Электродинамика сплошных сред

2.6.7. Неустойчивости линейного пинча

Самым простым видом неустойчивости этой структуры являются «перетяжки» или «сосисочная неустойчивость». Возникает в силу того, что при возмущении поперечное сечение для тока плазмы начинает изменяться, вследствие чего меняется плотность тока и обжимающая электромагнитная сила. При уменьшении площади сечения электромагнитная сила возрастает и стремится дальше сжимать плазму в этом месте, уменьшая сечение. В результате этого шнур распадается на фрагменты и исчезает. Для борьбы с этим типом неустойчивости нужно создать и «вморозить» продольное магнитное поле Bz в плазму. Тогда поток продольного магнитного поля должен сохраняться:

Qm = πR20 Bz = C .

Для реализации этого процесса необходимо выполнение следующего условия, блокирующего появление перетяжек:

Bϕ Bz = √ .

2

Следующим видом неустойчивости является «змейка» или неустойчивость токового канала к изгибу. При изгибе магнитные силовые линии сгущаются внутри изгиба (рис. 2.29). Изгибающей деформации выгодно расти из-за того, что внутри изгиба усиливается электромагнитная сила и увеличивается возмущение.

Pm1

H jz

Pm2 >Pm1

Рис. 2.29

Для стабилизации в данном случае плазму заключают внутрь массивного медного кожуха. При быстром изгибе магнитное поле за счет

181

скин-эффекта (генерации тока в кожухе) не успевает проникнуть в кожух и отбрасываются. Поэтому силовые линии поля зажаты между кожухом и плазмой. Возникает сила, стремящаяся вернуть равновесие. Этим методом можно стабилизировать только быстрый изгиб. Медленный изгиб стабилизируется введением на периферии кожуха проводников с током, называемых стержнями Иоффе.

Еще одним видом является винтовая неустойчивость. Вследствие наличия Bz и Bϕ компонент магнитного поля изгибная неустойчивость может привести к винтовой, так как суммарные силовые линии – винтовые. Плазменный шнур стремится занять такое положение, когда электромагнитная сила исчезает. Это происходит в том случае, если вектор плотности тока сонаправлен с вектором магнитного поля, что и порождает винтовую конфигурацию плазмы.

Пусть плазменный шнур имеет длину L (рис. 2.30) и радиус R0. Тогда шаг винтовой линии

h = 2πR0 Bz . Bϕ

Условием отсутствия винтовой неустойчивости является h > L – при этом вдоль шнура не сможет уложиться ни один шаг винта. Это достигается при очень большой компоненте магнитного поля Bz.

h

L

Рис. 2.30

В тороидальной конфигурации плазмы условие устойчивости будет выражаться в виде критерия Шафранова-Крускала:

182

где R1 – большой радиус тора. Компонента Bϕ магнитного поля создается текущим по шнуру током,

Bϕ = I .

2πR0

Тогда условие устойчивости к данному типу возмущений, называемое «предел по току», будет выглядеть следующим образом:

2πR2

I < Imax = 0 Bz. (2.114)

R1

2.6.8. Установки для удержания плазмы

Самым простым видом установки для удержания плазмы является пробкотрон. Это открытая линейная плазменная ловушка с магнитными зеркалами или пробками. В пробкотроне (который может представлять собой, например, трубу внутри соленоидальной катушки) создается продольное магнитное поле, причём на торцах трубы плотность витков обмотки больше и магнитное поле выше, чем в центре. Заряженные частицы плазмы, двигаясь вдоль магнитных силовых линий, отражаются от областей более сильного поля – пробок (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Комбинацией магнитных зеркал можно создавать различные виды ловушек. Если магнитные зеркала направить встречно, то получившаяся конструкция называется антипробкотрон (см. рис. 2.31). В этой установке вогнутость магнитных силовых линий существенно повышает устойчивость плазмы, и она фокусируется в центре ловушки.

