Теория анализа хозяйственной деятельности
..pdf
|
|
|
|
Таблица 4.18 |
|
Прирост выпуска продукции на предприятиях |
|
||
|
|
Номер предприятия |
|
|
Средства, |
1 |
2 |
3 |
4 |
млн руб. |
|
Прирост продукции, г£х), млн руб. |
|
|
|
г, (х) |
Г9 (X) |
г3 (X) |
Г4 (х) |
20 |
10 |
12 |
11 |
16 |
40 |
31 |
26 |
36 |
37 |
60 |
42 |
36 |
45 |
46 |
80 |
62 |
54 |
60 |
63 |
100 |
76 |
78 |
77 |
80 |
В соответствии с вычислительной схемой метода динами ческого программирования условная оптимизация начинает ся с оптимизации одношагового процесса (последнего шага). В данной задаче этому условию будет отвечать случай выде ления имеющихся средств на долю одного предприятия (пусть им будет, например, предприятие № 1). Для одного предприятия функциональное уравнение имеет вид (4.12). В соответствии с этим уравнением и в зависимости от началь ной суммы Ъ получаем с учетом табл. 4.18 значение / х(&)
(табл. 4.19).
Таблица 4.19
Прирост выпуска продукции при распределении средств на одно предприятие
Х*Ф) |
Ц Ь ) |
20 |
10 |
41 |
31 |
60 |
42 |
80 |
62 |
100 |
76 |
Оптимизируем теперь двухшаговый процесс с учетом оп тимизации одношагового. В условиях рассматриваемой задачи это означает, что средства вкладываются в два предприятия:
№ 1 и, например, № 2. Функциональное уравнение для этого этапа оптимизации получим из формулы (4.13) при i = 2:
f2(b) = max[r2 (x) + /j(& - *)]
(4.14)
0 < x й b.
На данном этапе необходимо найти значения функции (4.14) для всех допустимых комбинаций Ъи х . Для упроще ния расчетов значения х будем принимать кратными, напри мер 20 млн руб. Чтобы упорядочить вычисления и придать записям большую наглядность, составим табл. 4.20.
Таблица 4.20
Оптимальное распределение средств на два предприятия
X |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
* 100 |
f2(b) |
х * ф ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
0 + 10 |
12 + 0 |
|
|
|
|
12 |
20 |
40 |
0 + 31 |
12 + 10 |
26 + 0 |
|
|
|
31 |
0 |
60 |
0 + 42 |
12 + 31 |
2 6 + 10 |
36 + 0 |
|
|
43 |
20 |
80 |
0 + 62 |
12 + 42 |
26 + 31 |
3 6 + 10 |
54 + 0 |
|
62 |
0 |
100 |
0 + 76 |
12 + 62 |
26 + 42 |
36 + 31 |
5 4 + 10 |
78 + 0 |
78 |
100 |
Для каждого значения начальной суммы Ь распределяе мых средств предусмотрена строка, а для каждого возможно го значения распределяемой суммы х — столбец. Некоторые клетки таблицы останутся незаполненными, так как они со ответствуют недопустимым сочетаниям Ъи х . Такой, напри мер, будет клетка, отвечающая строке b = 40 и столбцу х = 80. При наличии 40 млн руб., естественно, отпадает ва риант, при котором одному из предприятий выделяется 80 млн руб.
Вкаждую клетку будем вписывать значения суммы г2(х) +
+f2(b - х). При этом первое слагаемое берем из табл. 4.18,
а второе — из табл. 4.19. Так, при распределении суммы Ь= 80 млн руб., одним из вариантов может быть следующий: второму предприятию выделяется 60 млн руб., то есть х = 60,
а первому — (80 - 60) = 20 млн руб. При таком распределении на втором предприятии будет обеспечен прирост продукции на сумму 36 млн руб. (табл. 4.18), а на первом — на сумму 10 млн руб. (табл. 4.19). Общий прирост составит (36 + 10) = = 46 млн руб., что и записано в соответствующей клетке табл. 4.20. В двух последних столбцах табл. 4.20 проставлены: максимальный по строке прирост продукции (столбец f2(b)) и соответствующая этой строчке оптимальная сумма средств, выделенная второму предприятию (столбец х 2*(Ь)). Так, при начальной сумме ft = 60 млн руб. максимальный прирост продукции составляет 43 млн руб. (12 + 31), причем это дос тигается путем выделения второму предприятию 20 млн руб., а первому (60 - 20) = 40 млн руб.
