Электродинамика сплошных сред

∂ j(V jVi) = V j∂ jVi + Vi∂ jV j = V j∂ jVi.

Параметр МГД-взаимодействия, записанный через характерное

В данном случае вследствие наличия свободной поверхности перепад давления определяется перепадом гидростатического давления, т.е. любое избыточное давление в данной точке приведет к локальному подъ-

Здесь Ga – число Галлилея.

Далее воспользуемся приближением тонкого слоя и представим трехмерные компоненты векторов всех величин в виде произведения двумерного среднеинтегрального множителя и профильной функции. Для всех величин, кроме скорости, профильные функции будут равны константе, интеграл от которой по толщине слоя даст единицу. Итак, горизонтальные компоненты вектора скорости будут выглядеть следующим образом:

Здесь функция f Ha (z) описывает профиль Гартмана в случае, когда верхняя поверхность свободна. Еще одна особенность этой функции в том, что она безразмерная и нормирована, т.е.

h

Z

f Ha (z)dz = 1.

0

Для вертикальной компоненты скорости выполняются следующие условия на границах:

Vz(x, y, z = 0, t) = 0, Vz(x, y, z = h, t) = dh. dt

Далее подставим эти выражения в уравнение (2.77) и проинтегрируем его по толщине слоя. Получаем двумерное уравнение

151

Здесь в результате интегрирования появились величины q1 1, q2 1. Особый интерес представляет функция линейного трения æ , определяемая выражением

Здесь все операторы записаны для двумерного случая. В дальнейшем будем опускать знак (..ˆ ).

В положении равновесия свободная поверхность под действием электромагнитных сил займет положение hc(x, y), определяемое из следующего выражения:

Вид равновесного положения поверхности определяется заданием электромагнитных сил. Так, если слой помещен в зазор между ферромагнитными массивами, поверхность будет иметь выпуклый профиль (см. рис. 2.8). Если между ферромагнитными массивами есть перемычка, то профиль будет полувыпуклый. Если пренебречь магнитным полем тока и приложить интенсивное внешнее магнитное поле, то профиль будет наклонным.

Рассмотрим линейные длинноволновые возмущения равновесного положения поверхности ζ(x, y, t). При этом положение поверхности будет описано функцией

h = hc + ζ.

В соответствии с линейной теорией устойчивости линеаризуем уравнение (2.78) и пренебрегаем малыми слагаемыми. Далее возьмем от полученного уравнения дивергенцию ∂i(..). Окончательно уравнение будет выглядеть так

Уравнение неразрывности будет иметь вид

152

Подставим это выражение в уравнение (2.81) и получим уравнение колебания свободной поверхности проводящей жидкости, на которую действуют электромагнитные силы

правлении. В этом случае изначально hc = 1, т.е. равновесное положение поверхности горизонтально. Ток вызывает генерацию магнитного поля, вектор которого лежит в плоскости слоя. Если в каком-либо месте возникло возмущение поверхности, то в этом месте изменится сопротивление металла. При этом плотность тока будет пропорциональна выражению

1

jz j0 1 + ζ.

Слагаемое с электромагнитной силой становится источником колебания поверхности слоя:

!

∂i fiem ∂i 1 .

1 + ζ

В определенных случаях возможно появление незатухающих колебаний. Такое явление в похожей конфигурации наблюдается в алюминиевых электролизерах. Там раскачивание поверхности может привести к короткому замыканию между анодом и катодом и, как следствие, остановке производства. Для борьбы с этим явлением подбирают оптимальное расстояние между анодом и катодом, а также модулируют ток.

Во втором случае электрический ток течет по плоскости слоя в направлении X, а слой помещен в зазор между ферромагнитными массивами. Как уже говорилось, поверхность слоя примет равновесную конфигурацию hc. Плотность тока по определению обратно пропорциональна площади поперечного сечения проводника

jx 1/S cs(x, t).

Если волновой вектор возмущений направлен только вдоль Y, то это не приведет к изменению площади сечения и плотности тока

153

(рис. 2.16,а). Если же волновой вектор направить вдоль X, то меняется площадь поперечного сечения для тока (рис. 2.16,б) и, как следствие, меняется плотность тока. При этом дивергенция силы

!

∂i fiem ∂i 1 .

