Электродинамика сплошных сред

Греческие символы

– гиромагнитное соотношение

4 – приращение (например, 4P = P2 − P1) δ(...) – дельта-функция

ε– диэлектрическая проницаемость

µ– магнитная проницаемость

ν– кинематическая вязкость [м2/с]

ω– круговая частота [Гц]

ψ– гидродинамическая функция тока [м2/с]

11

σ– удельная электропроводность [См]

Критерии подобия

12

1. Уравнения Максвелла для сплошной среды

Прежде чем начать изложение материала, следует сделать ряд замечаний. В данном курсе рассматриваются процессы в нерелятивистском приближении: это значит, что среды движутся относительно мед-

ленно, т.е.

|V| 1. c

Это условие выполняется для большинства практически интересных явлений и процессов. Последовательную же теорию электродинамики необходимо основывать на теории относительности, где рассматриваются эффекты, пропорциональные (|V|/c)2. Это выходит за рамки данного курса.

Аналогично тому, как деформируемый материальный континуум получается в результате сглаживания более или менее плотной системы точечных частиц, а его характеристики определяются при помощи некоторой процедуры осреднения, электромагнитный континуум можно получить сглаживанием системы точечных зарядов. Аналогично плотности массы, плотность заряда определяется по формуле

ρc = hδqi,

где угловые скобки означают некоторую операцию осреднения, например осреднение по фазовому пространству в статистической физике. Также можно ввести математическое определение плотности заряда, выражающее операцию осреднения по физическому пространству

В дальнейшем полагается, что объемные характеристики, определенные по обоим способам осреднения, практически совпадают. Введенный таким образом континуум электрического заряда формирует все электрические и магнитные свойства сплошной среды.

13

1.1.Электростатика

1.1.1. Электрический заряд и электрическое поле

Здесь предполагается, что в электрическом поле неподвижных зарядов, кроме проводников электричества, никаких других материальных тел нет. Электрический заряд характеризуется следующими свойствами и проявлениями: заряды имеют знак, причем заряды одного знака отталкиваются, а разных – притягиваются; электрические заряды могут разделяться и сливаться (рекомбинировать); сумма электрических зарядов в замкнутой системе постоянна; любой заряд есть целое кратное элементарного заряда электрона e¯; любой заряд связан с массой.

Если две материальные точки с электрическими зарядами q1 и q2 находятся в вакууме на взаимном расстоянии r12 = r1 − r2, то они действуют друг на друга с силами F12 и F21, которые удовлетворяют закону Кулона

Закон Кулона по виду совпадает с законом тяготения Ньютона, однако в случае электрического взаимодействия могут существовать заряды обоих знаков, а в случае гравитационного – масса имеет только положительную величину. При этом гравитационное взаимодействие намного слабее электрического: для двух электронов на расстоянии 1 см друг от друга сила электростатического взаимодействия будет примерно на 43 порядка сильнее гравитационного.

Определяемое законом Кулона силовое поле консервативно, т.е. всегда выполняется условие rot F = 0, следовательно, существует потенциальная энергия

при этом сила связана с потенциальной энергией как F = −O Ep .

Для того чтобы определить электростатическое взаимодействие между электрическими зарядами и точечным пробным зарядом q, находящимся в точке r, вводят понятия электрического поля и электростатического потенциала, в которых формально отсутствует пробный заряд q. Если в точке r на точечный электрический заряд q действует сила F(r),

14

то напряженность электрического поля определяется как

Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах; они не замкнуты в силу потенциальности электрического поля; не пересекаются ввиду однозначности поля. В электростатике вследствие потенциальности поля

существует электрический потенциал, который связан с напряженностью поля выражением

Для поля и потенциала системы зарядов справедлив фундаментальный принцип суперпозиции, который, как и закон Кулона, является экспериментальным фактом. Электрическое поле и потенциал совокупности N точечных зарядов qi, расположенных в точках ri, выражаются следующими соотношениями:

Важной технической характеристикой электрического поля является электрическое напряжение между двумя точками, которое в потенциальном электрическом поле равно разности потенциалов этих двух точек:

Еще одной важной технической характеристикой, связанной с потенциалом, является электрическая емкость системы. Если на два изолированных металлических тела поместить электрические заряды q1 = +q и q2 = −q, то между телами возникает электрическое напряжение Ue, пропорциональное величине заряда q:

15

где C – электрическая емкость системы. Она зависит от геометрической формы и размеров обоих металлических тел, а также находящейся между ними изолирующей среды. На величину емкости не оказывают влияния величины заряда и напряжения.

1.1.2. Электростатическое поле в вакууме

Уравнение электростатического поля иначе называют теоремой Гаусса для электростатики или третьим уравнением Максвелла. В реальном макроскопическом теле число зарядов столь велико, что можно ввести понятие плотности заряда, используя представление о непрерывном распределении последнего в теле,

Здесь объем 4V физически мал по сравнению с характерными размерами макроскопической системы, но велик по сравнению с микроструктурой тела (межатомными расстояниями).

