Контрольные вопросы

1. Что такое момент инерции? Чему равен момент инерции материальной точки, системы материальных точек?

2. Что называется моментом инерции твердого тела? Как вычисляется эта величина для тел произвольной формы?

3. Выведите формулы для расчета момента инерции кольца, диска, цилиндра, шара, стержня относительно оси симметрии этих тел.

4. Сформулируйте теорему Штейнера.

5. Что представляют собой гармонические колебания? Какие колебания называются свободными, затухающими, вынужденными?

6. Что такое резонанс, при каких условиях он достигается? Приведите примеры резонанса в технике. Полезно или вредно это явление?

7. Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры гармонических осцилляторов.

8. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

9. Выведите динамическое уравнение свободных гармонических колебаний.

10. Запишите динамическое уравнение затухающих колебаний, и его решение.

11. Запишите динамическое уравнение вынужденных колебаний. Поясните его особенности.

12. Докажите, что момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через его центр и две противоположные грани, равен

13. Докажите, что крутильный маятник является гармоническим осциллятором.

14. Выведите формулу периода крутильного маятника.

15. Что такое вращающий момент? Чему он равен при крутильных колебаниях?

16. Что представляют собой упругие деформации? Каким законом динамики они описываются в случае деформаций «растяжения-сжатия», кручения?

17. Назовите виды деформаций.

18. Запишите закон Гука с использование модуля Юнга и понятия относительной деформации. Как коэффициент жесткости связан с модулем Юнга?

19. Как вычисляется потенциальная энергия упруго деформированного тела при деформациях «растяжения-сжатия», кручения?

20. Объяснить, почему в работе необходим эталон. Что он собой представляет?

5. Определение момента инерции тел с помощью маятника Максвелла

4. изучение понятий, законов и методов, используемых при описании плоского движения твердых тел, ознакомление с методом экспериментального определения момента инерции, а также проверка закона сохранения энергии в механике с помощью маятника (диска) Максвелла.

21. экспериментальная установка с встроенным миллисекундомером.

Краткая теория

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела двигаются параллельно одно плоскости. Плоское движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного движения, происходящего со скоростью центра масс и вращательного вокруг оси, проходящей через этот центр, с угловой скоростью.

Рассмотрим в качестве примера скатывание тел с наклонной плоскости (рис. 5.1). Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касанияАравна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости на тело. Эти силы сводятся к силе реакции опорыи к касательной силе трения. При отсутствии скольжения силаесть сила трения покоя.

Рис. 5.1 – Плоское движение тела, скатывающегося с наклонной плоскости

Запишем уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс С:

,

где I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр массС,

М_с– момент внешних сил относительно осиС.

Момент внешних сил создает только сила трения, так как другие силы (и) проходят через центр тяжести тела.

Момент силы трения (r – радиус тела), а поэтому

. (5.2)

Еще одно уравнение дает Второй закон Ньютона:

. (5.3)

Учитывая, что и разрешив полученные уравнения относительноа, получим:

. (5.4)

Вслучае маятника (диска) Максвелла (рис. 5.2), представляющего собой тело, обладающее симметрией вращения, висящего в горизонтальном положении на двух намотанных на него нерастяжимых невесомых нитях, а затем опускающегося под действием силы тяжести, угол. Тогда из уравнения (5.4) получим:

(5.5)

Учитывая, что движение спускающегося на нитях тела равноускоренное, при чем начальная скорость равна нулю, используем формулу .из уравнения (5.5) получим

. (5.6)

Эту же формулу можно получить более простым путем из закона сохранения энергии в его механической форме. Этим законом здесь можно пользоваться даже при наличии силы трения. При отсутствии скольжения, т.е. если считать нить нерастяжимой, сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения. Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а поэтому приложенная к ним сила трения покоя работы не производит.

В верхней точке тело обладает потенциальной энергией в поле тяжести земли . Эта энергия в нижней точке переходит в кинетическую энергию, которая складывается из энергии поступательного и вращательного движения. Таким образом, получим:

. (5.7)

Учитывая, что , а также то, что при равноускоренном движении, из формулы (5.7) получим уравнение (5.6).

В работе используется маятник со сменными кольцами. Из определения момента инерции

(5.8)

следует, что эта величина аддитивна. Это означает, что момент инерции тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси определяется по формуле:

, (5.9)

где m– масса цилиндра,

r– его радиус.

Момент инерции полого цилиндра (кольца) определяется по формуле:

, (5.10)

где m– масса полого цилиндра (кольца),

r₁– внешний радиус,

r₂– внутренний радиус.