ζ

Рис. 2.16

Это также может быть источником незатухающих возмущений. Описанное явление называется пинч-эффектом потому, что

в случае усиления тока в металле из-за неустойчивости будут образовываться перетяжки и разрывы. При этом будут проскакивать дуговые разряды и слышаться щелчки. Визуально это будет напоминать пощипывание, откуда и произошло название эффекта, который имеет большое значение в физике плазмы.

2.5.Перенос магнитного поля в лабораторных масштабах

2.5.1. Генерация больших магнитных полей. Гидромагнит Кольма

Обеспечить условия, при которых первоначальное магнитное поле будет усиливаться, значительно проще, чем условия для осуществления процесса самовозбуждения магнитного поля. Проведены многочисленные эксперименты по созданию сильных и сверхсильных магнитных полей. Такие поля нужны для проведения различных физических экспериментов, для задач термоядерного синтеза, физики плазмы и т.д. В технике эти поля применяют, например, для точной штамповки поверхностей сложной формы, получения материалов с заданными свойствами и др.

154

Первым и основным методом создания больших полей является использование электромагнита – соленоидальных катушек с электрическим током и С-образным сердечником внутри них. Однако возможности такой системы генерировать большие поля ограничены материалом сердечников. Большинство трансформаторных сталей входят в насыщение при полях более 1 Тл, таким образом, после полей в 2 Тл применение ферромагнитных сердечников теряет смысл. Далее все определяется способностью материала соленоидальных катушек выдерживать пропускаемый ток без разрушения. Если организовано водяное охлаждение медных обмоток, то можно получать магнитные поля до 20 Тл. Дальнейшее увеличение величины магнитного поля возможно только с применением сверхпроводящих обмоток соленоидов. На данный момент с помощью таких соленоидов получают поля до 100 Тл, однако энергозатраты при этом достаточно велики.

Второй метод состоит в следующем. Магнитный поток окружается проводящей оболочкой, которую быстро сжимают, увеличивая индукцию поля по сравнению с первоначальной во много раз. При этом процесс организован так, что можно считать, что первоначальный магнитный поток сохраняется. Для конкретной организации этого метода используют направленный взрыв.

BB

V V

V

Рис. 2.17

Существует интересное направление генерации сильных магнитных полей с помощью гидромагнитов. Рассмотрим работу гидромагнита Кольма. В нем организовано сходящееся течение жидкости с проводимостью σ в дисковом канале от периферии к центру V = (Vr, 0, 0),

155

а на оси диска происходит отток жидкости (рис. 2.17). Пусть периферия находится достаточно далеко. Внешнее однородное магнитное поле действует перпендикулярно плоскости диска B = (0, 0, Bz). Рассмотрим, как осуществляется перенос поля при Rem 1 в стационарном, осесимметричном случае (∂t = 0, ∂ϕ = 0, ∂z = 0).

В цилиндрической системе координат уравнение индукции выгля-

В данном случае магнитное число Рейнольдса выражается через скорость на внешней границе V0 и внешний радиус R0:

Rem = V0R0σµ0.

Вследствие того что жидкость является несжимаемой, безразмерная скорость будет определяться выражением

далее

11

−Rem r ∂r = Bz ∂Bz.

Проинтегрируем

Окончательно получаем зависимость величины магнитного поля от радиуса в гидромагните Кольма:

156

Таким образом, сходящийся поток усиливает магнитное поле. При увеличении магнитного числа Рейнольдса эффект возрастает. Однако, по оценкам, для достижения поля Bz = 45 Тл при начальном B0 = 6 Тл и разумном значении числа Рейнольдса требуемая мощность составит 70 МВт, что существенно превосходит требуемую мощность для генерации того же поля соленоидом со сверхпроводящими катушками.

2.5.2. Сверхпроводники

Сверхпроводимость – это явление, заключающееся в том, что у многих химических элементов, соединений, сплавов, называемых сверхпроводниками, при охлаждении ниже определенной температуры TK, характерной для данного материала, наблюдается переход из нормального в сверхпроводящее состояние, в котором их электрическое сопротивление постоянному току полностью отсутствует. Этот эффект был обнаружен Камерлинг-Оннесом (1911). При температуре около 4 K электрическое сопротивление ртути скачком обращалось в ноль (рис. 2.18). Эффект был подтвержден в эксперименте Коллинзом (1959). В этом эксперименте в кольце из сверхпроводящего материала индуцировали ток, который сохранял свое значение в течение нескольких лет. Сверхпроводящее состояние рассматривается как особая фаза вещества, а переход из нормального в сверхпроводящее состояние – как фазовый переход.

e(T)