183

Рис. 2.32

Следующей по сложности установкой является стелларатор – замкнутая магнитная ловушка для удержания высокотемпературной плазмы (рис. 2.32). В стеллаторе магнитное поле для удержания плазмы полностью создается внешними катушками, что, помимо прочего, позволяет использовать его в непрерывном режиме. Его силовые линии подвергаются так называемому вращательному преобразованию, в результате которого эти линии многократно обходят вдоль тора и образуют сложную систему замкнутых вложенных друг в друга тороидальных магнитных поверхностей.

Вращательное преобразование силовых линий может быть осуществлено путём геометрической деформации тороидального соленоида (например, скручиванием его в «восьмерку») и с помощью винтовых проводников, навитых на тор. Для создания такой конфигурации магнитного поля необходимо использовать катушки сложной формы, производство которых является технически сложным процессом. Стелларатор не имеет азимутальной симметрии, магнитная поверхность в нем имеет форму «мятого бублика».

Самой перспективной и совершенной на данный момент установкой для удержания плазмы является токамак (ТОроидальная КАмера с МАгнитными Катушками) – тороидальная установка для магнитного удержания плазмы (рис. 2.33). Плазма удерживается не стенками камеры, которые не способны выдержать её температуру, а специально создаваемым магнитным полем.

Особенностью токамака является использование электрического тока, протекающего через плазму для создания полоидального поля, необходимого для равновесия плазмы. Этим он отличается от стелларатора, в котором и тороидальное и полоидальное поле создается с помощью магнитных катушек.

184

Токамак представляет собой тороидальную вакуумную камеру, на которую намотаны катушки для создания (тороидального) магнитного поля. Из вакуумной камеры сначала откачивают воздух, а затем заполняют её смесью дейтерия и трития. Затем с помощью индуктора в камере создают вихревое электрическое поле. Индуктор представляет собой первичную обмотку большого трансформатора, в котором камера токамака является вторичной обмоткой. Электрическое поле вызывает протекание тока и зажигание в камере плазмы.

Рис. 2.33

Протекающий через плазму ток выполняет две задачи: нагревает плазму так же, как нагревал бы любой другой проводник (омический нагрев), и создает вокруг себя магнитное поле. Это магнитное поле называется полоидальным (то есть направлено вдоль линий, проходящих через полюсы сферической системы координат).

Магнитное поле сжимает протекающий через плазму ток. В результате образуется конфигурация, в которой винтовые магнитные силовые линии «обвивают» плазменный шнур. При этом шаг при вращении в тороидальном направлении не совпадает с шагом в полоидальном направлении. Магнитные линии оказываются незамкнутыми, они бесконечно много раз закручиваются вокруг тора, образуя так называемые «магнитные поверхности» тороидальной формы.

Полоидальное поле необходимо для стабильного удержания плазмы в такой системе. Поскольку оно создается за счёт увеличения тока

185

в индукторе, а он не может быть бесконечным, время стабильного существования плазмы в классическом токамаке ограниченно. Для преодоления этого ограничения разработаны дополнительные способы поддержания тока. Для этого может быть использована инжекция в плазму ускоренных нейтральных атомов дейтерия или трития или микроволновое излучение.

Для производства электроэнергии энергетически выгодно, если выделяющаяся энергия превышает затраченную более чем в пять раз. Для реализации УТС в токамаке необходимо достижение температуры T > 108 К в течение времени t > 1 с. В одной из первых установок «Токамак-3» (СССР, 1968 г.) была достигнута температура

T5 · 106 К, а в современной «Токамак-10» T 1, 2 · 107 К.

Вразных странах существует множество установок Токамак. Так, на установках TFTR (США), JET (Англия), JT-60 (Япония) была осуществлена научная демонстрация УТС в лабораторных условиях.

Следующим шагом развития в этом направлении является проект ITER (International thermonuclear experimental reactor), который планируется построить и запустить в середине века в Кадараше (Франция). Время жизни плазмы в нем предполагается больше 400 с, отношение энергий будет превышать 10, мощность 500 МВт, радиус плазмы R0 = 6, 2 м, ток в плазме I = 15 МА. При работе в течение года и выработке указанной мощности потребление трития составит около 20 кг.

