Электродинамика сплошных сред

Другой важнейшей характеристикой является плотность тока:

где N – концентрация электронов; 4S – площадь поперечного сечения, которое перпендикулярно к вектору j в данной точке; V – скорость дрейфа электронов. В обычных условиях средняя скорость электронов мала. Например, при плотности тока 1 А/см2 в медном проводнике эта скорость составляет всего около 5 см в сутки. При этом, если напряжение подается на электрическую цепь, ток возникает практически одновременно во всех участках цепи.

1.3.2. Законы Ома и Джоуля

Закон Ома является обобщением опытных данных и устанавливает связь между силой тока и напряжением:

R

здесь коэффициент пропорциональности R – омическое сопротивление, вызванное взаимодействием электронов с ионами решетки. Это простейшее соотношение не является универсальным, однако с помощью него производится деление проводников на омические – имеющие линейную вольт-амперную характеристику, и неомические – у которых она не линейная. Электрическое сопротивление R не является характеристикой вещества, оно зависит от геометрии и размеров проводника.

Локальный закон Ома связывает плотность электрического тока и напряженность электрического поля в точке r:

где σ – электрическая проводимость; ρe = RS /L – удельное электрическое сопротивление проводника; S – его площадь сечения; L – длина участка проводника.

Электроны, взаимодействуя в своем движении с ионами решетки, передают им избыток кинетической энергии, что ведет к увеличению

31

энергии теплового движения (колебания) ионов, т.е. к нагреванию металла. Количество теплоты Qe, выделяемое током в единицу времени, определяется законом Джоуля:

Удельная мощность тока qe, т.е. количество теплоты, выделяющееся в секунду в единице объема проводника,

Уравнение (1.55) дает наиболее общую формулировку закона Джоуля, применимую к любым проводникам, вне зависимости от их формы, однородности и т.д., наконец, вне зависимости от того, имеем ли мы дело с постоянным или переменным током.

1.3.3. Электродвижущая сила

Существенное отличие стационарного поля постоянных токов от электростатического поля заключается в том, что для поддержания первого необходима непрерывная затрата энергии, тогда как в электростатическом поле никаких превращений энергии не происходит. Перенос электричества по проводникам под воздействием сил электрического поля сопровождается работой этих сил, причем эквивалентное этой работе количество энергии выделяется в форме джоулева тепла. Ввиду стационарности поля постоянных токов вся энергия, выделяющаяся в цепи тока, должна непрерывно возмещаться за счет других видов энергии – механической, химической, тепловой и т.д. Иными словами, для поддержания постоянного тока необходимо, чтобы в известных участках цепи тока действовали электродвижущие силы (ЭДС) ε неэлектростатического происхождения – индукционные, термоэлектрические и т.д. для компенсации затрат электрической энергии. Применение электростатических сил привело бы к выравниванию потенциала и прекращению тока. При наличии таких сторонних ЭДС с полем

32

Eex закон Ома приобретает обобщенную форму:

Если в качестве источника ЭДС используется гальванический элемент, имеющий сопротивление RG, то работа по перемещению заряда по внешней цепи A = εq, где ε можно определить как максимальную работу химической реакции, рассчитанную на единицу заряда. Эта работа будет равна суммарной работе тока во внешней цепи RI2t и внутри источника RG I2t, то есть

εq = RI2t + RG I2t.

Разделив обе части этого равенства на заряд q = It, получим закон Ома

R + RG

Также можно сформулировать более общую форму закона Джоуля:

Это выражение означает, что джоулево тепло, выделяемое током в каждом элементе объема проводника, равно сумме работ сил электрического поля и сторонних сил в этом элементе объема.

1.3.4.Классическая электронная теория электропроводности проводников

Определим зависимость электропроводности металла от других физических величин, характеризующих его свойства. В первом приближении будем рассматривать «электронный газ» в металле как газ идеальный, т.е. будем считать, что в промежутках между столкновениями с другими ионами электроны движутся по законам движения материальных точек под действием силы внешнего поля напряженностью E. В отсутствие поля средняя скорость электронов относительно решетки равна нулю. Под действием поля электроны приобретают добавочную скорость V, параллельную силе e¯E. Это изменение скорости происходит лишь во время свободного полета между двумя последовательными столкновениями электрона с ионами решетки, так как столкновение

33

с другими электронами той же массы не влияет на среднюю скорость. При каждом столкновении направление и величина скорости электрона изменяются случайным образом. После столкновения среднее значение V равно нулю, а перед столкновением

V = e¯Eτ, me

где τ – средняя продолжительность свободного полета. Таким образом, среднее значение скорости

h|V|i = 1 e¯E τ.

