8.6 Обработка результатов

8.6.1 По осциллограммам, полученным в пп. 8.5.3–8.5.6 при длительности воздействующих импульсов t_u1, определить напряжение на элементах цепи в моменты времениt= 0 иt=t_u1и рассчитать соответствующие абсолютные и относительные отклонения экспериментально полученных результатов от расчетных.

8.6.2 Сопоставить по осциллограммам переходные процессы в RC и RL-цепях, сделать выводы о характере изменений переходных процессов в исследованных цепях при увеличении длительности воздействующих импульсов.

Контрольные вопросы

1. Когда возникают переходные процессы? Привести примеры.

2. Сформулировать законы коммутации электрических цепей. Как они используются при количественном и качественном изучении переходных процессов?

3. Чем определяется форма и длительность переходного процесса?

4. Пояснить переходные процессы, происходящие в цепях первого порядка при входном воздействии в виде скачка и прямоугольного импульса напряжения.

5. Что происходит в RL- и RC-цепях при входном воздействии периодической последовательности прямоугольных импульсов?

6. Что такое постоянная времени цепи? Пояснить ее физический смысл.

7. Пояснить использование классического метода для анализа переходных процессов.

8. На примере одного из исследованных переходных процессов показать его вынужденную и свободную составляющие.

9. Указать возможные применения и последствия переходных процессов в RL- и RC-цепях.

10. Как влияют «паразитные» емкости, собственные сопротивления реактивных элементов и сопротивления нагрузки и питающего генератора на характер исследуемых переходных процессов?

Рекомендуемая литература:

[1, c. 278–286; 2, c. 346–362; 3, c. 427–445].

Лабораторная работа № 9

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

9.1 Цель работы: изучение переходных процессов в последовательном колебательном контуре при воздействии на него прямоугольных импульсов напряжения.

9.2 Оборудование и материалы:электрический стенд для исследования переходных процессов, генератор прямоугольных импульсов напряжения, осциллографCI-72, милливольтметр В3-33.

Принципиальная схема стенда приведена на рисунке 9.1

Рисунок 9.1 – Принципиальная схема стенда

С помощью гнезд 1-17 и электрических проводников обеспечивается подключение элементов R,L,Cк стенду. Схема исследуемой цепи второго порядка (последовательный колебательный контур) представлена на рисунке 9.2.

Рисунок 9.2 – Схема цепи второго порядка

С выхода генератора на вход стенда подаются импульсы напряжения прямоугольной формы, период следования которых Тимеет фиксированную величину и в десять раз превышает периодТ_свсвободных колебаний исследуемой цепи.

9.3 Сведения из теории

Пусть в момент времени t = 0 кRLC-цепи подключается источникэ.д.с. e(t). Уравнение, описывающее переходный процесс, запишется в виде:

(9.1)

Дифференцируя это уравнение, получим:

(9.2)

Соответствующее ему характеристическое уравнение определяется выражением:

Корни этого уравнения:

где – резонансная частота контура.

Свободный ток будет равен:

где А₁иА₂– постоянные коэффициенты.

Ток в цепи определяется суммой свободного i_сви установившегосяi_утоков:

(9.3)

Для нахождения i_унеобходимо знать конкретный вид входного воздействияe(t).

Будем считать, что ко входу цепи подключается источник постоянной э.д.с Е.

Пусть в момент времени t = 0 напряжение на емкостиu_C(0)=U₀и ток цепиi(0)=0. Для определения постоянныхA₁иA₂наряду с независимым начальном условиемi(0)=0 необходимо знать и зависимое начальное условие

Найдем это условие. Уравнение (9.1) для t =0 имеет вид:

Откуда

(9.4)

При e(t)=Еуравнение (9.2) запишется в виде:

(9.5)

Правая часть уравнения (9.5) равна нулю, поэтому и установившееся значение тока цепи i_yтакже будет равно нулю. Дифференцируя выражение (9.3) с учетомi_y=0, получим:

(9.6)

Из выражений (9.3) и (9.6) для t = 0 получим:

Откуда следует:

Окончательно выражение для тока запишется в виде:

(9.7)

Проанализируем полученное решение для трёх возможных случаев:

а) т.е.(процесс апериодический);

б) т.е.(критический случай);

в) т.е.(процесс колебательный).

Для случая а) корни р₁ир₂характеристического уравнения являются отрицательными действительными числами (рисунок 9.3). Еслито криваяспадает медленнее, чем кривая. Кривыеi(t)иu_C(t)показаны на рисунке 9.4.

Рисунок 9.3 – Расположение действительных корней

на комплексной плоскости

Рисунок 9.4 – Графики изменения тока цепи и напряжения

на ёмкости в последовательном колебательном контуре при е(t) =E,

когда p₁иp₂действительны

Рассмотрим второй случай (случай б).

При

Подстановка этого значения в выражение (9.7) приводит к неопределенности типа . Раскроем ее по правилу Лоппиталя:

Кривая тока i(t) для этого случая имеет такой же вид, как и на рисунке 9.4.

Рассмотрим третий случай (случай в)).

Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные (рисунок 9.5):

где

Корни уравнения располагаются симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с центром в начале координат и с радиусом

Рисунок 9.5 – Расположение комплексно сопряжённых корней

на комплексной плоскости

Величина называется угловой частотой свободных колебаний вRLC- цепи. Выражение для токаi(t)запишется в виде:

(9.8)

Кривая зависимости i(t)показана на рисунке 9.6.

Рисунок 9.6 – Графики изменения тока цепи и напряжения на ёмкости

в последовательном колебательном контуре при колебательном

характере переходного процесса

Из выражения (9.8) и рисунка 9.6 видно, что при в цепи возникают затухающие синусоидальные колебания, причем огибающими служат кривые. Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот, причем, эти колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении. Чем меньшепо сравнению с, тем медленнее затухает колебательный процесс и тем ближек.

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине называемой декрементом колебания, гдеКроме того, для этих же целей используется логарифмический декремент колебания

Величину называют постоянной времени колебательного контура:

Из сопоставления рисунков 9.3 и 9.5 видно, что о характере переходного процесса можно судить по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Если корни различны и лежат на действительной оси, то имеет место апериодический процесс. Если то имеет место критический случай. Дляр₁ир₂комплексно сопряженных имеет место колебательный процесс.