4.2 Сведения из теории

Резонансом напряжения называется режим работы последовательного колебательного RLC-контура, при котором реактивная составляющая комплексного сопротивления контура равна нулю. Математическое условие резонанса напряжений выражается в виде:

(4.1)

Частота , на которой выполняется условие (4.1), называется резонансной частотой контура. Она определяется выражением:

(4.2)

Когда частота fисточника гармонической э.д.с. совпадает с частотой, говорят, что последовательный колебательный контур настроен на частоту источника. В момент резонанса напряжения на емкости и индуктивности достигают максимальных значений, равных по величине и противоположных по знаку.

В режиме резонанса запас энергии Wэлектромагнитного поля, связанного с контуром, остается неизменным. Величина его равна:

(4.3)

где – действующее значение тока контура при резонансе;

– действующее значение напряжения на емкости при резонансе.

Энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно перераспределяется между электрическим и магнитным полями без участия в этом процессе источника гармонической э.д.с. Именно поэтому рассматриваемый контур называется колебательным. Задача источника э.д.с. в энергетическом смысле заключается только в том, что он поставляет активную мощность, расходуемую в сопротивлении R. Если бы контур не имел активного сопротивления, то в нем не было бы никаких потерь энергии, и источник э.д.с.в стационарном режиме был бы не нужен.

Энергетические соотношения в контуре характеризуются его добротностью Q, определяемой выражением:

(4.4)

где Р– активная мощность, поступающая в контур при резонансе.

Учитывая, что активная мощность Рравна:

(4.5)

а значение Wопределяется выражением (4.3), получим для добротностиQследующее соотношение:

(4.6)

Зная емкость контура С, добротностьQможно рассчитать также по формуле:

(4.7)

Из выражений (4.6), (4.7) с учетом выражения (4.2) получим еще одну формулу для вычисления добротности Q:

(4.8)

Величина , определяемая соотношением

(4.9)

называется характеристическим сопротивлением контура и измеряется в Омах.

В колебательных контурах, используемых в радиотехнике, изменяется в пределах от 100 до 500 Ом. Величинаd, обратная добротности, называется затуханием контура:

(4.10)

Затухание радиотехнических колебательных контуров имеет величину от 0,003 до 0,01.

В радиотехнических устройствах колебательный контур иногда нагружается на активное сопротивление R_н, подключаемое параллельно емкости (рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 – Электрическая схема нагруженного последовательного

колебательного контура

Подключение сопротивления R_н, естественно, увеличивает потери в контуре и, следовательно, приводит к снижению его добротности. Для определения добротности нагруженного колебательного контураQ_нзаменим параллельное соединениеR_ниСпоследовательным соединением емкости С и вносимого сопротивленияR_вн(рис. 4.4).

Рисунок 4.4 – Схема замещения нагруженного колебательного контура

Обычно, поэтомуR_вн будет равно:

(4.11)

Учитывая выражение (4.9), получим:

(4.12)

Таким образом, добротность нагруженного контура будет равна:

(4.13)

При этом затухание контура увеличивается и становится равным:

(4.14)

где d_вн– вносимое затухание.

Частотные свойства последовательного колебательного контура характеризуются амплитудно-частотными и фазо-частотными характеристиками.

Рисунок 4.5 – Амплитудно-частотные характеристики контура

Амплитудно-частотной характеристикой колебательного контура называется зависимость его полного сопротивления от частоты. Зависимость от частоты угла сдвига фаз между током и напряжением называется фазо-частотной характеристикой контура. Рассмотрим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики последовательного колебательного контура. В общем случае комплексное сопротивление контура будет равно:

(4.15)

Используя понятие относительной расстройки частоты

(4.16)

широко применяемое в радиотехнике, сопротивление можно представить в виде:

(4.17)

Из выражения (4.17) следует, что полное сопротивление контура равно:

(4.18)

Фазовый сдвигопределяется выражением:

(4.19)

При частотах, близких к резонансной, //<<1, поэтому выражения (4.18), (4.19) упрощаются:

(4.20)

(4.21)

Последние выражения практически достаточно точны при //<0,1.

Частотные характеристики контура, построенные по выражениям (4.18), (4.19), представлены на рисунках 4.5, 4.6. На рисунке 4.5 по оси ординат отложено отношение полного сопротивления Zк активному сопротивлениюR. Как видно из графика, представленного на этом рисунке, полное сопротивлениеZдостигает своего минимального значенияZ =Rпри резонансе напряжений, когда= 0. Фазовый сдвиг(рис. 4.6) отрицателен при отрицательных расстройках, когда частотаменьше резонансной, положителен при положительных расстройках, когда>, и равен нулю при= 0, когда. Таким образом, комплексное сопротивление контура имеет ёмкостный характер при ƒ < ƒ₀и индуктивный при>. На резонансной частоте сопротивление контура активно.

Ток в контуре определяется выражением:

(4.22)

Модуль тока Iбудет равен:

(4.23)

Рисунок 4.6 – Фазо-частотные характеристики контура

На рисунке 4.7 представлены в относительных единицах резонансные кривые тока в последовательном RLC-контуре. Из рисунка видно, что ток в контуре достигает своего максимального значения при резонансе напряжений. Чем выше добротность контураQ, тем острее резонансные кривые тока.

Рисунок 4.7 – Резонансные кривые тока в последовательном

колебательном контуре

Зависимости Z,иIот частотыимеют такой же характер, как показано на рисунках 4.5 – 4.7. Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается враз по сравнению со своим максимальным значением, называют полосой пропускания последовательного колебательного контура. На рисунке 4.7 пунктиром показана полоса пропускания контура с добротностьюQ= 1. Граничным частотам полосы пропускания соответствуют относительные расстройкии. При токеI:

(4.24)

мощность Р₁, расходуемая в сопротивленииR, равна:

(4.25)

т.е. составляет половину мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют как область частот, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. Полоса пропускания контура , резонансная частотаи добротность Q связаны соотношением:

(4.26)

Как отмечалось ранее, при подключении к контуру нагрузки его добротность снижается. Следовательно, полоса пропускания нагруженного контура будет шире, чем ненагруженного. Полоса пропускания возрастает также с увеличением внутреннего сопротивленияисточника э.д.с., так как добротностьв этом случае будет равна:

(4.27)

В условиях, близких к резонансным, напряжения на емкости и индуктивности могут быть очень велики, что необходимо учитывать на практике. Напряжения ина индуктивности и емкости при резонансе будут равны:

(4.28)

где – действующее значение напряжения на входе контура.

Из выражения (4.28) видно, что добротностьQможно определить по отношению модуля напряжения на емкости или индуктивности к модулю входного напряжения:

(4.29)

При высоких добротностях напряжение на реактивных элементах существенно превышает входное напряжение контура.