Электродинамика сплошных сред

а вид возмущения

h = h0 exp i ω(t − x ) , a

v = v0 exp i ω(t − x ) . a

Можно провести такую механическую аналогию. Если записать электромагнитную силу в виде

то первое слагаемое будет эквивалентно гидростатическому давлению, а второе, являющееся максвелловским натяжением, будет эквивалентно натяжению вдоль силовой линии. В несжимаемой жидкости гидростатическое давление ( µ0H2/2) уравновешивается давлением жидкости, так что остается только действие натяжения ( µ0H2). Поэтому и возможны поперечные колебания силовых линий (как натянутых струн), распространяющиеся со скоростью a2 = µ0H02/ρw.

Таким образом, поперечное смещение частиц проводящей жидкости приводит к искривлению силовых линий, в том числе их растяжению и сгущению. При этом возникают «квазиупругие» силы, стремящиеся выпрямить силовые линии, что приводит к развитию колебательного процесса, называемого альфвеновскими волнами.

2.7.4. Теорема Каулинга

Следующий материал связан с гипотезой возникновения магнитных полей астрофизических объектов. Суть гипотезы в том, что магнитное поле в этих объектах не является реликтовым, а возбуждается и поддерживается процессом специфического течения электропроводной среды объекта.

Если произвести грубую оценку, то при течении жидкости со скоростью V поперек магнитного поля H возникает ЭДС и ток плотностью j µσV H. При этом плотность тока связана с полем по закону rot H = j. Следовательно, для поддержания поля H в области с размером l плотность тока j будет пропорциональна j H/l. Если произвести

191

оценку величины скорости для Солнца, то скорость будет иметь порядок 10−8 м/с. Однако на Солнце скорость движения среды гораздо выше. Почему же тогда магнитное поле не достигает колоссальных значений? Здесь ошибка оценки состоит в том, что силовые линии движутся «вмороженно» и их скорость и скорость среды равны, поэтому определить ток для оценки с помощью закона Ома нельзя. Здесь основной проблемой является ответ на вопрос: почему при жестко вмороженных силовых линиях магнитного поля возможны его генерация и сохранение, причем поле при этом является квазистационарным?

B

B

Рис. 2.36

Для ответа на этот вопрос было создано много теоретических моделей. В большинстве из них используется кинематический подход, когда движение среды считается известным и заданным и проводится исследование возможности поддержания магнитного поля с помощью индуцированного движением тока.

192

Область исследований была значительно уменьшена с помощью так называемой «антидинамо» теоремы Каулинга, в которой утверждается, что азимутально симметричные течения не могут создать симметричное магнитное поле.

Для доказательства рассмотрим процесс, в котором векторы движения среды и магнитного поля и магнитные силовые линии лежат в меридиональных плоскостях (проходящих через ось симметрии). При этом магнитное поле создано индуцированным током. Силовые линии должны образовывать замкнутые кривые, имеющие два центра: N1 и N2, т.е. это нейтральные точки полоидального поля (рис. 2.36). Магнитное поле в этой точке должно быть равно нулю, H = 0, однако плотность азимутального тока, j = rot H, не равна нулю, так как завихренность поля не равна нулю.

Эти токи текут вдоль окружностей, центры которых лежат на оси симметрии, поэтому они не могут быть обусловлены электростатическими полями. В точках Ni они не могут также поддерживаться и ЭДС, так как там µ[V × H] = 0. Следовательно, строгое поддержание такого магнитного поля невозможно. Меридиональная циркуляция среды не может предотвратить затухание осесимметричного полоидального магнитного поля. Эта циркуляция может перераспределять силовые линии, но не способна создавать их.

2.7.5. МГД-динамо

Пусть для стационарного уравнения

Rem rot [V × B] + 4B = 0

найдено поле V, удовлетворяющее граничным условиям. Изменение Rem может привести к нарастанию или затуханию поля B. Таким образом, Rem играет роль критерия самовозбуждения поля и процесс им определяется. При этом процесс не зависит от величины магнитного поля B из-за того, что уравнение переноса поля линейно по B.

Покажем на примере особенности течения, способного генерировать магнитное поле. Пусть в результате малой флуктуации в жидкой проводящей среде возникло магнитное поле (рис. 2.37) в виде петли.

193

Если в жидкости есть дифференциальное вращение, то оно перекрутит петлю и образуется восьмерка.

Наряду с этим течением должно присутствовать сдвиговое течение, которое сложит эту восьмерку.

Кроме процесса конвекции магнитного поля присутствует, пусть слабый, процесс диффузии, который размоет место перекрутки силовых линий. В итоге получаем две петли магнитного поля и удвоение его интенсивности, т.е. процесс генерации магнитного поля.

