10.3 Сведения из теории

Расчет линейных разветвленных электрических цепей с одним источником постоянного тока проводят с использованием законов Ома и Кирхгофа.

Эквивалентное сопротивление цепи R_Эс входным токомIпри подключении к её входу напряженияUопределяется законом Ома:

. (10.1)

Применяя первый закон Кирхгофа для узлов разветвления цепи, а второй закон Кирхгофа для отдельных контуров разветвленной цепи (при известных величинах I,Uи сопротивлений ветвейR_i) находят токи, напряжения, мощности на отдельных участках. До записи уравнений по законам Кирхгофа на схеме цепи стрелкой указывают условно положительные направления токов в ветвях. Эти условно положительные направления токов выбирают произвольно.

Первый закон Кирхгофа:алгебраическая сумма токов в узле разветвления равна нулю.Физически первый закон Кирхгофа выражает закон сохранения заряда. Если с узлом исследуемой цепи соединеноnветвей, то уравнение по первому закону Кирхгофа для него будет иметь вид:

(10.2)

При этом втекающие в узел токи выбирают со знаком «плюс», а токи, вытекающие из узла, – со знаком «минус». (Допускается использование и обратного правила выбора знаков токов). При расчёте цепи уравнения по первому закону Кирхгофа записываются только для независимых узлов. Их число всегда на 1 меньше общего количества узлов. Например, если электрическая цепь имеет qузлов, то число независимых узлов будет равноq-1.

Второй закон Кирхгофа:при обходе контура электрической цепи в любом направлении алгебраическая сумма падений напряжений на электрических элементах контура (сопротивлениях, индуктивностях, ёмкостях) равна алгебраической сумме действующих в контуре э.д.с.Направление обхода контура выбирается произвольно и указывается внутри контура стрелкой. Если контур содержитlисточников э.д.с. иkэлектрических элементов, то уравнение по второму закону Кирхгофа запишется для него в виде:

. (10.3)

В уравнениях по второму закону Кирхгофа напряжения на элементах и э.д.с. источников выбираются со знаком «плюс», если их положительно выбранные направления совпадают с направлением обхода контура. В противном случае их величины берутся со знаком «минус». Уравнение второго закона Кирхгофа для контура, не содержащего источников э.д.с., запишется в виде:

.

Число расчетных уравнений по второму закону Кирхгофа определяется количеством независимых контуров n, которое рассчитывается по числу ветвейри числу узловqсхемы цепи:

(10.4)

Решив совместно уравнения, составленные по законам Кирхгофа, определяют токи в отдельных ветвях. Если при решении получится отрицательное значение тока той или иной ветви, то этот ток имеет направление, обратное указанному на схеме.

Наряду с методом, основанным на использовании законов Кирхгофа, для расчёта разветвлённой электрической цепи используют метод эквивалентных преобразований. По этому методу всю схему разбивают на отдельные участки, содержащие только последовательно соединённые или только параллельно соединённые элементы. Находят эквивалентные сопротивления таких участков и, учитывая способ соединения их между собой, эквивалентное сопротивление всей цепи и её ток. Далее, используя закон Ома, находят необходимые напряжения между узлами и токи ветвей. В методе эквивалентных преобразований схема исходной разветвлённой электрической цепи заменяется более простыми схемами цепей, которые имеют такое же эквивалентное сопротивление.

Если схема разветвлённой цепи содержит участки, в которых элементы соединены по схеме «Звезда» (сопротивления R_a,R_b,R_cрисунка 10.2а) или «Треугольник» (сопротивленияR₁,R₂,R₃рисунка 10.2б), то для расчёта эквивалентного сопротивления цепи преобразуют «Звезду» в «Треугольник» или наоборот.

Эквивалентным преобразованием «Треугольника» в «Звезду» называется такая замена части цепи, соединённой по схеме «Треугольник», цепью, соединённой по схеме «Звезда», при которой токи и напряжения в остальной части цепи остаются неизменными. Иначе говоря, при одинаковых напряжениях между одноимёнными узлами входящие в них токи одинаковы и для «Треугольника», и для «Звезды». То есть мощности в этих цепях одинаковы. Преобразование «Треугольника» в «Звезду» производится по формулам:

;;. (10.5)

Рисунок 10.2 – Схемы соединения сопротивлений:

а) «Звездой»; б) «Треугольником»

Обратное преобразование «Звезды» в «Треугольник» осуществляется с использованием выражений:

В настоящей работе с помощью ключа Sможно менять конфигурацию исследуемой цепи, приведенной на рисунке 10.1.

При замкнутом положении ключа Sточкиcиdсхемы соединяются между собой, в результате чего резисторR₅шунтируется проводником, и цепь может быть представлена в виде, изображенном на рисунке 10.3а.

Рисунок 10.3 – Эквивалентные схемы исследуемых цепей:

а) ключ Sзамкнут; б) ключSразомкнут

Как видно из рисунка, цепь состоит из ветви R₂и последовательно-параллельного соединения сопротивленийR₁,R₃иR₄.

Учитывая, что эквивалентное сопротивление R_Э1 последовательно-параллельной ветви данной цепи равно:

, (10.6)

выражение для общего эквивалентного сопротивления цепи R_Эбудет иметь вид:

. (10.7)

Тогда токи I,I₁,I₂найдём по закону Ома:

(10.8)

Ток I₁в ветвяхR₃иR₄распределится обратно пропорционально величинам этих сопротивлений, поэтому токI₃, можно определить по формуле:

. (10.9)

Ток I₄найдём по первому закону Кирхгофа для узла «b»:

(10.10)

При оформлении отчета по данной работе необходимо величины токов, вычисленные аналитически по приведенной выше методике, сравнить с токами тех же участков, определяемых по данным измерений, а именно:

;;;

; (10.11)

Уравнения , для узла «a» идля узла «b» убеждают нас в справедливости первого закона Кирхгофа.

При разомкнутом положение ключа Sэлектрическая цепь представляется в виде, приведенном на рисунке 10.3б. Эквивалентное сопротивление этой цепи может быть найдено путём предварительного преобразования «Треугольника» в «Звезду». В рассматриваемой электрической цепи наиболее целесообразно преобразовать треугольник резисторовR₁,R₂,R₃в эквивалентную звезду по формулам (10.5). Цепь после преобразования схемы цепи будет иметь вид, показанный на рисунке 10.3б сплошными линиями. Входной ток преобразованной цепи и токи в её ветвях находят в следующем порядке.

По закону Ома определяют входной ток:

;. (10.12)

Токи в параллельных ветвях распределятся обратно пропорционально их сопротивлениям:

, (10.13)

^{. (10.14)}

Токи I₁,I₂,I₃в ветвях с резисторамиR₁,R₂,R₃можно определить, используя второй закон Кирхгоффа:

(контурR₁-R_a-R_b); (10.15)

(контурR₂-R_a-R_с); (10.16)

(контурR₃-R_b-R_с) . (10.17)

Токи I,I₁÷I₅, полученные расчетным путем, необходимо сравнить с токами, найденными по данным измерений потенциалов в экспериментальной части работы.

;;;

;, (10.18)

где U₂иU₃– напряжения на резисторахR₄иR₅соответственно.

Направление токов определяется по знаку результата вычислений.