Расчет значений / 3(ft), соответствующий оптимизации трех шагового процесса, приведен в табл. 4.21.
Таблица 4.21
Оптимальное распределение средств на три предприятия
X |
0 |
20 |
|
40 |
60 |
80 |
100 |
ЦЬ) |
х2*(Ь) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
0 + 1 2 |
1 1 + 0 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0 |
|
40 |
0 + 31 |
11 |
+ 12 |
36 + 0 |
|
|
|
|
36 |
40 |
||
60 |
0 + 43 |
11 |
+31 |
36 |
+ 12 |
45 + 0 |
|
|
48 |
40 |
||
80 |
0 + 62 |
11 |
+ 4 |
2 |
36 |
+ 31 |
45 |
+ 12 |
60 + 0 |
|
67 |
40 |
100 |
0 + 78 |
11 |
+ 6 |
2 |
36 + 43 |
45 |
+ 31 |
6 0 + 1 2 |
77 + 0 |
79 |
40 |
|
Здесь использована формула, получающаяся из (4.13) |
||||||||||||
при i |
= 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3(Ь) = тах[г3(ж) + f3( b - х)]
0 < х < Ь.
Первые слагаемые в табл. 4.21 взяты из табл. 4.18, вто рые — из табл. 4.20.
Аналогично находятся значения / 4(Ь). Соответствующую таблицу составляем по вышеуказанному правилу. Последние два столбца, начиная с табл. 4.19, сведем в табл. 4.22.
Таблица 4.22
Оптимальное распределение средств на все четыре предприятия
X |
0 |
|
20 |
40 |
|
60 |
80 |
100 |
f2(b) |
х2*(Ь) |
20 |
20 |
Ю |
|
20 |
12 |
0 |
|
12 |
20 |
16 |
40 |
40 |
31 |
|
0 |
31 |
40 |
|
36 |
40 |
37 |
60 |
60 |
42 |
|
20 |
43 |
40 |
|
48 |
20 |
52 |
80 |
80 |
62 |
|
0 |
62 |
40 |
|
67 |
40 |
73 |
100 |
100 |
76 |
|
100 |
78 |
40 |
|
79 |
40 |
85 |
Из последней строки табл. 4.22 видно, что наибольший прирост f j b ) продукции на четырех предприятиях при распре делении между ними 100 млн руб. (& = 100) составляет 85 млн руб. (/4(100) = 85). При этом четвертому предприятию должно быть выделено 40 млн руб. (JC4*(100) = 40), а осталь ным трем (100 - 40) = 60 млн руб. Оптимальное распределе ние этих 60 млн руб. (Ь = 60) между тремя предприятиями обеспечит общий прирост продукции на сумму 48 млн руб. (/3(60) = 48) при условии, что третьему предприятию будет выделено 40 млн руб. (я3*(60) = 40), а остальным двум (60 - - 40) = 20 млн руб. Оставшиеся 20 млн руб. при опти мальном распределении между двумя предприятиями обес печат прирост продукции на сумму 12 млн руб. (/2(20) = 12). При этом второму предприятию необходимо ассигновать 20 млн руб. (л:2*(20) = 20), а на долю первого останется (20 — - 20) = 0 млн руб., то есть х г* = 0.
Таким образом, максимальный прирост выпуска продук ции на четырех предприятиях при распределении между ними 100 млн руб. составит 85 млн руб. Причем он будет достигнут, если первому предприятию не выделять средств, второму вы делить 20 млн руб., а третьему и четвертому — по 40 млн руб.
