6. Изучение законов вращательного движения с помощью маятника Обербека

5. Экспериментальная проверка законов вращательного движения и теоремы Штейнера.

21. специальная экспериментальная установка «Маятник Обербека»

Краткая теория

Вращательным движением тела относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Ограничимся рассмотрением движения абсолютно твердых тел, т.е. будем считать, что деформациями тел в рассматриваемой нами задаче можно пренебречь.

Пусть за времярадиус-вектор произволь-ной точки тела, например диска, покзанного на рисунке 6.1, совершает поворот на угол. Приписавнаправление вдоль оси вращения, связанное с направлением вращения правилом правого винта, можем рассматривать бесконечно малый поворот как вектор.

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью вращения, которая определяется соотношением:

, (6.1)

а быстрота изменения – угловым ускорением:

. (6.2)

Каждая точка вращающегося тела, находящаяся на расстоянии rот оси вращения, движется с линейной скоростьюи нормальным ускорением. Быстрота изменения модуля линейной скоростиvхарактеризуется тангенциальным ускорением.

Мерой инертности тела при вращательном движении является его момент инерции . По определению, каждый элемент объема тела, имеющий массу(плотность тела) и находящийся на расстоянии rот оси вращения, обладает моментом инерции

. (6.3)

Соответственно момент инерции тела объёмом Vопределяется формулой:

(6.4)

Вычисление момента инерции по формуле (6.4) для неоднородного тела сложной формы может оказаться весьма сложной математической задачей. Ее решение нередко облегчается при использовании теоремы Штейнера, согласно которой момент инерцииIтела относительно произвольной осиОО(например, куб на рисунке 6.2) равен сумме его момента инерцииI₀относительно оси , параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы телаmна квадрат расстоянияdмежду осями:

. (6.5)

Экспериментальная проверка этого соотношения является одной из целей данной работы.

Действие некоторой силы на тело при вращении вокруг неподвижной оси(рис. 6.3) определяется ее моментом относительно данной оси, который по определению равен:

(6.7)

где– перпендикулярная осиZсоставляющая радиус-вектора, проведенного из любой принадлежащей осиZточки в точку приложения силы;

– составляющая силы, перпендикулярная плоскости, образованной осьюZи.

Составляющие силы , перпендикулярная осиZ,и, параллельная ей, момента силы относительно осиZне создают.

При рассмотрении вращательного движения тела аналогом его импульса при поступательном движении является момент импульса . По определению момент импульса материальной точки, расположенной в точке с радиус-векторомна расстоянииот оси вращения и обладающей импульсом(аналогично тому, как это показано на рис. 6.3),

, (6.8)

где – составляющая импульса, перпендикулярная плоскости, образованной осьюZи.

Твердое тело можно рассматривать как систему Nжестко связанных материальных точек с моментами импульсау каждой. Момент импульса тела в этом случае определяется как, и можно доказать, что

, (6.9)

где – момент инерции тела;

– вектор угловой скорости тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения (уравнение движения или аналог второго закона Ньютона для вращательного движения) имеет вид:

. (6.10)

В частном случае для абсолютно твердого тела, у которого I=const

. (6.11)

Уравнение (6.11) является следствием основных положений классической механики применительно к вращательному движению абсолютно твердого тела, и его экспериментальная проверка является второй целью настоящей работы.