Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины , которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

Y=f(Х₁,Х₂, … ,Х_n), (1.4)

где Х_j– различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1. Сначала находится абсолютная, а затем относительнаяпогрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Yдля произвольного видаf функции имеет вид:

(1.5)

где частные производные функцииY=f(Х₁,Х₂, … ,Х_n) по аргументуХ_j,

общая погрешность прямых измерений величиныХ_j.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величинX_j.

То есть среднее значение величины Yравно:. Теперь легко найти относительную погрешность:.

Пример: найти погрешность измерения объёмаVцилиндра. Высотуhи диаметрDцилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измеренийn=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть приР=0,68;

приР=0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность _Vв данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен:, относительная погрешность_V равна:

, или_V=19%.

Окончательный результат после округления:

V=(479) мм³, _V=19%, Р=0,68.

Способ 2.Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность , и только затем абсолютную. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере - определение погрешности при измерении объёма цилиндра

.

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм,; приР=0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

.

найти дифференциалы от левой и правой частей, считаянезависимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

.

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

,

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

_V=0,19 · 47=9,4мм³,P=0,68.

Окончательный результат после округления:

V= (47 ± 9) мм³,_V = 19%,P=0,68.