4.5.Статистическая теория игр и ее применение
ванализе хозяйственной деятельности
Статистическая теория игр является составной частью общей теории игр, которая представляет собой раздел совре менной прикладной математики, изучающий методы обосно вания оптимальных решений в конфликтных ситуациях.
В теории статистических игр различают такие понятия, как исходная стратегическая игра и собственно статистическая игра. В этой теории первого игрока называют «природой», под которой понимают совокупность обстоятельств, в условиях ко торой приходится принимать решения второму игроку — «статистику». В стратегической игре оба игрока действуют ак тивно, предполагая, что противник — «разумный» игрок. Для стратегической игры характерна полная неопределенность в выборе стратегии каждым игроком, то есть игроки ничего не знают о стратегиях друг друга. В стратегической игре оба иг рока действуют на основе детерминированной информации, определенной матрицей потерь.
В собственно статистической игре природа не является ак тивно действующим игроком в том смысле, что она «не разумна» и не пытается противодействовать максимальному выигрышу второго игрока. Статистик (второй игрок) в статистической иг ре стремится выиграть игру у воображаемого противника — природы. Если в стратегической игре игроки действуют в ус ловиях полной неопределенности, то для статистической игры характерна частичная неопределенность. Дело в том, что при рода развивается и «действует» в соответствии со своими объективно существующими законами. У статистика есть воз можность постепенно изучать эти законы, например, на основе статистического эксперимента.
Таким образом, безразличие природы к игре и возмож ность получения статистиком в ходе соответствующего ста тистического эксперимента дополнительной информации о состоянии природы отличают игру статистика от обычной стратегической игры, в которой принимают участие два за интересованных антагонистических противника.
Применение теории статистических игр рассмотрим на при мере снижения цен на продукцию, которая не нашла покупателя.
Представим, что у предприятия осталось нераспределен ным некоторое количество продукции. Причем при установ ленной цене спрос на эту продукцию отсутствует. Чтобы реализовать оставшуюся продукцию необходимо снизить цену. Применение статистической теории игр позволяет определить размер снижения цены в целях реализации продукции, чтобы потери от реализации были минимальными. Здесь в качестве природы (первый игрок) выступает спрос. Множество состоя ний природы обозначим v —(vv v2), где — малоэластичный спрос на продукцию, v2 — высокоэластичный спрос. В качес
тве статистика выступает предприятие (второй игрок), у которо го имеются различные варианты снижения цены на продукцию.
Пусть предприятие располагает четырьмя возможными действиями av av a,, a4, означающими, что цены снижаются соответственно на 20, 30, 40 и 50%. Предполагается, что ста тистик может оценить последствия каждого варианта сниже ния цены в зависимости от состояния природы, то есть заранее известна функция L (v, а), которая выражает потери статистика, определяемые его действием a. ( i = 1,4) и состоя ние природы v = (vv v2).
Функция L (v, а) будет функцией потерь и считается зара нее заданной для всех возможных комбинаций (v, а). Ее можно задать аналитическим выражением или с помощью матрицы потерь (матрицы игры). В нашем случае каждый элемент этой матрицы определяется на основе следующих данных:
•состоянию природы соответствуют два варианта — ма лоэластичный спрос и высокоэластичный спрос;
•цена реализации единицы продукции — 20 млн руб.;
•количество нереализованной продукции — 500 шт.;
•решение предприятия о снижении продажной цены на 20, 30, 40 и 50%;
•предполагаемый объем продажи продукции в результа те снижения цен определен.
