При допущении аддитивности компонент вклад сезонной компоненты остается на постоянном уровне для всего периода времени независимо от уровня величины элементов временного ряда. При допущении мультипликативности компонент по мере возрастания уровня величин элементов временного ряда абсолютная величина сезонной колеблемости возрастает.
В моделях как с аддитивными, так и с мультипликативными компонентами общая процедура анализа в принципе одинакова. Обычно она состоит в установлении и исключении воздействия на величину временного ряда каждой компоненты по очереди. Этот процесс называется разложением или декомпозицией временного ряда.
Рассмотрим реализацию такого процесса на примере мультипликативного представления временного ряда. Пусть имеются данные, показывающие продажу учебников (в тыс. шт.) за последние три года по кварталам (табл. 7.1).
Таблица 7.3.2.1
Поквартальные данные продажи учебников
Год |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
Квартал |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
продажа |
16,9 |
9,4 |
26,2 |
25 |
18 |
9 |
29 |
23,6 |
18,5 |
11 |
29,2 |
26,2 |
Вычисления начнем с выделения сезонной компоненты. Как видно из рис. 44, в этих данных отчетливо прослеживается сезонная компонента с увеличивающейся амплитудой колебания, поэтому временной ряд представим в мультипликативном виде.
Для выделения сезонной компоненты усредним элементы временного ряда с помощью 4-х квартальных скользящих средних (именно они не содержат квартальную сезонную компоненту). Но известно, что скользящая средняя приписывается середине интервала сглаживания, а в нашем случае каждый раз усредняется четное число элементов ряда (по числу месяцев в квартале), поэтому скользящая средняя приходится на промежуток между кварталами. Чтобы приписать ее к конкретному кварталу, осуществим еще одно усреднение, рассчитав центрированную скользящую среднюю, усредняя последовательно два соседних члена уже усредненного ряда. Этот процесс называется центрированием скользящих средних. Центрированные скользящие средние будут приписываться соответствующим кварталам и представлять собой трендовую компоненту (Trend-cycle – на рис. 43).
Разделив элементы временного ряда на трендовую компоненту, получим сезоннослучайную компоненту (Y / T = S I). Эти вычисления проведены на рис. 43, где указаны: исходные данные (Data), центрированная скользящая средняя или трендовоциклическая компонента (Trend-cycle), сезонно-случайная компонента (Seasonality), случайная компонента (Irregular), а также ряд с устраненной сезонностью (Seasonally Adjusted).
Рис. 43. Окно отчета ППП Statgraphics о реализации метода сезонной декомпозиции при мультипликативном представлении ряда
Отметим, что если скользящая средняя, сглаживающая сезонную компоненту, включает нечетное число элементов, то рассчитывать центрированную скользящую среднюю нет необходимости.
Представим горизонтальный график ряда для исходных данных, а также центрированных скользящих средних, выражающих основную тенденцию или тренд для данных о продажах.
Рис. 44. График исходных данных и тренда
Усреднив сезонно-случайную компоненту по соответствующим кварталам, получим
индекс сезонности, выраженный в процентах: |
|
||
90,1 |
48,6 |
139,5 |
121,8 |
Графически индекс сезонности может быть представлен в следующем виде (рис.
45):
Рис. 45. График сезонной компоненты
Как видим, уровни продаж в первые два квартала ниже среднего уровня (в I кв. на 9,9 %, во II – на 51,4 %), а в последние два квартала – выше (соответственно на 39,5 %
и на 21,8 %).
Если для мультипликативного представления временного ряда сезонная компонента представляет собой индекс сезонности, указывающий, во сколько раз уровень продаж выше или ниже среднего, определяемого на основе тренда, то для аддитивного – абсолютную величину превышения или занижения продаж по отношению к их среднему уровню.
Кроме того, при правильных расчетах сумма индексов сезонности должна быть равна длине сезонности (у нас – 400, т.к. индекс выражен в процентах) в случае мультипликативного представления и должна быть равна нулю – при аддитивном представлении.
Рис. 46. График ряда с устраненной сезонной компонентой
Как видно из рис. 46, после устранения сезонной компоненты четко прослеживается трендовая составляющая, отражающая растущие продажи во времени по линейному тренду.
Прогноз на основе сезонной компоненты осуществляется путем корректировки прогноза по тренду с учетом сезонных колебаний. При вычислении сезонной компоненты мы получим трендовую составляющую в виде центрированных скользящих средних, которые нельзя использовать для прогноза. Для этой цели тренд должен быть представлен в виде аналитической кривой. Строят ее на основе МНК,