Электродинамика сплошных сред

2.3.3. Магнитное поле тока при наличии ферромагнетиков

Как было сказано выше, если на пластину действует внешнее однородное магнитное поле Be, то электромагнитная сила будет потенциальна и направлена перпендикулярно векторам jp и Be.

Если пластина находится в парамагнитной среде, то магнитное поле тока Bi будет представлять собой замкнутые линии, «обвивающие» пластину (рис. 2.6,а). Плоскости, «натянутые» на эти линии, будут ортогональны вектору плотности тока. При взаимодействии этого поля с током jp также возникает электромагнитная сила, которая направлена в центр проводника и действует «обжимающим» образом. Для случая реальных твердых проводников силы тока, который не расплавит проводник, недостаточно для того, чтобы эта электромагнитная сила заметно его деформировала. Таким образом, действие этой силы на проводник в данном случае скомпенсировано. Если парамагнитная пластина полностью находится в ферромагнитной среде, у которой магнитная проницаемость µF µP, то линии магнитного поля тока будут располагаться преимущественно в ферромагнетике и в проводнике электромагнитная сила будет стремиться к нулю (рис. 2.6,б).

Рис. 2.6

Поместим пластину в зазор между ферромагнитными массивами, которые замыкаются с одной стороны. Безразмерную величину зазора обозначим δ (рис. 2.7). Тогда магнитное поле тока можно определить с помощью интегральной формулировки закона Ампера (2.56)

Z Z

Hi · dL = j · dS,

L S

131

где L – магнитная силовая линия; S – поверхность, натянутая на эту линию. Напряженность магнитного поля тока будет одинакова в любой среде, а индукция будет меняться, так как в магнетиках будет происходить намагничивание. Свяжем начало координат с краем пластины и разобьем силовую линию на четыре отрезка – три из них будут располагаться в ферромагнетике, а четвертый – в проводнике, находящемся в зазоре. Тогда можно записать

Рис. 2.7

Такой переход возможен потому, что B1 является полем рассеяния поля B2, индукция которого определяется намагниченностью ферромагнетика. Это магнитное поле B2 «замыкается» в зазоре по парамагнетику, поэтому B1 ≈ B2. Магнитное поле тока в проводнике определяется

δ

На одном конце пластины магнитное поле тока будет максимальным:

а на противоположном конце пластины (вблизи перемычки между ферромагнитными средами) оно будет нулевым.

Теперь поместим пластину в зазор между ферромагнитными массивами без перемычек по краям (рис. 2.8). Поместим начало координат в центр пластины. Аналогично рассуждая, можно показать, что на

132

краях пластины магнитное поле будет максимальным, противоположным по знаку:

а в центре пластины оно будет равно нулю.

y

Рис. 2.8

Пусть горизонтальные поверхности проводника не плоскопараллельны, а сам проводник помещен в зазор между ферромагнитными пластинами без перемычек (рис. 2.8). Пусть верхняя поверхность описывается безразмерной функцией h(x, y). Чтобы найти магнитное поле, необходимо вначале найти линию L0m(x), где магнитное поле тока является нулевым. Вследствие однородности плотности тока ее положение

133

определяется равенством площадей проходного сечения слева и справа от нее. Это положение определяется минимизацией функционала:

Магнитное поле тока в данном случае определяется по формуле

L0m(x)

y

Во всех рассмотренных случаях электромагнитная сила имеет одну компоненту fyem = jx Bz = jB. Она является потенциальной, если величина зазора между ферромагнитными массивами δ(x, y) и функция, описывающая высоту поверхности проводника, не зависят от x, т.е. δ(x, y) = δ(y) и h(x, y) = h(y). Если функция h зависит от x, то проходное поперечное сечение для тока будет изменяться и величина плотности тока будет зависеть от x. С другой стороны, если функция δ будет зависеть от x, то магнитное поле тока будет тоже зависеть от x. Обе эти величины – и плотность тока и магнитное поле – определяют электромагнитную силу. Поэтому в обоих случаях возникает вихревая компонента электромагнитной силы.

Все описанные случаи справедливы для постоянного и для переменного тока, однако в случае переменного тока возникают свои дополнительные особенности.

