Электродинамика сплошных сред

Другой пример черенковской волны – образование ударной волны (резкий скачок плотности, давления и температуры воздуха) при сверхзвуковом полете самолета. При этом возможно и проявление аномального эффекта в виде возбуждения источника – явление флаттер – вибрации самолета.

Излучение Вавилова-Черенкова нашло разнообразное применение в экспериментальной ядерной физике и физике элементарных частиц. На нем основано действие так называемых черенковских счетчиков, т.е. детекторов релятивистских заряженных частиц, излучение которых регистрируется с помощью фотоумножителей. Основное назначение черенковских счетчиков – разделение релятивистских частиц с одинаковыми импульсами, но различными скоростями. Пусть, например, пучок, состоящий из релятивистских протонов и мезонов, проходит через однородное поперечное магнитное поле. Направления траекторий прошедших частиц будут определяться только их импульсами, но не будут зависеть от их скоростей. С помощью диафрагм можно выделить протоны и мезоны с одинаковыми импульсами. Из-за различия масс скорости мезонов окажутся несколько больше скоростей протонов. Если полученный пучок направить в газ и подобрать показатель преломления газа, то мезоны будут давать излучение Вавилова-Черенкова, а протоны – нет. Таким образом, счетчик будет регистрировать только мезоны, но не будет регистрировать протоны.

1.9.4. Переменное электромагнитное поле в проводнике

Рассмотрим распределение электромагнитного поля по сечению проводника. Возьмем операцию ротора от уравнения Максвелла (1.148)

Аналогичное уравнение можно получить и для магнитного поля. Решим уравнение для случая переменного тока, текущего в омическом проводнике, заполняющем полупространство, z > 0. Направление тока вдоль

101

оси OX и его зависимость от времени заданы – jx(z, t) = j(z) exp ( i ωt); jy = jz = 0. В соответствии с законом Ома ищем электрическое поле, удовлетворяющее уравнению (1.205), в виде Ex(z, t) = E(z) exp ( i ωt);

которую называют глубиной проникновения поля в среду, или толщиной скин-слоя. При удалении на бесконечность, z → ∞, поле должно иметь конечное значение, поэтому константа C 2 = 0. Тогда выражение для поля будет выглядеть следующим образом:

Формула (1.208) показывает, что напряженность электрического поля убывает экспоненциально вглубь проводника. Эффективное уменьшение напряженности (уменьшение в «e» раз) происходит на расстоянии δs от поверхности.

Зная распределение электрического поля в проводнике, можно найти магнитное поле H = (0, Hy, 0) следующим образом:

102

Магнитное поле оказывается перпендикулярным электрическому. Оно убывает вглубь по тому же закону, что и электрическое. По абсолютной величине |Hy| ≈ |Ex|/ωµµ0δs.

Таким образом, электромагнитное поле и, соответственно, весь ток в проводнике оказываются локализованными в тонком поверхностном слое толщиной порядка δs. При ω → 0, т.е. при переходе к постоянному полю, δs → ∞ и скин-эффект исчезает. Чем выше электропроводность, тем меньше глубина проникновения магнитного поля в среду. В предельном случае (для сверхпроводника) внешнее поле в него не проникает. Все джоулево тепло выделяется в области скин-слоя.

Результат, полученный нами для простого случая, имеет совершенно общий характер. При любой геометрической конфигурации проводников поле в них оказывается локализованным в скин-слое. Скинэффект играет большую роль в технике переменных токов: он позволяет применять полые кабели или кабели, покрытые слоем металла с особенно высокой проводимостью. Также скин-эффект применяют для экранирования аппаратуры от переменного магнитного поля. На скин-эффекте основан метод фокусировки пучка электрических зарядов в металлической трубе: при приближении пучка к стенке трубы в ней наводятся токи, поля которых отталкивают пучок от стенки. Таким образом, пучок отталкивается трубой «со всех сторон» и устойчиво держится внутри трубы. Такая фокусировка позволяет транспортировать достаточно интенсивный пучок, например плазменный, по изогнутой трубе и, в частности, удерживать его в кольцевой трубе.