На основе предполагаемых данных проведем соответству ющие расчеты и сведем их в табл. 4.23 и 4.24, которые соот ветствуют состоянию природы vx и vT
|
|
|
|
|
Таблица 4.23 |
||
|
|
Состояние природы v f |
|
|
|||
|
|
|
|
Предпо |
Объем |
|
|
|
|
|
Предпо |
лагаемый |
|
||
|
|
|
нереали |
Потери, |
|||
Решения |
Снижение |
Новая це |
лагаемый |
объем |
|||
зованной |
млн руб. |
||||||
статистика |
цены, % |
на, |
объем |
продажи, |
продук |
(гр.6 - |
|
млн руб. |
продажи, |
млн руб. |
|||||
|
|
ции, |
- гр.5) |
||||
|
|
|
шт. |
(гр.2 х |
|||
|
|
|
|
х гр.4) |
млн руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
а, |
20 |
16 |
100 |
1 600 |
10 000 |
8 4 0 0 |
|
®2 |
30 |
14 |
150 |
2 100 |
10 000 |
7 9 0 0 |
|
аз |
40 |
12 |
220 |
2 640 |
10 000 |
7 360 |
|
а. |
50 |
10 |
250 |
2 500 |
10 000 |
7 500 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.24 |
||
|
|
Состояние природы v 2 |
|
|
|||
|
|
|
Предпо |
Предпо |
Объем |
|
|
|
|
Новая це |
лагаемый |
нереали |
|
||
Решения |
Снижение |
лагаемый |
Потери, |
||||
на, |
объем |
объем |
зованной |
млн руб. |
|||
статистика |
цены, % |
продажи, |
продук |
||||
млн руб. |
продажи, |
(гр.6 -гр.5) |
|||||
|
|
млн руб. |
ции, |
||||
|
|
|
шт. |
|
|||
|
|
|
(гр.2 х гр.4) |
млн руб. |
|
||
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7. |
|
a i |
20 |
16 |
100 |
1 600 |
10 000 |
8 400 |
|
Э2 |
30 |
14 |
150 |
2 100 |
10 000 |
7 900 |
|
40 |
12 |
220 |
2 640 |
10 000 |
7 360 |
||
аз |
|||||||
50 |
10 |
250 |
2 500 |
10 000 |
7 500 |
||
а4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Значения функции потерь L (v, а) из-табл. 4.23 и 4.24 за пишем в матрицу (табл. 4.25).
|
|
|
|
Таблица 4.25 |
|
Матрица потерь L (v, а), млн руб. |
|
||
|
а |
32 |
аз |
|
V |
а . |
Я4 |
||
|
|
|
|
|
|
8 400 |
7 900 |
7 360 |
7 500 |
”2 |
7 600 |
5 100 |
5 200 |
5 500 |
|
|
|
|
|
Анализ матричной игры с природой начинается с выявле ния и отбрасывания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий предприятия. В данном случае стратегии аги а4 мож но вычеркнуть, так как соответствующие им функции потерь будут заведомо большими по сравнению со стратегиями а2и а3. Что касается стратегий природы, то ни одну из них отбрасывать нельзя, так как каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий игрока 2.
После упрощения платежной матрицы (табл. 4.25) полу чим платежную матрицу, представленную в табл. 4.26.
Для полученной матричной игры находим оптимальное ре шение. Это такое решение, которое в максимальной мере сбе регает предприятие от потерь. Наиболее осторожной тактикой принятия решения статистиком будет минимаксная страте гия. Для ее определения выберем из каждого столбца платеж ной матрицы (табл. 4.25) наибольший элемент. В столбце а2
Таблица 4.26
это элемент 7 900, в столбце а« — 7 360. Затем выбираем среди них минимальный элемент (7 360). Тем самым определяем столбец с минимальным элементом, который и' определяет чистую стратегию статистика. В этом случае максимальные потери от снижения цены составят 7 360 млн руб., независимо от того, как поведет себя природа (спрос на продукцию). Если природа будет принимать другую стратегию vv а предприятие ту же стратегию а3, то потери предприятия только сократятся и составят 5 200 млн руб.
Отметим, что иногда неопределенность ситуаций поведения природы удается в некоторой степени ослабить. Это достига ется нахождением вероятностей состояний природы на основе денных статистических наблюдений или с использованием экспертных оценок. Здесь возможно использование различ ных статистических критериев (Вальда, Сэвиджа, Гурвица) для принятия решений статистиком.