2.3.4. Переменный ток

При протекании переменного тока по проводнику в нем вследствие действия скин-эффекта линии тока будут искажаться, стремясь вытеснить ток к границам проводника. Однако заметное искажение будет происходить при больших частотах переменного тока или большой проводимости проводника. Для наиболее употребительных частот 50 − 60 Гц и проводников с проводимостью σ 106 − 107 См этот эффект незначителен.

134

Если рядом с проводником находится ферромагнитная среда, то ситуация со скин-эффектом меняется. Рассмотрим проводящую пластину, помещенную в зазор δ(x) между ферромагнитными пластинами (рис. 2.9). Если δ(x) = C , то согласно формуле для магнитного поля (2.62) электромагнитная сила будет направлена от краев пластины к оси X и иметь только fy компоненту.

0

f

Рис. 2.9

Разложим вектор плотности тока на потенциальную и вихревую составляющие (2.55). Потенциальная часть поля плотности тока jp определяется с помощью уравнения Лапласа (2.58). Эта часть тока генерирует свое потенциальное магнитное поле Bp, определяемое по закону Ампера (2.56). В силу того что эта часть поля не зависит от времени, второе уравнение Максвелла использовать здесь нет необходимости.

Вихревая часть поля плотности переменного электрического тока будет генерировать дополнительное переменное магнитное поле. Связь между ними в безразмерном виде описывается уравнением

Зависимость переменных величин от времени опишем с помощью следующего представления величин:

jv(x, y, t) = Re (jAv(x, y) e i ωt),

Bv(x, y, t) = Re (BAv(x, y) e i ωt).

135

Поле комплексной амплитуды магнитной индукции BAv(x, y) определяется через поле плотности тока j = jp(x, y) + jAv(x, y) с помощью закона Ампера описанным в предыдущем параграфе способом. Условно запишем эту связь в следующем виде:

BAv(x, y) e i ωt = B(j; x, y, t) e i ωt.

Подставив это выражение в (2.64) и сократив экспоненты, получим

Для решения этого уравнения приравниваются выражения для действительных и мнимых частей:

4Re (ψe) = S e Im (B),

4Im (ψe) = −S e Re (B).

После вычислений электромагнитная сила

fem = Re [(jAv + jp) × (BAv) ] + Re [(jAv + jp) × (BAv) e2 i ωt]. (2.68)

Здесь звездочка показывает комплексное сопряжение. Второе слагаемое описывает пульсацию электромагнитной силы с удвоенной частотой.

В качестве примера рассмотрим пластину, по которой течет ток. Вначале поместим пластину в зазор между ферромагнитными пластинами (см. рис. 2.9), причем функция зазора будет зависеть от x:

136

Если постоянный ток течет по пластине, то магнитное поле тока будет линейно спадать под сердечником от максимума на краю его полюсов до нуля у перемычки. При этом электромагнитная сила имеет только одну компоненту fy, направленную к середине ферромагнитных пластин. При протекании переменного тока переменное собственное магнитное поле тока начинает генерировать добавочное вихревое поле тока, причем согласно уравнению (2.67) это вихревое поле будет «закручено» вокруг максимального значения магнитного поля тока. Это значение находится вблизи полюсов пластин (рис. 2.9). Касательные векторы к линиям тока электрического тока представляют собой вектора плотности вихревого тока. Суммарное поле плотности тока будет иметь тенденцию «притягиваться» к той области, где магнитное поле имеет наибольшее значение. В этом случае появляются дополнительные fx компоненты, но они не оказывают общее действие на проводник, так как находятся в равновесии.

Теперь рассмотрим пластины, у которых зазор вдоль оси X линейно возрастает до какого-то значения (рис. 2.10):

137

В данном случае наибольшее значение магнитного поля будет у того края полюса, у которого зазор наименьший. В сторону этой области линии тока электрического тока будут искажаться наиболее сильно. В этой области fx компонента силы будет больше, чем в области другого края полюса, где ферромагнитный зазор меньше и линии тока искажаются слабее. Компоненты силы fx оказываются не сбалансированными, и в пластине возникает компонента электромагнитной силы, направленная вдоль вектора плотности электрического тока. В данном случае эффект вытеснения линий тока является аналогом скин-эффекта, а в рассмотренном примере проявляются одновременно и кондукционный (см. рис. 2.10,а), и индукционный (см. рис. 2.10,б) механизмы генерации электромагнитной силы.