1.9.5. Прохождение электромагнитной волны сквозь диэлектрик

Рассмотрим распространение электромагнитной волны в среде. Диэлектрическая проницаемость среды будет зависеть от частоты поля, что определяется динамикой атомных электронов. Характерной особенностью этой динамики являются гармонические колебания электронов с разными частотами, что следует из вида атомных спектров. Поэтому

103

в качестве простейшей модели диэлектрика можно взять набор различных осцилляторов с собственными частотами ωj и плотностью соответствующих осцилляторов N j. Уравнение движения электрона для каждого осциллятора будет следующим:

где λj – коэффициенты, характеризующие потери энергии в диэлектрике. Решая уравнение (1.210) и суммируя по всем осцилляторам, найдем вектор поляризации

Для случая малой плотности среды действующее электрическое поле равно среднему. Тогда выражение для диэлектрической проницаемости будет выглядеть таким образом:

где «плазменная» частота осцилляторов j определяется выражением

Теперь найдем зависимость диэлектрической проницаемости от частоты поля для однородного и изотропного диэлектрика, помещенного в однородное магнитное поле с напряженностью H. Запишем уравнение движения атомного электрона, выбрав декартову систему координат с осью Z, параллельной вектору напряженности поля H.

104

Здесь ω0 – собственная частота атома-осциллятора. Потеря энергии вследствие действия силы Лоренца характеризуется величиной

m e¯c

Решение системы (1.214) записывается в виде

x= aEx + i bEy,

y= aEy − i bEx,

Ω = ω20 − ω2.

Компоненты вектора электростатической индукции связаны с компонентами вектора поля тензорной зависимостью

Di = Ei + Pi = εi jE j,

где εi j – компоненты тензора диэлектрической проницаемости. Для их нахождения подставим в выражение для Pi значения x, y, z аналогично (1.211). В результате получим

105

Теперь рассмотрим, что произойдет с плоскостью поляризации плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся в диэлектрике вдоль слабого однородного магнитного поля. Волновое уравнение (1.170) использовать нельзя, поэтому для плоской монохроматической волны при µ = 1 используем выражение

Теперь представим нашу линейно поляризованную волну в виде суперпозиции двух волн с круговой поляризацией:

Elin(z, t) = E0 ( exp [ i (kRz − ωt)] ± exp [− i (kLz − ωt)]). 2

Подставляя правую и левую составляющие в уравнение (1.216), получим выражение для волнового вектора

Таким образом, на расстоянии l от входа в диэлектрик поле волны будет описываться выражением

Elin(z, t) ≈ E0 ( exp [ i (k0l − ωt)] ± exp [− i (k0l − ωt)])(1 + i 4kl). 2

106

Это выражение означает, что вектор Elin повернулся относительно вектора магнитного поля H на угол α,

где постоянная Верде

e¯ ω2pω2

VH = 2m e¯c2 pε0Ω2 .

Описанное явление поворота плоскости поляризации электромагнитного излучения, распространяющегося в среде вдоль магнитных силовых линий, называется эффектом Фарадея. Этот магнитооптический эффект был первым доказательством наличия прямой связи между магнетизмом и светом. Эффект применяется в различных устройствах радиосвязи, а также в астрофизических исследованиях. С помощью него изучаются космические магнитные поля.

107

2. Взаимодействие сред с электрическими и магнитными полями

2.1.МГД-течение в плоском слое электропроводящей жидкости

2.1.1. Уравнения магнитной гидродинамики

Магнитная гидродинамика (МГД) – это наука о движении электропроводных газов или жидкостей во взаимодействии с магнитным полем. При движении электропроводящей среды, находящейся в магнитном поле, в ней индуцируются электрические поля и токи, на которые действует магнитное поле и которые сами могут повлиять на магнитное поле. Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений, которая должна рассматриваться на основе совместных уравнений гидродинамики и электродинамики.

Основными уравнениями магнитной гидродинамики являются: уравнение Навье-Стокса с учетом электромагнитных сил

уравнение неразрывности

закон Ома

и уравнения Максвелла

108

Можно оценить порядок электромагнитных сил как fe σB20V0, вязкостных сил (учитываемых слагаемым ρwν4V) как fv = ρwνV0/L02 и сил инерции (учитываемых слагаемым ρw(VO)V) как fi = ρwV02/L0. Тогда порядок отношения электромагнитных сил к вязкостным силам описывается квадратом числа Гартмана,

Порядок отношения электромагнитных сил к силам инерции описывается числом Стюарта,

Порядок отношения инерциальных сил к вязкостным силам описывается гидродинамическим числом Рейнольдса Reh . Следует упомянуть о числе Альфвена, характеризующем отношение магнитной энергии к кинетической,

Достаточно важным является магнитное число Прандтля, равное отношению гидродинамической и магнитной вязкостей,

2.1.2. МГД-течения Куэтта и Гартмана

Рассмотрим течение электропроводной жидкости между двумя плоскопараллельными горизонтальными поверхностями, которые движутся в противоположные стороны со скоростями V0 под действием постоянного перепада давления P0 = −∂x P в присутствии поперечного внешнего магнитного поля B0 = (0, 0, B0) (рис. 2.1). Наша цель – полу-

{∂xV; ∂yV} = 0. Если подставить это в уравнение неразрывности (2.2),

110