Электродинамика сплошных сред

где Ax и Ay – действительные амплитуды; ϕx и ϕy – фазы. Фазовая скорость волны – это скорость uph распространения точек одинаковой фазы kz − ωt + ϕ = C . Эта скорость равна скорости гармонической волны:

uph = ω = νλ. k

Для удобства рассмотрения волновых процессов вводят волновой вектор, который в общем случае имеет три компоненты k = (kx, ky, kz), а его модуль равен волновому числу. В случае монохроматической волны направление вектора k = kziz = kiz совпадает с направлением распространения волны. В этом случае фаза волны описывается соотношением ϕ = kz − ωt. Фаза волны инвариантна относительно поворота системы координат, следовательно, она должна зависеть от инвариантного выражения, содержащего векторы k и r, – их скалярного произведения:

В этом случае общее выражение для монохроматической волны (1.188) принимает вид

В произвольном направлении, характеризуемом единичным вектором iξ, пространственная частота определяется как

Будем искать решения в виде плоской волны exp i (k · izz − ωt) . После подстановки получим

k × H = −εε0ωE,

91

k × E = −µµ0ωH.

Эта система будет иметь ненулевые решения, если

√εε0µµ0ω ± k = 0.

Можно записать это выражение иначе, взяв только положительное значение k,

Здесь n – показатель преломления среды, он определяется отношением длины электромагнитной волны в вакууме к длине электромагнитной волны в среде со свойствами ε и µ. Следует отметить, что в вакууме этот показатель равен единице, nvac = 1, а фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света, (uph)vac = c.

В случае когда показатель преломления зависит от частоты поля n = n(ω), происходит явление дисперсии. Дисперсия показателя преломления зависит от динамики электронов среды. Дисперсия характеризует распространение монохроматической волны. Закон распространения такой волны характеризуется зависимостью ω(k), которая называется дисперсионным уравнением. При этом различают три случая:

Вследствие дисперсии волна, распространяясь в реальной среде, перестает быть монохроматической, и ее спектр будет иметь конечную ширину. При этом будет происходить модуляция волны, в результате чего она приобретает форму волнового пакета монохроматических составляющих. Рассмотрим пример пакета из двух волн одинаковой амплитуды:

92

При близких ω1 ≈ ω2, а значит, и k1 ≈ k2 второй сомножитель описывает приблизительно монохроматическую волну, а первый – медленную амплитудную модуляцию – огибающую этой волны. Скорость движения огибающей

называется групповой скоростью – это скорость, с которой в волновом пакете переносится энергия. В отличие от нее фазовая скорость не является «настоящей» (физической) скоростью волны, например скоростью движения фотонов. Поэтому в некоторых случаях (например, для плазменных волн, рассматриваемых ниже) фазовая скорость может оказаться больше скорости света. Групповая и фазовая скорости связаны соотношением

Это соотношение позволяет дать следующую классификацию типов дисперсии:

ug = uph – дисперсия отсутствует; ug < uph – нормальная дисперсия; ug > uph – аномальная дисперсия.

Для электромагнитных волн с помощью показателя преломления можно найти величины, определяющие дисперсию:

93

1.9.Электромагнитное излучение

1.9.1. Виды электромагнитного излучения

Основными характеристиками электромагнитного излучения принято считать частоту, длину волны и поляризацию. Длина волны зависит от скорости распространения излучения. Групповая скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме равна скорости света, в других средах эта скорость меньше. Фазовая скорость электромагнитного излучения в вакууме также равна скорости света, в различных средах она может быть как меньше, так и больше скорости света (принцип максимальности скорости света не нарушается, так как скорость переноса энергии и информации всегда не превышает световую скорость). В таблице приведены типы излучения, длины их волн и частоты.

Электромагнитное излучение принято делить по частотным диапазонам. Между диапазонами нет резких переходов, они иногда перекрываются, а границы между ними условны. Поскольку скорость распространения излучения постоянна, частота его колебаний жестко связана с длиной волны в вакууме.

Источниками радиоволн являются: атмосферные явления, переменные токи в проводниках и электронных потоках (колебательные контуры). Источником оптического излучения является излучение молекул

94

и атомов при тепловых и электрических воздействиях. Ультрафиолетовое излучение вызывается атомами под воздействием ускоренных электронов. Источником ионизирующего электромагнитного рентгеновского излучения являются атомные процессы при воздействии ускоренных заряженных частиц. Гамма излучение вызывается ядерными и космическими процессами и радиоактивным распадом.

