Электродинамика сплошных сред

где γ = Ha /( Ha − th Ha ). Теперь подставим выражение для силы тока I, полученное из формулы (2.50), тогда второе интегральное соотношение для МГД-канала будет выглядеть следующим образом:

2.2.3. Кондукционные МГД-насос и МГД-двигатель

Если в электрической цепи ЭДС εe > 0, то ток, текущий по каналу, будет взаимодействовать с внешним магнитным полем, в результате чего

вканале возникнет электромагнитная сила f1em = ( f1em, 0, 0), направленная вдоль оси x и равная f1em = σεe B0/a. Предположим, что внешний перепад давления, действующий на жидкость в канале, отсутствует. Тогда

вканале действие силы будет характеризоваться внутренним градиентом давления Pi = (P1 − P2)/l. Причем этот градиент будет отрицательным, так как на выходе из канала давление будет больше, чем на входе, и канал будет работать как МГД-насос. Эта сила вызовет течение проводящей жидкости по каналу вдоль оси x, которое будет характеризоваться расходом Q. Для случая большого внешнего магнитного поля, когда Ha 1, получаем из (2.51) выражение для генерируемого перепада давления:

Здесь сила f2em = ( f2em, 0, 0) тоже имеет только x компоненту, равную f2em = −σB20Q/2ab. Эта сила направлена против течения проводящей жидкости и является индуктивным сопротивлением, обуславливающим формирование профиля скорости Гартмана.

Из-за перепада давления Pi в канале начинает течь проводящая жидкость с расходом Q. В стопорном режиме – когда канал перекрыт на выходе, – создается максимально возможный перепад давления:

121

В случае когда насос полностью компенсирует силу трения, возникающую в канале, перепад давления Pi = 0. В этом случае достигается наибольшее значение расхода:

Qmax = 2bεe .

B0

МГД-насосы, основанные на описанном принципе, широко применяются для бесконтактного управления потоком расплавленного металла. В таком насосе отсутствуют механические движущиеся части, нет уплотнения для предотвращения протекания. Основным его преимуществом является простота изготовления, надежность и простота замены рабочего канала. Основной проблемой такой конструкции является обеспечение надежного электрического контакта между стенкой канала и расплавленным металлом. Кроме того, при пропускании большого электрического тока через канал его магнитное поле начинает ухудшать работу устройства – этот эффект называется реакцией «якоря». Поэтому выбор рациональной конструкции и подбор параметров существенно влияет на производительность устройства.

Мы рассмотрели случай, когда насос закреплен относительно земли неподвижно, а проводник им перемещается. Возможна обратная ситуация, когда проводящая жидкость условно неподвижна относительно земли, а конструкция с МГД-насосом перемещается относительно жидкости. Такая ситуация реализуется в проектах МГД-двигателей для морского подводного судна. В качестве проводящей жидкости выступает морская вода, представляющая собой слабый электролит. Основной проблемой реализации этой идеи является малая величина электрического тока, которую можно пропускать по морской воде, и при которой процесс газоообразования вследствие электролиза является допустимым. Для генерации необходимой величины электромагнитной силы нужно использовать громоздкие источники сильного магнитного поля. В последнее время вследствие совершенствования сверхпроводящих обмоток таких электромагнитов описанная идея двигателя представляется весьма перспективной.

122

2.2.4. Кондукционные МГД-вентиль, расходомер и генератор

Если внешняя электрическая цепь замкнута накоротко и εe = 0, то индуцированный вихревой электрический ток будет течь по этой замыкающей шине вне канала, причем ее сопротивление может быть во много раз больше сопротивления проводящей жидкости в канале, т.е. Re → 0. В этом случае гидравлическое сопротивление канала определяется по формуле (2.36) и прямо пропорционально квадрату магнитного поля. Изменением величины внешнего поля можно плавно дросселировать поток расплавленного металла бесконтактным образом. В этом случае жидкость, текущая с расходом Q в результате действия внешнего источника, начинает испытывать электромагнитное сопротивление течению, определяемое перепадом давления:

В случае разомкнутого канала электрическое сопротивление внешней электрической цепи становится бесконечным, Re → ∞ и индуцированный вихревой электрический ток будет замыкаться в МГД-канале по проводящей жидкости. Гидравлическое сопротивление будет определяться по формуле (2.39) и будет прямо пропорционально первой степени магнитного поля. Оно меньше, чем в предыдущем случае, а электромагнитное давление определяется так:

Если дополнительно подключить в электрическую цепь источник тока, но при этом ток направить так, чтобы электромагнитная сила действовала против внешнего течения, то теоретически можно полностью остановить поток. Это соответствует случаю, когда МГД-насос включен в противоположном направлении и величина Pimax полностью компенсирует то внешнее давление P0, которое является источником течения жидкости с расходом Q. Практически же полностью затормозить жидкость сложно вследствие неустойчивости процесса.

Если внешний источник электрического тока отсутствует, то по формулам (2.48) и (2.50) можно получить выражение для напряженности электрического поля, образующегося между вертикальными

123

Если к этим стенкам подключить вольтметр с большим сопротивлением Re → ∞, то можно измерить разность потенциалов:

Ue = aE = B0Q. 2ab

Этот способ используется для бесконтактного измерения расхода электропроводящих сред.

Если в качестве внешнего сопротивления Re будет выступать потребитель электроэнергии, то данный канал будет работать в качестве МГД-генератора. Рабочим телом в МГД-генераторе обычно служит электропроводный газ – плазма, представляющая собой квазинейтральную совокупность ионов, электронов, нейтральных атомов или молекул. Газ превращается в плазму при его ионизации.

В МГД-установках открытого цикла рабочим телом является плазма продуктов сгорания органических топлив. Теоретическая температура горения большинства органических топлив в атмосферном воздухе не превышает 2300 К, что явно недостаточно для термической ионизации. Поднять температуру горения позволяет предварительный подогрев воздуха и обогащение воздуха кислородом.

Для того чтобы получить плазму с электрической проводимостью не ниже 10 См/м, в продукты сгорания вводят вещества с возможно более низким потенциалом ионизации, так называемую ионизирующую присадку. Наименьший потенциал ионизации имеет цезий. Присадка должна быть по возможности дешевой, ибо несмотря на то, что в схемах МГД-установок открытого цикла ее извлекают из продуктов сгорания, регенируют и вновь пускают в дело, некоторое количество ее неминуемо теряется. То количество присадки, которое все же выбрасывается с дымовым газом, не должно оказывать вредного воздействия на окружающую среду. Присадка не должна воздействовать на элементы конструкции МГД-установки, она должна быть технологичной, ввод и вывод ее – достаточно простыми. Исходя из приведенных причин для МГД-установок открытого цикла чаще всего в качестве присадки применяются соединения калия.

124

Источником плазмы с температурой 3000 К в первом МГДгенераторе, построенном в США в 1959 г., служил плазмотрон, работавший на аргоне с присадкой щелочного металла для повышения степени ионизации газа. Мощность генератора составляла 11,5 кВт. К середине 60-х гг. мощность МГД-генераторов на продуктах сгорания удалось довести до 32 МВт («Марк-V», США). В СССР первая лабораторная установка «У-02», работавшая на природном топливе, была создана в 1965 г. В 1971 г. была пущена опытно-промышленная энергетическая установки «У-25», имеющая расчетную мощность 20 – 25 МВт.

Основное преимущество МГД-генератора – отсутствие в нём движущихся узлов или деталей, непосредственно участвующих в преобразовании тепловой энергии в электрическую. Это позволяет существенно увеличить начальную температуру рабочего тела и, следовательно, КПД электростанции. В сочетании с паросиловыми установками МГДгенератор позволяет получить большие мощности в одном агрегате, до 1000 МВт.