2 me

С другой стороны,

τ = Ul ,

где l – средняя длина свободного пробега; U – средняя скорость беспорядочного движения электронов в отсутствие внешнего поля (U |V|). Вносим эти выражения в (1.49) и получаем для плотности тока

j = e¯2Nl E.

2meU

Согласно дифференциальному закону Ома (1.52) электропроводность

Предположим, что к электронам в металле применима классическая статистическая механика, когда средняя энергия поступательного теплового движения молекул любого газа зависит лишь от абсолютной температуры T (но не от химической природы и молекулярной массы газа) и может быть выражена как

Применяя (1.61) к электронному газу в металле, получим из (1.60)

e¯2Nl

σC = √ . (1.62)

2 3 k meT

34

В эксперименте напрямую измерить ни величину N и l, ни их зависимость от температуры невозможно, однако косвенно проверить выражение (1.60) возможно с помощью измеряемых на опыте величин, в частности теплоемкости. Полная кинетическая энергия единицы объема электронного газа в металле

N meU2 = 3 N k T.

2 2

Теплоемкость cv (при постоянном объеме) единицы объема электронного газа, т.е. энергия, необходимая для повышения его температуры на один градус,

где универсальная газовая постоянная

R = k NA .

Непосредственно измеряется полная теплоемкость решетки и свободных электронов, однако теплоемкость решетки можно оценить как теоретически, так и на основании данных, относящихся к твердым диэлектрикам, теплоемкость которых сводится к теплоемкости решетки. Оказалось, что на долю теплоемкости электронов приходится весьма малая величина, которая может быть согласована с (1.63) только при столь малых значениях плотности свободных электронов N, при которых для электропроводности по формуле (1.60) получаются слишком малые значения. Можно определить нижний предел длины свободного пробега электрона l, который, например, для серебра, оказывается при нормальной температуре порядка 10−5 см, а при T = 14 K порядка 10−3 см. Эти значения свободного пути, проходимого электроном между двумя последовательными столкновениями, никак не могут быть согласованы в рамках классической теории электронов с тем фактом, что порядок расстояния между смежными атомами металлов равен всего 10−8 см. Это противоречие является одним из существенных возражений против классической электронной теории металлов. Проблема оказалась в неприменимости к электронам классической статистики (1.61).

35

1.3.5.Введение в квантовую электронную теорию электропроводности проводников

Выше было показано, что трактовка электронов в металлах как частиц идеального газа наталкивается на трудности в вопросе о теплоемкости электронного газа. Эти трудности преодолеваются, если применить к модели свободных электронов квантовую статистику ФермиДирака. В ней принимается, что частица или система частиц, совершающих финитное движение в заданном силовом поле, может находиться лишь в определенных квантовых состояниях, которым соответствуют определенные значения энергии. Эти значения называются энергетическими уровнями системы, причем эти уровни дискретны, т.е. отделены друг от друга конечными интервалами. Среднее число электронов f , приходящихся на одно квантовое состояние, описывается функцией Ферми-Дирака:

Эта функция распределения (рис. 1.8) определяет вероятность нахождения электрона на уровне с энергией ε при температуре T . Вероятность зависит от «расстояния» уровня ε от уровня Ферми εF.

f

2

1

0 F

Рис. 1.8

Для случая вырожденного электронного газа (вблизи абсолютного нуля температур) функция f выглядит следующим образом:

36

Таким образом, наибольшая энергия, которую может принять электрон

εm = εF, определяется энергией Ферми.

√

Наибольший импульс электрона pm = 2m e¯εF. Число электронов

Кристаллическая решетка металла образуется в результате сближения изолированных атомов. Наружные, так называемые валентные, электроны атомов металла сравнительно слабо связаны с атомными ядрами. При сближении атомов происходит их взаимодействие и валентные электроны отрываются от атомов металла и становятся «свободными электронами», которые могут перемещаться по всему металлу, но при этом «коллективизируются».

