Электродинамика сплошных сред

z

b B0 V0

-b V0

Рис. 2.1

то получаем, что ∂zVz = 0. Следовательно, Vz = C . Однако на твердых поверхностях z = ±b выполняется условие прилипания, когда Vz = 0, поэтому Vz = 0 для любого z.

В направлении оси Y задача является однородной, поэтому Vy = 0. Вследствие того что {∂xVx; ∂yVx} = 0, эта компонента скорости является только функцией координаты z, т.е. Vx = Vx(z). Следовательно,

вектор скорости имеет следующие компоненты: V = (Vx(z), 0, 0). Согласно условию задачи на жидкость действует внешнее магнит-

ное поле (B0)z = B0. В данном процессе вследствие действия закона Ома (2.3) возможна генерация электрического поля E = (0, Ey, 0). Добавим внешнее поле в этом же направлении E0 – оно нам понадобится позже. Тогда компонента напряженности электрического поля

Ey(z) = E0 − Vx(z)B0.

Вдоль этого направления по проводящей жидкости будет протекать индуцированный электрический ток плотностью

Взаимодействие этого тока с внешним магнитным полем приведет к генерации электромагнитной силы, имеющей fxem компоненту:

fem = ji × B0 = (σ(E0 − Vx(z)B0)B0, 0, 0).

Таким образом, существенная для нас проекция уравнения НавьеСтокса (2.1) на ось X в данном случае будет иметь следующий вид:

111

После всех преобразований итоговое выражение для скорости, определенное через гиперболические функции, будет иметь следующий вид:

В первом частном случае, когда отсутствует внешнее давление P0 = 0 и внешнее электрическое поле E0 = 0, выражение U0 = 0. Получаем профиль скорости для МГД-течения Куэтта

На рис. 2.2,a показан вид профиля Куэтта для нулевого и ненулевого числа Гартмана. При отсутствии внешнего поля, когда Ha → 0, функции

получается обычное течение Куэтта

VCu(z) = V0 z .

x b

112

Во втором частном случае, когда стенки не двигаются, V0 = 0 и источником течения является внешний перепад давления P0 , 0 (внешнее электрическое поле пока также отсутствует E0 = 0), выражение U0 , 0. Получаем профиль скорости для МГД-течения Гартмана

На рис. 2.2,б показан вид профиля Гартмана для нулевого и ненулевого числа Гартмана. Видно (как и для профиля Куэтта), что при Ha > 0 течение испытывает сопротивление вследствие действия индуцированной электромагнитной силы, причем сопротивление тем больше, чем больше скорость в данной точке.

При отсутствии внешнего поля, когда Ha → 0, разложим функцию гиперкосинуса в ряд и преобразуем U0:

Получаем параболический профиль Пуазейля

2.1.3. Распределение магнитного поля

Как было сказано выше, вследствие взаимодействия поля скорости с внешним магнитным полем в проводящей жидкости генерируется

113

электрическое поле, что приводит к возникновению электрического тока плотностью (2.18). Этот ток согласно закону Ампера (2.5) будет генерировать собственное магнитное поле Bi = (Bx, 0, 0). Для случая µ = 1, E0 = 0 получаем

!

rot Bi = 0, ∂Bx , 0 = σµ0(0, −Vx B0, 0), ∂z

тогда

∂Bi

x = −σµ0Vx B0. (2.26)

∂z

Подставим в выражение (2.26) профиль скорости (2.23) и проинтегрируем по z. Получаем

Для течения Куэтта условие для магнитного поля Bix(z = ±b) = 0 вследствие того, что индуцированный ток в верхней и нижней половинах канала течет в разные стороны и индуцированное им магнитное поле тоже будет «закручено» в разные стороны. Тогда константа в выраже-

Рис. 2.3

Для течения Гартмана условие для магнитного поля Bix(z = 0) = 0 вследствие того, что индуцированный ток будет в центре канала иметь

114

наибольшее значение, и поэтому там эта компонента поля меняет знак. В данном случае магнитное число Рейнольдса Rem = bV0µ0σ = 0, поэтому и константа C = 0. Тогда выражение для магнитного поля будет выглядеть так:

На рис. 2.3 показаны магнитные поля для обоих случаев. Следует отметить, что при Rem 1 генерируемое индуцированное магнитное поле будет много меньше величины внешнего поля, Bi B0. В этом случае этим полем пренебрегают, что и составляет безындукционное приближение.