Для того чтобы записать интегральную форму уравнения поля, найдем поверхностный интеграл от вектора E = qr/4πε0r3 по сфере S , ограничивающей объем V, вокруг точечного заряда q (при этом вектор нормали n = r/r, а элемент поверхности в сферических координатах dS = r2 sin θdθdϕ, dS = dS n):

Z

S

Для упрощения вида этого интеграла вводят понятие вектора электрического смещения, который для вакуума определяется следующим образом:

Тогда, применяя теорему Гаусса для вектора электрического смещения, получаем интегральную форму уравнения электростатического поля

Z Z Z

D · dS = div D(r)dV = ρc(r)dV = q. (1.13)

S V V

16

Здесь q – заряд внутри сферы S . Так как это соотношение справедливо для любой замкнутой поверхности S , ограничивающей объем V, то получаем дифференциальную форму уравнения электростатического поля

С помощью определения потенциала (1.5) можно из выражения (1.14) записать основное уравнение электростатики, которое еще называют

уравнением Пуассона,

Уравнение Пуассона и его частный случай – уравнение Лапласа 4ϕ(r) = 0 дают возможность находить электрическое поле произвольной системы покоящихся зарядов. Общим решением уравнения Пуассона будет следующее выражение:

где интеграл берется по всему пространству. Для частного случая одного точечного заряда можно с помощью специальной функции Дирака или δ- функции получить решение. Для одного заряда q, расположенного в точке r0, положим ρc(r) = qδ(r −r0). Подставим это выражение в (1.15) и найдем

Получим выражение для энергии поля. Энергия кулоновского взаимодействия системы N дискретных зарядов с учетом (1.2) выражается соотношением

где ri j – расстояние между зарядами; ϕi j – потенциал поля заряда q j в точке, где находится qi. Множитель 1/2 связан с тем, что при суммировании каждая пара зарядов встречается дважды. При переходе к

17

непрерывному распределению зарядов выражение (1.18) превращается

Физический смысл этого соотношения несколько иной. В то время как соотношение (1.18) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов, формула (1.19) включает также и собственную энергию каждого из них, т.е. описывает полную энергию, а (1.18) – только часть этой энергии. Преобразуем (1.19):

Для любой ограниченной системы зарядов первый интеграл стремится к нулю при S → ∞, так как потенциал такой системы убывает на больших расстояниях как 1/r, а напряженность – как 1/r2. Подынтегральное выражение второго слагаемого представляет собой плотность энергии электрического поля

Получим выражение для объемной силы. Сила, действующая на точечный заряд в точке r электрического поля E(r),

Тогда объемная сила fc(r), действующая на пространственнораспределенный заряд с плотностью ρc(r), определяется по формуле

1.1.3. Электростатическое поле в проводниках

Внутри проводника (металла) имеются свободные носители заряда, т.е. квазисвободные электроны, с зарядом e¯ и массой m e¯, которые движутся под действием поля E. В металлах, находящихся в нормальном

18

состоянии, на движущийся носитель заряда действует сопротивление трения, которое можно принять пропорциональным скорости V. Дифференциальное уравнение движения носителя заряда имеет вид

dV

e¯E = m e¯ dt + αV.

В электростатике полагается, что носители заряда покоятся, отсюда электрическое поле внутри проводника

Механизм исчезновения поля в проводнике связан со смещением свободных зарядов под действием внешнего поля как раз настолько, чтобы компенсировать внешнее поле. Вследствие (1.24) плотность заряда внутри проводника тоже равна нулю, ρin = 0, а также заряд qin = 0 – проводник квазинейтральный. Избыточные заряды в проводнике могут размещаться только на его поверхности, при этом на поверхности выполняется Ek = 0, E = E. Вследствие этого в электростатике ϕin = ϕs = C , т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Поверхностный электрический заряд определяется уравнением электростатического поля

Z

4qs = D · dS = D · n4S = D 4S .

S

Поверхностная плотность заряда будет определяться электрическим смещением:

1.1.4. Потенциал уединенного заряда в плазме

Плазма представляет собой ионизированный газ, в котором суммарный заряд положительных и отрицательных частиц скомпенсирован. Если обозначить n1 и n2 – число положительных q1 = e¯ и отрицательных q2 = − e¯ зарядов, то условие нейтральности плазмы выглядит следующим образом: n1q1 + n2q2 = 0.

19

Плазма может рассматриваться как идеальный газ с температурой T в случае, если тепловая энергия существенно превышает энергию взаимодействия между зарядами (1.2):

q1q2/4πε0l k T.

Здесь l ≈ N−1/3 – среднее расстояние между ионами; N = n1 + n2 – концентрация плазмы. Таким образом, условие идеальности плазмы выгля-

Кулоновское взаимодействие между заряженными частицами приводит к появлению в объеме среднего электрического поля с потенциалом ϕ¯, который мы оценим. Выделим ион в некоторой точке и найдем полный средний потенциал поля ϕ в окрестности этой точки в объеме dV. При малой концентрации плазмы число частиц в объеме dV определяется распределением Больцмана:

n1dV = A exp −q1ϕ¯ dV, k T

n2dV = B exp −q2ϕ¯ dV. k T

При увеличении температуры T → ∞ вследствие увеличения уровня пульсаций распределения должны переходить в равномерные:

n1dV = n¯1dV, n2dV = n¯2dV.

Тогда

n1dV = n¯1 exp −q1ϕ¯ dV, k T

n2dV = n¯2 exp −q1ϕ¯ dV. k T

Следовательно, в объеме вблизи выбранной точки есть средний заряд

20