Электромагнитное излучение можно рассматривать не только как волну, но и как совокупность весьма большого числа частиц – фотонов: при распространении электромагнитное излучение ведет себя как волна, реализуя процессы отражения, прохождения через вещество, дифракцию, интерференцию. При взаимодействии с веществом излучение проявляет себя как поток частиц, реализуя процессы поглощения и излучения. В этом проявляется корпускулярно-волновой дуализм.

Одним из важнейших открытий для формирования дуализма являлся фотоэффект (фотоэлектронная эмиссия) – это испускание электронов веществом под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). При этом выполняются два важных закона:

1)Максимальная начальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты распространяющихся электромагнитных колебаний и не зависит от их интенсивности.

2)Существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота электромагнитного излучения νb, при которой фотоэффект ещё возможен.

В объяснении явления Эйнштейном содержалась важная новая гипотеза. Если Планк предположил, что свет излучается только квантованными порциями, то Эйнштейн уже считал, что свет и существует

ввиде квантованных порций. Из закона сохранения энергии и представления света в виде частиц (фотонов) следует формула Эйнштейна для

фотоэффекта:

где A – работа выхода (минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из вещества); mU2/2 – кинетическая энергия вылетающего электрона; ν – частота падающего фотона с энергией hν; h – постоянная Планка. Из этой формулы следует существование красной

95

границы фотоэффекта, то есть существование наименьшей частоты, ниже которой энергии фотона уже недостаточно для того, чтобы «выбить» электрон из металла. Суть формулы заключается в том, что энергия фотона расходуется на работу, которую необходимо совершить для того, чтобы «вырвать» электрон, и остаток энергии фотона переходит в кинетическую энергию электрона.

Другим важнейшим открытием, подтвердившим теорию фотонов, был эффект Комптона – явление изменения длины волны электромагнитного излучения вследствие рассеивания его электронами. При рассеянии фотона на покоящемся электроне возникает сдвиг длины волны:

где α – угол рассеяния (угол между направлениями распространения фотона до и после рассеяния); λK – комптоновская длина волны электрона. Уменьшение энергии фотона после комптоновского рассеяния называется комптоновским сдвигом. В классической электродинамике рассеяние электромагнитной волны на заряде (томсоновское рассеяние) не сопровождается уменьшением её частоты.

Объяснить эффект Комптона невозможно в рамках классической электродинамики. С точки зрения классической физики электромагнитная волна является непрерывным объектом и в результате рассеяния на свободных электронах изменять свою длину волны не должна. Эффект Комптона является прямым доказательством квантования электромагнитной волны, другими словами, подтверждает существование фотона. Эффект Комптона является ещё одним доказательством справедливости корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц.

1.9.2. Эффект Доплера

Рассмотрим, как изменяется частота и волновой вектор при переходе из одной системы отсчета в другую. Для этого координаты и время в формуле для фазы

ϕ = (k · r) − ωt

96

выразим через координаты и время (r0, t0) другой системы отсчета, движущейся относительно исходной со скоростью V вдоль оси X

ϕ= kx x − ωt + kyy + kzz =

=kxγ(x0 + Vt0) − ωγ(t0 + V x0/c2) + kyy0 + kzz0 =

=γ(kx − ωV/c2)x0 − γ(ω − kxV)t0 + kyy0 + kzz0.

Видно, что при переходе из одной системы отсчета в другую частота и волновой вектор изменяются. Это и есть эффект Доплера:

Вклассическом случае, если источник A движется со скоростью vA,

анаблюдатель B – со скоростью vB в среде, фазовая скорость в которой равна u, то наблюдаемая частота νB волны отличается от испускаемой источником частоты νA согласно формуле

где αA и αB – углы, образуемые векторами vA и vB по отношению к вектору r, соединяющему наблюдателя и источник. Для малых скоростей

Увеличение частоты в этом случае объясняется тем, что движущийся навстречу волне наблюдатель «натыкается» на максимумы волны тем чаще, чем больше его скорость.

Если наблюдатель движется в вакууме относительно покоящегося vA = 0 источника монохроматических электромагнитных волн, то наблюдаемая частота отличается от испускаемой частоты следующим образом:

Здесь

q

γ = 1 − v2B/c2.

При γ = 1 говорят о линейном эффекте Доплера, или эффекте первого порядка. В другом случае возникает квадратичный эффект Доплера,

97

природа которого связана с релятивистским изменением масштаба времени в разных системах отсчета.