Теоретически, существуют три направления промышленного применения МГД-генераторов:

•тепловые электростанции с МГД-генератором на продуктах сгорания топлива (открытый цикл); такие установки наиболее просты

иимеют ближайшую перспективу промышленного применения;

•атомные электростанции с МГД-генератором на инертном газе, нагреваемом в ядерном реакторе (закрытый цикл); перспективность этого направления зависит от развития ядерных реакторов с температурой рабочего тела свыше 2000 K;

•циклы с МГД-генератором на жидком металле, которые перспективны для атомной энергетики и для специальных энергетических установок сравнительно небольшой мощности.

Энергетические установки с МГД-генератором могут применяться как резервные или аварийные источники энергии в энергосистемах, для бортовых систем питания космической техники, в качестве источников питания различных устройств, требующих больших мощностей на короткие промежутки времени (например, для питания электроподогревателей аэродинамических труб и т. п.).

125

2.2.5. Поведение включения в МГД-канале

Если ввести в проводящую жидкость, находящуюся в МГД-канале, включение в виде небольшой частицы с электропроводностью σp, отличной от электропроводности жидкости σ, то она будет испытывать силовое воздействие. Предположим, что частица мала и не вызывает ощутимого движения жидкости в масштабе канала, что она взвешена – т.е. имеет одинаковую с жидкостью плотность. Пусть вдоль МГД-канала течет ток, а поперек канала действует магнитное поле. Тогда на непроводящую частицу будет действовать электромагнитный аналог архимедовой силы и она переместится в направлении против действия электромагнитной силы. Если электропроводность частицы больше, чем у жидкости, то электромагнитная сила будет действовать на нее сильнее, чем на жидкость, так как плотность тока в ней будет выше. Частица переместится в направлении действия электромагнитных сил. Это все справедливо для случаев и потенциальной, и вихревой электромагнитных сил.

Рассмотрим траекторию такой частицы в МГД-канале. Пусть проводящая жидкость протекает по каналу со скоростью VL = (VL, 0, 0), причем на канал действует магнитное поле B = (Bx, 0, Bz) и индуцируется ток ji = (0, jy, 0) и поле E = (0, E, 0). Скорость жидкости будет описываться профилем Гартмана (2.25), причем при больших внешних полях, когда число Гартмана большое, скорость будет стремиться к следующей

величине:

VL ≈ U0 = σEBz + P.

Тогда плотность тока

jy = σE − σVL Bz = − P , Bz

а индуцированная этим током компонента поля вдоль канала

Bx = −µ0Pz.

Bz

Таким образом, в канале действует сила

fem = j × B = −P, 0, −µ0 P2 z! .

B2z

126

Уравнение равномерного движения частицы определяется балансом электромагнитной силы и силы сопротивления Стокса:

kpfemG = 6πηaVR.

Подставим выражение для электромагнитной силы и получим для компонент относительной скорости VR = V − VL следующие выражения:

(VR)x = 2 kpa2 P,

9 η

(VR)z = 2 µ0kpa2 P2z = γz.

9 ηB2z

Рассмотрим (VR)x компоненту. В режиме МГД-насоса (при P < 0) непроводящая частица будет тормозиться в МГД-канале. В режиме МГД-генератора (P > 0) частица будет стремиться «выскочить» из канала.

Рассмотрим (VR)z компоненту. В МГД-канале непроводящая частица будет притягиваться к полюсу со скоростью Vz = (VR)z. Траекто-

где z0 – начальная координата при входе в канал. Если длина МГДканала L, то на его стенках осядут те частицы, у которых z > b при x = L. В этом случае z0 = b/ exp γ/Vx x . Тогда число частиц, оставшихся в ка-

127

2.3.Электромагнитная сила в проводниках

2.3.1. Механизмы генерации электромагнитной силы

Рассмотрим генерацию электромагнитной силы в электропроводной изотропной среде с электропроводностью σ и магнитной проницаемостью µ = 1. Электромагнитная сила возникает в результате взаимодействия электрического тока и магнитного поля:

fem = j × B.

