Считается, что если ошибка прогноза уменьшается при выходе значения за пределы 0,05 – 0,3, то это означает, что в данном случае речь идет не о стационарном временном ряде. Следует отметить, что чувствительность прогноза по экспоненциально взвешенным средним может быть повышена увеличением и, наоборот, чем меньше , тем прогноз более устойчив. Поэтому, когда по ходу решения задачи требуется

повысить чувствительность прогноза, то высокое значение вполне оправдано. Кроме того, при расчетах по модели (7.1) встает проблема определения

прогнозного значения на начальный период (при t = 1, т.е. f0). Обычно за f0 берут либо y1, либо среднее значение первых несколько членов ряда. Как правило, на конечный результат расчетов выбор начального значения f0 практически не сказывается.

7.3. Прогноз нестационарных показателей

7.3.1. Прогноз нестационарных показателей по тренду

Нестационарные условия – это когда среднее значение процесса не остается постоянным с течением времени, а изменяется. Изменяющееся среднее принято называть трендом.

Таким образом, тренд – это основная тенденция развития процесса или явления во времени. Линия тренда может быть описана аналитическим выражением, полученным, например, на основе МНК в виде уравнения регрессии по времени.

Вид тренда зависит от формы изменения изучаемого процесса. Например, линейный тренд характеризует процесс изменения с постоянным темпом роста b и записывается в виде:

yt = a + bt ,

а экспоненциальный тренд с постоянным темпом прироста b: y = a ebt.

При автоматизированных вычислениях с помощью ППП предусмотрена возможность подбора оптимального среди многих вида тренда, минимизирующего, например, MSE или MAE.

В ППП Statgraphics, например, в процедуре прогнозирования временных рядов предусмотрено 4 вида тренда: линейный, квадратичный, экспоненциальный и по S – кривой, а при подборе вида модели в простой регрессии – 12 видов тренда.

Прогноз на основе тренда (вернее точечная оценка прогноза) осуществляется путем подстановки в уравнение тренда численного значения для переменной t с дальнейшим расчетом интервальной оценки.

Следует иметь в виду, что прогноз на основе тренда осуществляется по принципу: «что будет, если условия функционирования изучаемого явления не изменятся?».

7.3.2. Прогноз нестационарных показателей по экспоненциально взвешенным средним

В этом направлении разработан целый комплекс моделей, кратко рассмотрим несколько из них.

Холта линейное экспоненциальное сглаживание предполагает, что среднее прогнозируемого показателя yt изменяется линейно по времени:

yt = μ + λt + εt,

где μ – среднее процесса, λ – его скорость, а εt – случайная ошибка. При этом оценка λ осуществляется по показателю роста bt, который вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разности между текущими экспоненциально взвешенными

средними значениями элементов временного ряда ut и их предыдущими значениями ut-1 и предыдущим значением bt-1. В свою очередь, текущее значение экспоненциально взвешенного среднего ut включает в себя значение прошлого показателя роста bt-1, адаптируясь таким образом к предыдущему значению линейного тренда.

Уравнения метода Холта:

ut = αyt +(1-α)(ut-1 + bt-1) и bt = β(ut - ut-1) + (1 – β)bt-1,

где α и β – параметры сглаживания.

Если τ – горизонт прогнозирования, то прогноз на τ моментов времени по модели Холта вычисляется по формуле

ft+τ = ut + bt τ.

Здесь ut – оценка среднего текущего значения, bt – ожидаемый показатель изменения. Значения α и β подбираются по минимальной ошибке прогноза. Параметр α

предназначен для сглаживания оценки уровня, β – оценки тренда.

Брауна линейное экспоненциальное сглаживание предполагает, что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

ft+τ = ut + bt τ, где ut = ut-1+ bt-1+ (1– γ)2et, et = yt– ft и bt = bt-1+ (1– γ)2et.

Брауна квадратичное экспоненциальное сглаживание предполагает, что прогноз на

τ моментов времени вычисляется по формуле

ft+τ = а0 + а1 τ + а2 τ2,

Параметр γ в методе Брауна аналогичен параметру (1-α) в методе Холта (показатель дисконтирования наблюдений) и задается из априорных соображений, в том числе и из условия минимизации указанной суммы.

7.4. Прогнозирование на основе сезонной компоненты

Усложним постановку задачи. Будем считать, что на формирование значений показателей временных рядов оказывают влияние три фактора: случайная компонента, трендовая компонента и сезонная компонента. Будем обозначать их соответственно I, T и S. От случайной компоненты обычно избавляются путем усреднения, например, скользящими или экспоненциально взвешенными средними, трендовую компоненту можно выделить, например, используя МНК, как в предыдущем пункте. Случайная компонента временного ряда формируется под воздействием случайных факторов, трендовая – под воздействием длительно действующих факторов, сезонная компонента формируется под воздействием сравнительно коротких по времени (квартал, месяц) регулярных, из года в год повторяющихся факторов.

Для прогнозирования временного ряда, включающего эти три компоненты, необходимо определить, каким образом они сочетаются при формировании значений элементов ряда. Различают два способа такого сочетания: мультипликативный, когда значения элементов временного ряда формируются под воздействием произведения его компонент:

Yt = Tt St It,

и аддитивный:

Yt = Tt + St + It,

если компоненты складываются.