2.1.4. Гидравлические характеристики течения Гартмана

Из выражения (2.25) можно определить значение средней скорости течения Гартмана:

−b

Если канал имеет ширину a, то значение расхода определяется следующим выражением:

−b

Любая жидкость, протекающая по каналу, испытывает гидравлическое сопротивление, вызываемое потерями за счет вязкости, взаимодействия со стенками, геометрических изменений канала. Это сопротивление характеризуется коэффициентом гидравлического сопротивления канала на единицу его длины. Эта величина имеет важное прикладное значение. При течении жидкости между двумя плоскостями этот коэффициент определяется так:

115

Рассмотрим случай, когда E0 = 0. Это означает, что торцы канала замкнуты между собой через внешнюю цепь, сопротивление которой существенно меньше сопротивления проводящей жидкости. Тогда выражение (2.30) преобразуется к виду

Подставив выражение (2.33) в выражение для гидросопротивления (2.32), получаем

Рассмотрим случай, когда E0 , 0. Это означает, что торцы канала разомкнуты между собой. В этом случае индуцированный ток должен замыкаться внутри канала, и полный ток должен быть равен нулю:

следовательно, E0 = B0hVi. Подставим выражение в (2.21) и получим

116

тогда

Подставив выражение (2.38) в выражение для гидросопротивления (2.32), получаем

При больших числах Гартмана коэффициент сопротивления (2.39)

2.2.МГД-канал

2.2.1. МГД-канал как кондукционная машина

Рассмотрим длинный плоский МГД-канал с электропроводной жидкостью (рис. 2.4). Жидкость протекает со скоростью V. На канал действует магнитное поле B. Его боковые стенки являются электродами, напряженность приложенного электрического поля равна E. Пренебрегая силами трения, для скорости можно записать уравнение

117

В случае когда поля имеют компоненты V = (V, 0, 0), E = (0, E, 0),

На больших временах t ρw/σB2 скорость жидкого металла приближается к предельному значению, называемому скоростью дрейфа, VD = E/B, которое в векторном виде выглядит следующим образом:

В общем случае на жидкость в канале действует также объемная сила неэлектромагнитного происхождения, например сила, вызванная перепадом давления f = −OP, тогда в правую часть уравнения (2.41) эта сила добавится в качестве слагаемого, и выражение для скорости (2.43) будет следующим:

Для МГД-машин можно с помощью рис. 2.4 ввести следующую классификацию.

I.МГД-насос – это преобразователь электромагнитной энергии

вмеханическую. В этом случае дрейф опережает движение и поле увлекает жидкость. Сила f играет роль сопротивления, которое преодолевает электромагнитная сила, т.е. σEB > f или E/B > f /σB2. Тогда для этого случая

118

II. МГД-вентиль – режим работы этой машины характеризуется тем, что электроды имеют одинаковый потенциал, т.е. соединены электрически, внешнего электрического поля нет и понятие дрейфовой скорости не определено. Скорость движения определяется из соотношения σB2V = f , отсюда скорость определяется балансом сил

V = f .

σB2

III. МГД-генератор – работает, когда E < 0, при этом сила, действующая на единичный объем, должна удовлетворять условию f > −σEB + VDσB2. В этом случае движение опережает дрейф, кинетическая энергия движения переходит в электромагнитную и

2.2.2.Интегральные соотношения для кондукционного МГД-канала

Рассмотрим течение электропроводной жидкости в канале длиной l, толщиной 2b и шириной a (рис. 2.4). При этом пусть толщина канала будет гораздо меньше его ширины и длины, 2b << {a; l}. Канал имеет неподвижные стенки, а также находится под действием внешнего магнитного поля B = (0, 0, B0).

Формирование профиля скорости течения обусловливается в первую очередь трением жидкости о твердые стенки, вблизи которых выполняется условие «прилипания». Поэтому основную роль в формировании неоднородного по сечению канала профиля будут играть горизонтальные стенки канала, так как их площадь много больше площади вертикальных стенок. Таким образом, профиль скорости течения проводящий жидкости будет описываться Гартмановским профилем (2.25):

V(y, z) = VxHa(z) ≡ V.

Рассмотрим гидравлические характеристики такого МГД-канала для различных условий его работы. Считаем, что канал включен во внешнюю гидравлическую цепь, в которой могут быть источники давления – перепады высоты столба жидкости, источники тепла или насосы. Вследствие их действия на входе канала перепад давления P1 будет

119

больше, чем на выходе P2, и градиент давления будет описываться положительной величиной P0 > 0. Снижение давления вдоль МГД-канала обусловлено действием силы трения и действием магнитного поля.

Возможна другая ситуация, когда внешних источников давления

вгидравлической цепи нет и жидкость в канале будет покоиться. Она придет в движение в случае генерации в канале электромагнитной силы, в этом случае канал будет работать как насос и давление на выходе канала будет больше, чем на входе. В этом режиме P0 < 0.

Пусть горизонтальные стенки канала не проводят электрический ток, а вертикальные стенки являются проводниками, соединенными

вэлектрическую цепь, в которую последовательно соединены сопротивление Re и внешнее ЭДС εe (рис. 2.4). По этой цепи может протекать ток силой I. Электрическое сопротивление самого канала в этой цепи

Rch = a .

а закон Ома в дифференциальной форме будет выглядеть следующим

образом:

jy = σ εe − IRe − V B0! . (2.49) a

Проинтегрируем выражение (2.49) по высоте канала и получим закон Ома в интегральной форме. Учитывая определение силы тока I = l R−bb jydz и определение расхода (2.31), получим первое интегральное соотношение для МГД-канала:

где R f = Re + Rch – полное сопротивление электрической цепи. Преобразуем выражение для расхода (2.31), расписав выражение

для U0 с учетом выражения для напряженности (2.48), и получим

120