2.7.Генерация магнитного поля движущейся проводящей средой

2.7.1. Теорема Альфвена

Уравнение переноса магнитного поля при больших магнитных числах Рейнольдса Rem 1 выглядит следующим образом:

Выражение справа (по аналогии с гидродинамикой) называют конвективным слагаемым. Конечно, в данном случае затухание поля за счет

186

диффузии тоже будет происходить, но мы будем интересоваться процессами переноса магнитного поля за время, значительно меньшее времени затухания.

B(t)

V

V

dl

Рис. 2.34

Теорема Альфвена заключается в следующем: магнитный поток через любой замкнутый контур, движущийся вместе с бесконечно проводящей жидкостью, постоянен. Если контур l, на который натянута область S , движется со скоростью V через область с переменным по времени магнитным полем B(t) (рис. 2.34), то изменение магнитного потока Qm через него будет определяться двумя слагаемыми,

Первое слагаемое описывает изменение потока через контур за счет изменения самого поля во времени, а второе – за счет перемещения через магнитное поле контура, который во время движения «заметает» площадку dl × V. При этом контур во время движения не деформируется. Пользуясь теоремой Стокса, получаем

Этой теоремой описывается явление «вмороженности» магнитного поля в среду при Rem 1, когда магнитное поле переносится потоком

187

жидкости. Физически же явление «вмороженности» заключается в том, что при движении среды поперек магнитного поля B в среде индуцируются вихревые токи, поле которых, складываясь с первоначальным, так изменяет его, что силовые магнитные линии смещаются вместе с движущейся средой.

2.7.2. Теорема Валена

Формулируется теорема Валена следующим образом: в идеальном проводнике все жидкие частицы, первоначально находившиеся на магнитной силовой линии, продолжают оставаться на ней. Таким образом, всякое движение, растягивающее силовые линии, которые полагаются движущимися вместе с проводником, усиливает магнитное поле. Для доказательства рассмотрим уравнение переноса поля без учета диффузии

∂B

∂t = rot [V × B] = (BO)V − (VO)B − B div V.

Дивергенцию скорости можно выразить из уравнения неразрывности

∂ρw div (ρwV) = ρw div V + V · Oρw = − ∂t .

Подставим ее в уравнение переноса поля, разделим все на плотность ρw,

Преобразуем далее:

188

Пусть dS – нормальное поперечное сечение магнитной трубки, тогда заключенный в ней магнитный поток BdS должен оставаться постоянным, когда трубка перемещается вместе с веществом. Если dl – расстояние вдоль трубки между двумя соседними поперечными сечениями, то масса ρwdldS , заключенная между этими сечениями, тоже остается постоянной при перемещении трубки. Следовательно, в процессе движения B ρwdl, так что если силовые линии магнитного поля растягиваются, то это приводит к пропорциональному увеличению величины B. Если вектор, соединяющий две соседние точки силовой линии, обозначить kB, то величина k = C при переносе этих точек вместе с веществом. При постоянной плотности увеличение длины l приводит к увеличению магнитного поля B.

2.7.3. Волны Альфвена

Рассмотрим явление, в котором ярко проявляется действие теоремы Валена. Пусть идеально проводящая покоящаяся жидкость помещена в однородное магнитное поле H0 = (H0, 0, 0). Пусть на поле оказалось наложено малое поперечное возмущение h = (0, h(x, t), 0), при этом суммарное поле H = H0 + h (рис. 2.35).

y

h(x,t)

x

H0

Рис. 2.35

Вследствие вмороженности поля возмущение вызывает перемещение проводящей жидкости вдоль оси Y, т.е. V = (0, v(x, t), 0). Вследствие

189

Запишем уравнение Навье-Стокса для идеальной жидкости (когда 4V = 0) в случае отсутствия градиента давления (OP = 0) и малой скорости, когда можно перенебречь слагаемыми второго порядка малости (т.е. (VO)V = 0). Получаем

Далее сделаем следующие преобразования. Продифференцируем уравнение (2.118) по времени, а уравнение (2.119) по координате. По-

Теперь продифференцируем уравнение (2.118) по координате, а уравнение (2.119) по времени. После преобразований получим

Получили два волновых уравнения, описывающих распространение волны возмущения магнитного поля h и поля скорости v со скоростью

190