4. Определение момента инерции твердого тела при помощи крутильного маятника

3. изучить законы крутильных колебаний, измерить момент инерции твердого тела, имеющего форму параллелепипеда, относительно различных осей вращения.

21. экспериментальная установка, встроенный миллисекундометр.

Краткая теория

Гармоническим осциллятором называется колеблющаяся система, обладающая одной степенью свободы и совершающая колебания под действием «квазиупругой» силы, пропорциональной смещению из положения равновесия (подобно силе упругости в законе Гука)

.(4.1)

Гармонические колебания осциллятора описываются уравнением вида:

, (4.2)

где – вторая производная смещения осциллятораx из положения равновесия по времени,

– циклическая, или круговая частота колебаний.

Примером гармонического осциллятора является крутильный маятник. Он представляет собой массивное тело, подвешенное на тонкой упругой струне (нити). При повороте маятника из положения равновесия на некоторый малый угол вокруг оси, совпадающей с нитью подвеса, происходит закручивание этой нити. При деформации кручения в нити возникает упругая сила, возвращающая маятник в положение равновесия, и создающая вращающий момент, который определяется соотношением, аналогичным закону Гука для упругих деформаций типа «растяжения-сжатия», а именно

, (4.3)

где D– коэффициент пропорциональности, или постоянная, характеризующая момент упругих сил, аналогичная жесткостиkпружины;

 – малый угол закручивания, характеризующий величину деформации.

Предоставленный самому себе, маятник совершает крутильные колебания. Затухания таких колебаний обычно малы, что делает их удобными для измерения различных физических величин, например момента инерции твердого тела произвольной формы.

Для незатухающих колебаний справедливо уравнение динамики вращательного движения:

, (4.4)

где – угловое ускорение крутильного маятника;

I_м– момент инерции маятника относительно оси, совпадающей с нитью подвеса.

По определению

, (4.5)

поэтому

. (4.6)

Используя равенство (4.3), можем получить уравнение:

, (4.7)

или

, (4.8)

где – циклическая частота гармонических незатухающих колебаний крутильного маятника.

Как видно, уравнение (4.8) имеет вид, аналогичный (4.2), т.е. описывает гармонический осциллятор.

Период Тгармонических колебаний, как известно, связан с циклической частотой:

. (4.9)

Поэтому Тможно рассчитать так:

. (4.10)

Методика проведения измерений и описание экспериментальной установки

Принципиальное устройство крутильного маятника FRM-05 показано на рисунке 4.1.

На основании 2, оснащенном ножками, регулирующими высоту, прикреплен миллисекундомер 1. В основании 2 закреплена колонка 3, на которой при помощи винтов закреплены кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4, 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7. На кронштейне 5 закреплена стальная плита 8, которая служит основание фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и угольной шкале 11. Стрелка на угольной шкале указывает положение электромагнита относительно фотоэлектрического датчика.

7

9

8

11

4

3

10

5

6

1

2

Рис. 4.1 – Крутильный маятник FRM-05

Конструкция рамки позволяет закреплять грузы различных размеров с помощью подвижной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками.

На передней панели миллисекундомера 1 расположены кнопки переключателей «СЕТЬ», «СБРОС», «ПУСК» и «СТОП», а также цифровые индикаторы измерителя числа полных колебаний «ПЕРИОДЫ» и времени этих колебаний «ВРЕМЯ, С».

Как следует из (4.10) момент инерции маятника I_мравен

. (4.11)

Однако момент инерции маятника I_мзависит как от момента инерции телаI, так и от момента инерции самой рамкиI₀:

. (4.12)

Если колеблется только свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен:

. (4.13)

Из уравнений (4.11), (4.12), (4.13), исключая неизвестную величину D, найдем момент инерции тела относительно выбранной оси вращения:

. (4.14)

Для вычисления Iнеобходимо измерить периоды колебанийT₀иTсоответственно для свободной рамки и рамки с телом. Момент инерции свободной рамкиI₀можно вычислить, если воспользоваться эталонным телом с известным моментом инерцииI_э. Тогда, согласно (4.14),

, (4.15)

где Т_э– период колебаний рамки с закрепленным в ней эталонным телом.

В качестве такого эталона удобно выбрать куб. Момент инерции куба относительно оси вращения, проходящей через его центр параллельно любой грани куба, как известно, равен:

, (4.16)

где m– масса куба,

а– размер грани куба,

– плотность материала, из которого изготовлен куб.

Вычислив I_э по формуле (4.16), можно измерить период колебаний Т₀ и Т_э свободной рамки и рамки с кубом соответственно, а затем определить искомую величину I₀ из соотношения (4.15). По известным I₀, Т₀ и измеренному Т найдем искомый момент инерции тела I по формуле (4.14).