При αB = 0 источник и наблюдатель сближаются, при этом возникает фиолетовое смещение. При αB = π источник и наблюдатель удаляются друг от друга, при этом возникает красное смещение. При αB {π/2; 3π/2} возникает релятивистский поперечный эффект Доплера, которого в классическом случае не существует.

Эффект Доплера был применен Хабблом для измерения радиальных скоростей звезд и галактик по смещению спектральных линий излучения элементов, входящих в состав звезды (главным образом водорода и гелия). Было обнаружено, что помимо хаотического движения звезд и галактик все они удаляются от Земли со скоростью, пропорциональной расстоянию. На основании этого явления возникла гипотеза «расширяющейся Вселенной»: наблюдаемая Вселенная образовалась в результате взрыва, и мы сейчас видим разлетающиеся от него осколки. Некоторые противники теории Большого взрыва считают, что Вселенная стационарна, то есть не эволюционирует и не имеет ни начала, ни конца во времени. Сторонники такой точки зрения отвергают расширение Вселенной, а красное смещение объясняют гипотезой о «старении» света, заключающейся в том, что фотоны теряют энергию в столкновениях с другими частицами. Однако, как выяснилось, эта гипотеза противоречит наблюдениям, например, зависимости продолжительности вспышек сверхновых звезд от расстояния до них.

1.9.3. Излучение Вавилова-Черенкова

Рассмотрим эффект Доплера для электромагнитной волны в среде. Индексом ноль будем помечать величины в системе отсчета, связанной со средой. В этой системе отсчета связь между волновым числом и частотой имеет вид

98

Скорость волны V зависит теперь от системы отсчета (ω0/k0 = V0 , V0), так как в отличие от вакуума она уже не совпадает с предельной скоростью c.

Рассмотрим излучение источника, движущегося относительно среды со скоростью U (вдоль оси X). Используем первое из соотношений (1.200) и будем считать, что штрихованные величины относятся к систе-

Наиболее интересная особенность эффекта Доплера в среде связана с тем, что здесь источник может двигаться быстрее скорости света в среде, если U > V0 = c/n. Это область так называемого аномального эффекта Доплера (рис. 1.29). В этой области абсолютное значение частоты ω0 увеличивается с ростом угла наблюдения α0, хотя в области нормального эффекта Доплера, так же как и в случае досветовой скорости источника U < V0, частота падает с ростом угла. Граница между этими областями соответствует углу α∞ черенковского излучения,

Рассмотрим случай ω0 = 0, означающий, что в источнике отсутствуют какие-либо колебания, а его внутренняя энергия не изменяется. Примером такого случая может служить пролетающая через среду заряженная частица.

При досветовых скоростях U < V0 величина ω0 = 0 и излучение отсутствует.

При U > V0, если cos α0 = cos α∞, знаменатель формулы (1.203) также обращается в нуль и ω0 может иметь любые значения, ограниченные только условием (V0ω0 < U). В этом случае возникает излучение, энергия которого «перекачивается» из поступательного движения источника. Этот особый вид излучения называется черенковским излучением. Рост частоты до бесконечности происходить не будет, так как

99

на больших частотах возникает дисперсия – зависимость показателя преломления, а значит, и скорости волны в среде от частоты V0 = V0(ω0). При этом для ω0 → ∞ значение V0 → c. Это значит, что при некоторой частоте ω0 = ω1, при которой V0(ω1) = U, область аномальной дисперсии исчезает.

Еще одна особенность аномальной дисперсии связана с тем, что отношение частот при этом ω0/ω0 < 0, т.е. одна из частот отрицательна. Так как в системе отсчета, связанной со средой, мы имеем обычные волны с положительной энергией, то ω0 > 0. Следовательно, ω0 < 0. Согласно квантовым законам это означает, что в области с аномальной дисперсией внутренняя энергия источника увеличивается при излучении за счет поступательного движения источника или среды.

’

I II

oo 0

Рис. 1.29

Излучение Вавилова-Черенкова предполагает наличие гипотетических частиц – тахионов (которые всегда движутся быстрее скорости света), существование которых не противоречит теории относительности. Если они существуют, то должны интенсивно излучать электромагнитные волны. При уменьшении энергии тахион ускоряется.

Для механических волн существуют известные аналоги черенковского излучения. Это, например, носовая волна корабля, образующая на поверхности мелкой воды с медленными волнами картину, похожую на клин, угол раствора которого тем меньше, чем больше скорость корабля. Такая волна является основным источником сопротивления при движении корабля. Поэтому форма носа быстроходных кораблей должна иметь вид плуга для «отваливания» волны и уменьшения ее высоты.

100