2.3.5.Индукционный механизм генерации электромагнитной силы

Рассмотрим индукционный механизм генерации электромагнитной силы. Пусть на пластину действует внешнее переменное магнитное поле Be(x, y, t) = (0, 0, Be) в локальной области плоскости (рис. 2.11). Это переменное поле будет генерировать вихревой электрический ток jv(x, y, t) = ( jx, jy), вектор которого лежит в плоскости слоя. Во-первых, этот ток будет взаимодействовать с исходным переменным током, что приведет к генерации электромагнитной силы, направленной к центру области, где действует внешнее поле. Как и в предыдущем случае, переменные магнитное поле и электрический ток будут синфазны, что является условием генерации силы. При этом вектор электромагнитной силы будет также лежать в плоскости слоя. Во-вторых, вихревой переменный ток, в свою очередь, будет генерировать собственное переменное магнитное поле Bi(x, y, t) = (0, 0, Bi), которое согласно правилу Ленца направлено в сторону ослабления внешнего поля. Используя уравнение Максвелла (2.57) и вводя для индуцированного электрического тока функцию тока ψe (2.66), получим уравнение

138

y

V

Рис. 2.11

Используя закон полного тока, запишем связь между функцией тока и индуцированным магнитным полем. Представим зависимость от времени функции тока переменного индуцированного электрического тока и суммарного переменного магнитного поля как

ψe(x, y, t) = Re (ψeA(x, y) e i ωt),

Bv(x, y, t) = Re (BAv(x, y) e i ωt).

После их подстановки в (2.69) получаем уравнение для функции тока электрического тока, аналогичное уравнению (2.67):

C помощью описанной процедуры в пластине можно генерировать электромагнитные силы, направленные к центру области действия магнитного поля. Внешнее переменное поле можно создать с помощью индуктора, представляющего собой ферромагнитный С-образный сердечник, на котором располагаются катушки подмагничивания. Когда по ним течет ток, генерируется магнитное поле, и ферромагнетик начинает намагничиваться, создавая добавочное поле. Это переменное поле в неферромагнитном зазоре и действует на помещенную в него пластину. При этом суммарное действие сил на пластину будет равно нулю, так как силы сбалансированны.

Для того чтобы создать несбалансированную fx компоненту электромагнитных сил, используют несколько индукторов, которые ставят

139

рядом и подключают в трехфазную электрическую сеть особым образом. Суммарное внешнее поле определяется следующим выражением:

3N

X

Be = (Be)k e i (ωt+φk ), k=1

где (Be)k – магнитное поле, создаваемое индуктором номер k; φk – сдвиг фазы магнитного поля соответствующего индуктора, N – число пар индукторов. Для трехфазной сети число индукторов должно быть кратно трем. Например, для шести индукторов подключение следующее: сначала включают первый и четвертый, затем – второй и пятый, затем – третий и шестой. Магнитное поле как-будто бежит по индукторам.

При этом происходит следующее. Электрический ток, генерируемый одним индуктором, взаимодействует с магнитным полем другого индуктора, и происходит генерация fx компоненты электромагнитной силы вдоль канала. И таким образом одна за другой каждая пара индукторов генерирует силу в плоскости канала. Описанный механизм имеет широкое применение в технике и называется бегущим магнитным полем.

2.3.6.Бегущее магнитное поле над металлическим полупространством

Рассмотрим генерацию электромагнитной силы в металлическом полупространстве z > 0 с проводимостью σ с помощью линейного индуктора бегущего поля. Металл движется в направлении оси X со скоростью V. Индуктор создает в металле бегущее магнитное поле Hx = H0 exp [ i (ωt − αx)], где H0 = B0/µ – амплитудное значение напряженности поля; ω – частота электрического тока; α – волновое число в направлении оси X, которое определяет полюсное расстояние индуктора τ = π/α, т.е. расстояние между соседними полюсами.

Магнитная проницаемость среды в данном случае характеризует связь между переменной составляющей H и переменной индукцией B, возникающей под действием этого поля в среде. Для описания сдвига фаз между индукцией и гармонически изменяющейся напряженностью поля используют величину комплексной магнитной проницаемости,

140