Рассмотрим частный случай модели задачи в условиях неопределенности: каждому возможному состоянию приро ды соответствует один возможный исход. В этом случае мате матическая модель задачи принятия решения определяется множеством стратегий X = (хД статистика и множеством со стояний природы S = {$.}, а также следующей матрицей дохо-
д°в 1U\|т„ (табл. 4.27).
Таблица 4.27
Матрица доходов
i/„ |
и,. |
«к |
и,. |
S. |
|
|
Окончание табл. 4.27 |
|
S, |
S2 |
S„ |
||
___ J |
||||
X, |
|
|
|
Um и,m2
Опишем критерии выбора стратегий в общем случае.
Критерий Вальда (правило максимина, критерий осто рожного наблюдателя). Этот критерий оптимизирует полез ность (доход) при предположении, что природа находится в самом невыгодном для статистика состоянии. По данному критерию решающее правилб имеет следующий вид:
max min U(X ., S .).
Xi |
Sj |
> |
Напомним, что статистику неизвестно распределение ве роятностей Sj. Относительно состояния природы статистик может высказать определенные гипотезы.
По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает га рантированный выигрыш при наихудшем состоянии природы.
Критерий Гурвица (компромиссный способ принятия решений) основан на следующих двух предположениях: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1-а) и в самом выгодном — с вероятностью а, где а — коэффициент доверия.
Тогда решающее правило записывается так:
max а т а хЩ Х ., S.) + (1 - a) min Щ Х ., S.) О < а < 1. |
||||
Я. |
1 |
J |
я. |
1 * |
Если а = 0, получаем критерий Вальда.
Если а = 1, то приходим к решающему правилу максимакса9 то есть к так называемой стратегии «здорового оптими ста», который верит в удачу и, игнорируя возможные потери, рассчитывает на максимально возможный доход.
Критерий Сэвиджа (правило минимакса9 критерий ми нимизации максимально возможных потерь, минимизации «сожалений»). «Сожаление» — это величина, равная изме нению полезности результата при данном состоянии приро ды относительно наилучшего возможного состояния.5
5 Зак. 228
Чтобы определить «сожаление», в каждом столбце матри цы доходности находим максимальный элемент Uj, затем вы читаем его из всех элементов этого столбца. Таким образом получаем матрицу «сожалений», каждый элемент которой представляет собой разность
U.. |
с |
= U.. - U., |
ч |
ч |
где t/y — элементы исходной матрицы доходности.
Искомую стратегию Х {, которая минимизирует «сожале ние» (возможные потери или упущенный доход), определяют из условия
min max 17.. (X,, Sj),
S, X , *'с 1
где
Uuc (x i> s j>= u (x r S J) " max(X., S.).
Этот критерий минимизирует возможные потери при ус ловии, что состояние природы наихудшим образом отличает ся от предполагаемого.
Рассмотрим использование описанных критериев в усло виях неопределенности для практической ситуации.
Приведем числовой пример. Пусть мотовелозавод плани рует выпустить серию велосипедов и мотоциклов различных марок (X v Х 2, Х 3, Х 4), а также определенное количество за пасных частей к ним (Sv S2, S3, S4, S5, S6) и рассчитывает получить соответствующий доход, определяемый матрицей ||[/||4х<. (числа в табл. 4.28 условные).
Таблица 4.28
|
Матрица доходов мотовелозавода |
|
|
|||
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
20 |
- 121 |
62 |
245 |
245 |
245 |
245 |
30 |
-168 |
14 |
198 |
380 |
380 |
380 |
40 |
- 2 1 6 |
- 3 3 |
150 |
332 |
515 |
515 |
50 |
-264 |
-8 1 |
101 |
284 |
468 |
650 |
Определим наиболее подходящий объем производства ве лосипедов по вышеприведенным критериям.