Механизмы генерации силы разделяются на кондукционные и индукционные.

Кондукционный механизм заключается в том, что электрический ток изначально протекает по рассматриваемому фрагменту проводящей среды, при этом он взаимодействует с магнитным полем, в результате чего генерируется электромагнитная сила. В данном случае магнитное поле может создаваться самим протекающим током. Обозначим это поле Hi с индукцией Bi. Это поле генерируется в соответствии с законом Ампера

rot Hi = j.

Также магнитное поле может быть создано внешним источником. Обозначим такое поле He с индукцией Be. Если электрический ток является постоянным во времени, то поле его плотности является потенциальным. Обозначим потенциальную часть плотности тока jp.

Индукционный механизм заключается в том, что электрический ток изначально не протекает по рассматриваемому фрагменту проводящей среды, а на этот фрагмент воздействует внешнее переменное магнитное поле He. При этом в соответствии с законом МаксвеллаФарадея для плотности тока

rot jv = −σ∂Be

∂t

впроводнике индуцируется переменный вихревой электрический ток jv, который взаимодействует с внешним переменным магнитным полем,

врезультате чего генерируется электромагнитная сила.

128

Возможна ситуация, когда электрический ток в электромагнитной среде будет иметь две составляющие – потенциальную и вихревую. В этом случае общая плотность тока будет складываться из этих двух составляющих:

Если электрический ток имеет только потенциальную компоненту rot jp = 0 и магнитное поле тоже является потенциальным, rot H = 0, то электромагнитная сила будет также являться потенциальной, rot fem = 0. Под действием этой силы проводящая однородная среда может перемещаться только целиком в направлении силы. Например, если проводящая среда представляет собой жидкий металл, то он будет перемещаться в сторону действия силы целиком и однородно как твердое тело. Его поле скорости тоже будет являться потенциальным. В другом случае если либо поле плотности электрического тока, либо магнитное поле является вихревым, то сила будет иметь вихревую компоненту, rot fem , 0. При этом, например, в жидком металле возникают внутренние вихревые течения.

2.3.2. Двумерные уравнения Максвелла

Рассмотрим пример генерации вихревой компоненты электромагнитной силы, взяв в качестве примера тонкий прямоугольный проводник (твердая металлическая пластина, рис. 2.5). Пусть планарные размеры этой пластины a, b будут гораздо больше ее толщины d, т.е. {a; b} d. В качестве характерного размера будет использована именно толщина пластины. Расположим оси X и Y в плоскости пластины, а ось Z направим перпендикулярно ей. Пусть вектор плотности тока j = ( jx, 0, 0) = j = I/ad направлен вдоль оси X. Распределение плотности электрического тока по толщине этой пластины будет однородным. Функция, описывающая нормированный профиль поля плотности электрического тока, будет равна константе, f e(z) = 1. Тогда горизонтальные компоненты поля плотности электрического тока можно аппроксимировать следующим образом:

129

a

Рис. 2.5

Будем рассматривать случаи, когда магнитное поле пронизывает проводящую пластину ортогонально ее плоскости. В наших случаях вертикальная компонента магнитного поля будет гораздо больше горизонтальных компонент Hz {Hx; Hy}, которыми можно пренебречь, т.е. H = (0, 0, Hz) = (0, 0, H). При этом магнитное поле будет однородным по толщине проводника, но может меняться по его плоскости и

во времени, ˆ , , , и его индукция тоже имеет одну компонен-

H = H(x y t)

ту ˆ , , . В этом случае можно получить двумерные уравнения

B = B(x y t)

для плотности электрического тока, подставив это разложение в уравнения Ампера и Максвелла-Фарадея и проинтегрировав эти уравнения по толщине пластины:

Здесь и далее дифференциальные операторы являются двумерными. Для случая постоянного тока, протекающего вдоль пластины, когда вектор плотности тока лежит в ее плоскости, можно получить двумерное

В дальнейшем будем работать с двумерными полями и опускать знак (..ˆ ).

130