. Это приводит к тому, что в отдельные интервалы времени система действует с перегрузкой, а в дру­ гие — недогружена или даже полностью простаивает.

Основная задача теории массового обслуживания — вы­ явить зависимость показателей эффективности системы от характера входящего потока, дисциплины и ограничения очереди, количества, производительности и условий фун­ кционирования каналов с целью последующей ее оптими­ зации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; мини­ мум заявок в очереди и уходов необслуженных заявок; за­ данную пропускную способность и т.п. В качестве варьируе­ мых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканаль­ ном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность об­ служивания и др.

Для краткого обозначения систем массового обслуживания и выбора математических методов операционных характе­ ристик эффективности применяются трех- и четырехкодо­ вые шифры. Трехкодовый шифр имеет вид (Х/\х/п). Первый элемент указывает на тип распределения входящего потока требований, второй — на время обслуживания, третий — на число каналов обслуживания. В четырехкодовом шифре чет­ вертый элемент обозначает характер очереди. Например, код (X/\i/n/m) отражает, что в очереди может быть не более т требований.

Каким требованиям должны удовлетворять параметры описываемой системы X и р, обусловливающие поток требо­ ваний и механизм обслуживания? На практике чаще всего приходится иметь дело с входящими потоками требований, для которых моменты наступления событий и промежутки времени между ними случайны. В таком случае поток требо­ ваний может описываться произвольной функцией распреде­ ления случайной величины.

Наиболее просто описываются системы с простейшим потоком требований, то есть удовлетворяющим свойствам

стационарности, ординарности и отсутствия последствий. Свойством стационарности обладает поток, у которого ве­ роятность поступления зависит только от длины проме­ жутка. Это значит, что параметры закона распределения потока требований не изменяются со временем. Поток об­ ладает свойством ординарности, если вероятность поступ­ ления на малом участке At двух или более требований очень мала по сравнению с вероятностью поступления од­ ного требования. Другими словами, если Р>г (At) — вероят­ ность поступления в течение промежутка времени At более одного требования, то P>x(A t) = O (At), где O (A t) — очень малая величина по сравнению с At. В результате требова­ ния приходят по одному.

Отсутствие последствия состоит в том, что число требова­ ний, поступивших в систему после некоторого промежутка времени, не зависит от того, сколько их пришло до этого мо­ мента. Доказано, что поток требований можно считать про­ стейшим, если он получен суммированием достаточно боль­ шого числа не зависящих друг от друга потоков, влияние каждого из которых на сумму равномерно малое, и что про­ стейший их поток описывается пуассоновским законом рас­ пределения:

где Pk(t) — вероятность того, что за произвольно выбранный период времени t поступит k требований; I — математичес­ кое ожидание случайной величины; X — плотность входяще­ го потока, то есть среднее число требований в единицу времени.

Покажем на примере, как определить величину X, если входящий поток пуассоновский.

Пусть имеются данные о входящем потоке заготовок оп­ ределенного вида в течение 60 рабочих дней литейного цеха (табл. 4.32). Требуется установить интенсивность входящего потока X на основании группировки данных и выравнять эм­ пирические данные с помощью распределения Пуассона.

Сгруппируем данные по числу заготовок, поступающих в цех в течение рабочего дня (табл. 4.33).

Окончание табл. 4.33

бовании пуассоновский. Тогда, в соответствии с формулой (4.15), найдем теоретические частоты по формуле

/; = *г — г \

*л?

где N = 60 — число единиц в совокупности.

Подставив в эту формулу X = 5 и ft = 2, 3, 11, опреде­ лим теоретические частоты (значения функции Х4!"1/ ! ! мож­ но найти из таблицы Пуассона):

//(2 ) = 5; /2'(3) = 9; /3(4) = 11; /4'(5) = 11; / 5*(6) = 9; fJ V ) = 6; fT48) = 4; f8'(9) = 2; f9 (10) = 1; fl0'(11) = 1.

Для оценки расхождений между частотами эмпиричес­ кого и теоретического распределения воспользуемся пока­ зателем х (хи-квадрат) Пирсона: у = 6,5. По таблицам для у выясним вероятность наступления значения у меньше

наблюдаемого. Если Р^(х ^ 6,5) = 0,05, то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными, а кривую Пуассона — удачно подоб­ ранной для выравнивания эмпирического ряда. При вырав­ нивании по кривой Пуассона v = п - 2, где п — число групп

вряду. Для нашего примера п = 10. Имеем Р8(х > 6,5) =

=0,59, что значительно превышает принятый уровень 0,05. Следовательно, отклонение фактических частот от те­ оретических можно считать случайном, а само распределе­ ние входящего потока заготовок — близким к пуассонов­

скому с параметром А. = 5.

Важным показателем процесса обслуживания считается время, под которым понимается интервал между моментом поступления требования в канал и моментом его выхода из канала. Время может изменяться, что объясняется непол­ ной идентичностью приходящих требований, состоянием требований, состоянием и возможностью обслуживающих ус­ тройств. Время обслуживания в большинстве систем следует рассматривать как случайную величину. В экономических процессах оно, чаще всего, распределено по показательному закону:

fit) = ц - Г и ,

где ц — среднее число требований, обслуженных в единицу времени.

Тогда средняя продолжительность обслуживания будет равна:

В табл. 4.34 приведены результаты хронометража про­ должительности выдачи (обслуживания) рабочим специали­ зированного инструмента со склада. Необходимо определить интенсивность обслуживания и выравнять эмпирическое рас­ пределение времени с помощью показательной функции.

Таблица 4.34

Результаты хронометража

Для нахождения теоретических частот по экспоненцИ' альному распределению воспользуемся формулой

/ / = ЛТ-Л-р-Гц‘ = 350 •10 •0,05 •Г*05* = 175Гао5‘ ,

где N = 350 — число единиц в совокупности; h — величина интервала.

Для расчетов прибегнем к таблицам значений функции