Теория анализа хозяйственной деятельности

Необходимо определить насколько рациональным оказался раскрой, а также какие размеры изделий целесообразнее раскра­ ивать из полотна указанной ширины, чтобы сократить отходы.

Решим данную задачу на ПЭВМ с использованием, нап­ ример, инструментальных средств MS Excel и сделаем эко­ номический анализ полученного решения. Как правило, решение конкретной задачи на ПЭВМ включает в себя сле­ дующие этапы:

•составление математической модели;

•присвоение элементам модели определенных «имен»;

•составление матричной модели с поименованными эле­ ментами;

•ввод и корректировка исходных данных;

•решение задачи на ПЭВМ;

•экономический анализ подученного решения. Применительно к нашему примеру на первом этапе вво­

дим условные обозначения, необходимые для решения зада­ чи (табл. 4.15).

Здесь ху х4, Ху х6, хТ xg, обозначают соответственно количество изделий (штук) определенного размера, раскроен­ ных из полотна шириной 86 и 89 см. Умножив количество из­ делий на нормы отхода, получим общую величину отходов производства. Они должны быть минимальны. Тогда целевая функция примет вид:

+94£х_+97,49хБ+1057х7+10877xg.

Задача состоит в нахождении таких х. (j — 1,8), при кото­ рых целевая функция (4.1) достигнет минимума и выполня­ ются следующие условия:

520^!7х1 +553,5х^ + 597,4х3 + 605,4х4 = 200000; (4.4)

526,42х- +553,49^. + 627,7х_ + 647,77xg = 300 000;(4.5)

Здесь хэ — суммарный выпуск курток. Тогда условия (4.4) и (4.5) означают, что полотна шириной 86 см должно быть израсходовано 200 кг, а полотна шириной 89 см — 300 кг; (4.6) — условие суммарного выпуска изделий; условия (4.7) —

Из таблицы видно, что наиболее рационален раскрой из полотна шириной 86 см изделий 44 и 52 размеров, а из по­ лотна шириной 89 см — 44, 46 и 54 размеров. Такой способ раскроя уменьшает отходы, увеличивает выпуск изделий, прибыль предприятия и его рентабельность.

Отметим, что в современных пакетах прикладных про­ грамм для решения задач линейного программирования симплекс-методом предусмотрены режимы расчета так на­ зываемых интервалов устойчивости, как для ограниченных ресурсов, так и для переменных величин, принимающих ненулевые значения. Экономический смысл этих интерва­ лов состоит в том, что изменение объемов ресурсов и значе­ ний переменных в пределах этих интервалов не изменяет структуру оптимального плана. Это позволяет предприя­ тию проводить рациональную политику приобретения до­ полнительных ресурсов.

4.4. Модели и методы решения задачи динамического программирования

Метод динамического программирования представляет собой особый математический прием оптимизации нели­ нейных задач математического программирования, кото­ рый специально приспособлен к многошаговым процессам. Многошаговым обычно считают процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ряд «шагов», или «эта­ пов». Однако метод динамического программирования ис­ пользуется и для решения задач, в которых время не фигурирует. Некоторые процессы распадаются на шаги ес­ тественным образом (например, процесс планирования хо­ зяйственной деятельности предприятия на отрезок времени,

состоящий из нескольких лет). Многие процессы можно расчленить на этапы искусственно.

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Метод динамического программирования также характе­ ризуется тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге должен производиться с учетом последствий в буду­ щем. Это означает, что, оптимизируя процесс на каждом от­ дельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всех последующих шагах. Таким образом, динамическое про­ граммирование — это дальновидное планирование с учетом перспективы.

Принцип выбора решения в динамическом программи­ ровании является определяющим и носит название принципа оптимальности Беллмана. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и реше­ ние, принятое в начальный момент, последующие реше­ ния должны вести к улучшению ситуации относительно состояния, являющегося результатом первоначального ре­ шения.