Рис. 2.37

Таким образом, для реализации процесса генерации и самоподдержки магнитного поля, получившего название МГД-динамо, необходимо выполнение двух условий:

•Rem > ( Rem ) , где ( Rem ) – критическое значение;

•течение должно быть сдвиговым и иметь дифференциальное вращение.

Простейшая модель МГД-динамо предложена Пономаренко. В ней реализовано винтовое динамо, когда проводящая жидкость движется по цилиндрическому каналу и при этом вращается вокруг оси цилин-

дра. Процесс генерации наступает при превышении порогового числа

( Rem ) = 17.

Избежать запрета, наложенного теоремой Каулинга, позволяет идея, состоящая в том, что симметрия может быть нарушена только на мелких масштабах. Анализ явления производится путем разложения магнитного поля и поля скорости на среднее (крупномасштабное) и пульсации:

V(r, t) = V0(r, t) + v(r, t);

B(r, t) = B0(r, t) + b(r, t);

hvi = 0; hbi = 0.

194

Тогда после подстановки в уравнение переноса поля и преобразований получим уравнение относительно средних полей

эффективная ЭДС, она линейно связана с крупномасштабным полем. Величина α характеризует альфа-эффект, который заложен

в основу большинства теорий динамо. Генерация α-эффекта может быть обеспечена потоком проводящей среды с ненулевой гидродинамической спиральностью (рис. 2.38). Суть этого непорогового эффекта заключается в том, что турбулентный поток может генерировать ЭДС в направлении наложенного магнитного поля. Это существенно отличается от описанных выше явлений, где ЭДС может генерироваться в перпендикулярном направлении к векторам магнитного поля и скорости.

j

V B

Рис. 2.38

Величина β описывает явление турбулентного диамагнетизма, или бета-эффекта, вследствие которого происходит диффузия магнитного поля из-за его взаимодействия с мелкомасштабным течением. Это явление можно описать как уменьшение эффективной электрической проводимости.

Механизм МГД-динамо является, как правило, двухступенчатым. В космических объектах основными являются две модели, в которых

195

полоидальное магнитное поле BP и тороидальное магнитное поле BT поддерживают друг друга за счет описанных эффектов.

1. BP → α → BT , BT → α → BP, т.е. генерация обоих полей осуществляется за счет α-эффекта. В данном случае модель называется α2-динамо и характеризуется числом Рейнольдса α -эффекта, в которое входят α˜ – характерная величина α и характерный линейный размер:

2. BP → ω → BT , BT → α → BP, т.е. генерация в первом случае осуществляется за счет тороидального сдвига, а во втором – за счет α- эффекта. В данном случае модель называется αω-динамо и характеризуется числом Рейнольдса, в которое входит ω – характерное значение

Следует отметить, что дифференциальное вращение есть почти у всех небесных тел, поэтому реализация αω-динамо наиболее вероятна.

196

197

198

Циклотронный радиус, 52

Число Альфвена, 110 Галлилея, 151 Гартмана, 112 динамо, 196

Прандтля магнитное, 110 Рейнольдса, 109 Рейнольдса магнитное, 82 Стюарта, 110

Электрическая емкость, 16 Электрический ток, 30 Электрическое напряжение, 15 Электровихревые течения, 144 Электролиты, 40 Электромагнитная

волна, 83 масса, 88

Энергия Ферми, 37 Эффект

альфа, 195 бета, 195 Допплера, 97

изотопический, 158 Мейсснера, 160 Фарадея, 107 Холла, 79

199

Контрольные вопросы

1.На основании каких положений выводятся уравнения электромагнитного поля в среде?

2.Записать уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Каков их смысл?

3.Записать связь потенциалов и векторов поля в среде.

4.Записать уравнения для потенциалов поля в среде.

5.Сформулировать и записать граничные условия для полей и потенциалов.

6.Записать уравнения связи и установить каковы пределы их применимости.

7.Сформулировать законы сохранения в электродинамике покоящихся сред.

8. Какими уравнениями описывается электростатическое поле в проводниках и диэлектриках?

9. К чему приводит помещение диэлектриков и проводников во внешнее электростатическое поле?

10.Записать систему уравнений поля для постоянных токов и граничные условия для проводящих сред.

11.Записать уравнения для магнитного поля постоянных токов.

12.Дать классификацию веществ по магнитным свойствам.

13.Сформулировать основные положения, заложенные теории ферромагнетизма.

14.Сформулировать положения теории сверхпроводимости.

15.Записать уравнения квазистационарного поля в интегральной

идифференциальной форме.

16.Сформулировать закон индукции в движущихся проводниках

исредах.

17.Записать все законы Ома в электродинамике.

18.Определить коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции для линейных и нелинейных проводников.

19.Записать выражения для потока и энергии магнитного поля.

20.В чем состоит скин-эффект и какова глубина проникновения поля в проводник.

200