157

Опыт показал, что существует критическое значение напряженности внешнего магнитного поля HK, которое зависит от температуры, выше которой сверхпроводящее состояние разрушается (рис. 2.19). Зависимость критической напряженности от температуры выглядит следующим образом:

H

HK0

Нормальная

фаза

Сверхпроводящая фаза

Рис. 2.19

При T = TK (рис. 2.19) всякое внешнее поле разрушает сверхпроводящее состояние. Одним из основных применений сверхпроводников является использование их в качестве обмоток мощных электромагнитов, поэтому факт наличия критической напряженности поля накладывает ограничение на возможность получать магнитные поля желаемых значений. Тем не менее существует класс веществ, у которых HK достаточно большое.

Ключевую роль в построении теории сверхпроводимости сыграло открытие Максвеллом и Рейнольдсом (1950) изотопического эффекта, заключающегося в том, что между критической температурой перехода и массовым числом изотопов M для каждого элемента существует

Массовое число является характеристикой решетки кристалла. Например, частота решеточных колебаний связана с массой ионов

158

w M−1/2. Таким образом, сверхпроводимость, которая является свойством электронной системы металла, оказывается связанной с состоянием кристаллической решетки. Следовательно, возникновение сверхпроводимости обусловлено взаимодействием электронов с решеткой кристалла. Это взаимодействие ответственно за появление электрического сопротивления, но при определенных условиях приводит к его отсутствию.

Теория сверхпроводимости построена Бардиным, Купером и Шриффером (1957). В этой теории особенности эффекта носят квантово-механический характер. Электрон взаимодействует с решеткой кристалла – он поляризует кристаллическую решетку электрическими силами, деформируя ее (рис. 2.20). Это отражается на состоянии другого электрона, находящегося в поле поляризованной решетки. Таким образом, кристаллическая решетка играет роль промежуточной среды, наличие которой приводит к межэлектронному притяжению. Решетка делает эффективную диэлектрическую проницаемость системы отрицательной, εef < 0, в законе Кулона F = q1q2/4πε0εef r2, вследствие чего оказывается, что одноименные заряды начинают притягиваться. Так, золото, серебро, медь – хорошие проводники, но не сверхпроводники, так как при хорошей проводимости происходит слабое взаимодействие электронов с решеткой.

E1 E2

E3

E4

Рис. 2.20

Электрон оказывается окружен «облаком» положительного заряда, притягивающегося к другому электрону. При повышении температуры интенсивное тепловое движение отбрасывает частицы друг от друга, размывая ионное «облако». При низких же температурах, когда ионы

159

в решетках находятся в состоянии «покоя», совершают «нулевые» колебания, связанные с квантово-механической неопределенностью Гейзенберга. Это притяжение у ряда веществ преобладает над кулоновским отталкиванием, экранируя его.

Выбранный электрон будет неодинаково притягиваться к другим электронам. Он «выберет» отдельный электрон, в частности, с противоположным импульсом, чтобы полный импульс этой куперовской пары был равен нулю, и взаимодействие этой пары будет наиболее сильным. Размер пары определяется корреляционной длиной ζ 10−6 м. Это дальняя связь между частицами, она на четыре порядка превышает период решетки.

Электронная система превращается в связанный коллектив, при этом наборы пар постоянно меняются. Образование пар снижает эффект взаимодействия электронов с решеткой, что приводит к снижению сопротивления. Если один электрон пары «оттянул» ион решетки на себя с силой f , то другой электрон пары с ионом решетки будет взаимодействовать меньше – с силой - f , и эффективного взаимодействия с решеткой не происходит. Таким образом, второй электрон куперовской пары компенсирует эффект взаимодействия с решеткой первого.

2.5.3.Сверхпроводник в магнитном поле. Квантование магнитного потока

Ранее говорилось, что у сверхпроводников отсутствует электрическое сопротивление, т.е. σ → ∞, когда они переходят в это состояние из состояния обычного проводника с конечным сопротивлением. Плотность тока j = σE в сверхпроводнике при этом имеет конечное значение, следовательно, E → 0 при переходе в сверхпроводящую фазу. Если ток был изначально вихревым, то rot E = −∂tB. Тогда при переходе в сверхпроводящую фазу внутри сверхпроводника B = C – это то значение магнитного поля, которое было при переходе из нормального состояния в сверхпроводящее. На самом деле ситуация будет иной вследствие фундаментального свойства – магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника, B = 0, в этом заключается эффект Мейсснера.

160