В изолированном атоме энергетические уровни какого-либо валентного электрона могут быть невозбужденные – с наименьшей энергией ε, и возбужденные – с более высокой энергией. Энергетические уровни того же валентного электрона системы из N взаимодействующих атомов расщепляются на N простых уровней (рис. 1.9). Вся совокупность уровней называется энергетической зоной. Ввиду того что N очень велико, расстояния между уровнями одной и той же зоны крайне малы, так что требуется ничтожная энергия, чтобы перевести электрон

впределах зоны с одного уровня на другой. В этом смысле энергетические уровни ведут себя так, как если бы они были непрерывны. Соседние зоны разделены конечными интервалами энергии, образующими запрещенные зоны. Таким образом, свободный электрон в металле движется

впостоянном периодическом электрическом поле кристаллической решетки.

Уровень Ферми εF может лежать либо в одной из разрешенных зон, либо в одной из запрещенных зон. В зависимости от этого свойства кристалла будут совершенно различными. Для реализации процесса электрического тока, помимо внешнего электрического поля, необходимо,

37

Рис. 1.9

чтобы энергетическая зона была заполнена электронами не целиком, а частично. При этом уровень энергии Ферми должен располагаться внутри зоны проводимости. При полном заполнении зоны и при уровне энергии Ферми, расположенной внутри запрещенной зоны, квантовые переходы электронов невозможны даже под действием внешнего электрического поля. В металлах основная энергетическая зона всегда заполнена только частично, благодаря чему металлы и являются проводниками электрического тока.

При высокой температуре и малых плотностях электронного газа выводы обеих статистик совпадают. При низких температурах и больших плотностях наступает «вырождение» газа. «Параметр вырождения» определяется выражением

Nh3

A = 2(2πme k T )3/2 ,

где h – постоянная Планка. Классическая статистика применима к электронному газу при A 1, однако для электронного газа в металлах в силу его огромной плотности и малой массы электрона число A оказывается порядка 103 (A 1).

e(T)

0 T

Рис. 1.10

38

Согласно статистике Ферми, средняя кинетическая энергия свободных электронов не пропорциональна температуре, а практически от температуры не зависит и определяется только плотностью электронного газа:

Следовательно, изменение электропроводности σ с температурой определяется только температурной зависимостью длины свободного пробега электрона l. Зависимость l(T ) может быть вычислена на основе квантовой механики и приводит к правильному температурному ходу кривой электропроводности: σ T −1 при нормальных и высоких температурах, σ T −5 при очень низких температурах. Таким образом, основанная на статистике Ферми теория свободных электронов удовлетворительно объясняет основные свойства металлов (рис. 1.10).

1.3.6. Полупроводники и электролиты

Как и металлы, полупроводники являются проводниками первого рода. В них протекание электрического тока не сопровождается никакими химическими изменениями, однако концентрация носителей заряда в таких проводниках чрезвычайно сильно увеличивается с ростом температуры. Чистые полупроводники при низкой температуре являются изоляторами. Напротив, с увеличением температуры или при загрязнении примесными атомами другого вещества полупроводники проводят электрический ток.

Полупроводник считается чистым, если он содержит в 1 см3 менее 1012 примесных атомов. Такая чистота может быть достигнута только специальными методами очистки (например, зонной плавкой). Перенос заряда в полупроводниках осуществляется квазисвободными электронами и (или) положительно заряженными «дырками». Удельное сопротивление полупроводников сильно зависит от температуры (рис. 1.11).

39

Для чистых полупроводников справедлив экспоненциальный закон

где Eg – энергетическая щель, или запрещенная зона.

ln e(T)

Eg/2k

0 T

Рис. 1.11

Электролитами являются вещества, растворы или расплавы которых проводят электрический ток. Проводимость возникает благодаря ионам – электрически заряженным атомам или молекулам. В противоположность металлам или полупроводникам ток в электролитах связан с химическим разложением, поэтому на электродах выделяются вещества, которые химически наиболее чисты. Электролитически выделившаяся на электроде масса вещества m пропорциональна перенесенному через электролит электрическому заряду с коэффициентом пропорциональности A , называемым электрохимическим эквивалентом,

Выделенные одинаковыми электрическими зарядами q массы веществ m в различных электролитах соотносятся как эквивалентные массы mA выделенных веществ. Эквивалентная масса вещества равна атомной массе вещества ma или молекулярной массе mm, деленной на валентность Z соответствующего иона. Для нее справедливо

40