Таким образом, при решении оптимизационной задачи методом динамического программирования необходимо на каждом шаге учитывать последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Исключе­ нием является последний шаг, которым заканчивается процесс. Здесь можно принимать такое решение, чтобы обеспечить максимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно «пристраивать» к нему предпослед­ ний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т.д. Именно таким образом — от конца к началу — можно развернуть процедуру принятия решений. Оптимальное ре­ шение, найденное при условии, что предыдущий шаг закон­ чился определенным образом, называют условно-оптималь­ ным решением.

В принципе динамическое программирование может раз­ ворачиваться и в прямом направлении, то есть от первого шага процесса к последнему.

Использование в экономическом анализе метода динамичес­ кого программирования покажем на оптимальном распределе­ нии ограниченных ресурсов на реконструкцию и модернизацию производства.

Пусть группе предприятий выделяется Ъсредств на ре­ конструкцию и модернизацию производства. По каждому из п предприятий известен возможный прирост выпуска продукции г. (х)у (i = 1, ..., л) в зависимости от выделенной ему суммы х. Требуется так распределить Ъсредств между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции был максимальным.

Составим основное функциональное уравнение, соответ­ ствующее условиям данной задачи. Оно позволит развить процедуру принятия пошаговых решений и найти оптималь­ ное распределение Ъсредств.

Пусть имеющиеся средства выделяются на реконструк­ цию и модернизацию одного предприятия. Обозначим через / х(х) максимально возможный прирост выпуска продукции на этом предприятии, соответствующий выделенной сумме х. Каждому значению х отвечает вполне определенное (един­ ственное) значение гх(х) прироста выпуска, поэтому можно записать, что

где уп_г — допустимая сумма средств, которая может быть выделена для одного предприятия (допустимое состояние на начало последнего шага).

Пусть теперь средства распределяются между двумя пред­ приятиями. Если второму предприятию будет выделена сумма Ху то прирост продукции на нем составит г2 (я) . Оставшиеся

другому предприятию средства (ул_2 ~ *)> гДе Уп- 2 — допусти­ мая сумма средств, которая может быть выделена на долю двух предприятий (допустимое состояние на начало (п - 1)-го шага), в зависимости от величины х позволяет увеличить прирост выпуска продукции до максимально возможного значения / 2 (уп_2 “ х). Общий прирост выпуска продукции на

двух предприятиях составит г2 (х) + fx (уп_2“ *)• Наибольше­ му значению f2 (г/л_2) прироста продукции при распределе­ нии суммы уп_2 между двумя предприятиями соответствует такое х, при котором указанная сумма максимальна. Это за­ мечание можно выразить следующей формулой:

4 (Уп- 2) = шах[г2 (ж) + /j (у„_2 - х)]

0 < х < у п_2.

Зная f2 (уп_2), можно найти выражение для /3 (у„_3) и т.д. Тогда общее функциональное уравнение запишется в следую­ щем виде:

4 (У„_() = тах[г.(ж) + ft_x(у n_t - х)]

(4.13)

0 й х £ у я _ г

Таким образом, максимальный прирост выпуска продук­ ции на £-х предприятиях получается как максимум суммы прироста выпуска на i-м предприятии и прироста на остальных оставшихся (i - 1) предприятиях при условии, что оставшие­ ся после £-го предприятия средства распределяются между этими предприятиями наилучшим образом.

Исходя из функциональных уравнений (4.12) и (4.13), в соответствии с рассмотренной вычислительной схемой мето­ да динамического программирования можно последовательно найти сначала fv затем / 2, / 3 и, наконец, fn_1и fn для различ­ ных значений распределяемой суммы средств. Для отыскания оптимального распределения средств прежде всего опреде­ лим величину хг* ассигнований л-му предприятию, которая позволяет достичь вычисленного максимального значения fn прироста продукции. По величине оставшихся средств (Ъ - х) и уже известному значению f г устанавливаем х — вели­ чину ассигнований (л - 1)-му предприятию и, наконец, на­ ходим х2* и х г*

Приведем числовой пример. Пусть между четырьмя пред­ приятиями распределяется 100 млн руб. Значения rt(x) при­ роста выпуска продукции на предприятиях в зависимости от выделенной суммы приведены в табл. 4.18.