Закатов Вища геодезія 1

или

Возьмем интеграл от момента прохождения ИСЗ через перицентр т до момента і, соответственно O' изменится от нуля до О. Имеем

Подставляя полученнне вираження в интеграл (108.43), найдем

470

назнвается средним движением, и вместо зксцентрической аномалии Е рассматривают величину средней аномалии М

Тогда уравнение Кеплера запишется как

Заметим, что величина п определяет период невозмущенного движения ИСЗ

в~ У Г '

Таким образом мн получаем зллиптическую орбиту невозмущенного дви­ жения ИСЗ и закон движения по ней. Векторн си / определяют ориентацию орбитьі в пространстве.

В соответствии с рис. 184 нетрудно убедиться, что

Часто вместо истинной аномалии d пользуются так назьіваемьім аргументом широтьі и

линии апсид (а, стало бнть, перигея и апогея) теряет смьісл, а также теряют смнсл угльї д и ©, отсчитьіваемне от и до перигея, в качестве основной угловой переменной пользуются аргументом широтн и (при І Ф 0). Теперь имеем все шесть постоянньїх, определяющих некоторую зллиптическую орбиту невоз­ мущенного движения ИСЗ. При конкретних начальних данннх зти шесть постоянннх принимают конкретнне значення и називаются злементами орбитн: р — параметр орбитн, которнй определяет размерн зллипса; вместо пара­

метра р часто употребляется большая полуось а, а иногда связаннне с ней

зкватора; © — угловое расстояние перицентра (линии апсид) от узла (от линии узлов); т — момент прохождения ИСЗ через перигей.

471

9ти величини особенно полезньї при изучении зволюции зллиптической орбитн под действием возмущений. Вместо т, как уже говорилось внше, иногда употребляется в качестве злемента величина М 0 (средняя аномалия в зпоху), которая более универсальна, чем т, так как сохраняет физический смьісл при круговом движении, когда т не имеет смьісла.

Приведем полное решение задачи о невозмущенном движении ИСЗ, т. е.

Составляющие скорости можно получить прямим дифференцированием формул (108.59), но можно исходить из следующих соображений. Компоненти скорости, радиальная и трансверсальная, равнн

vr = г = — •sinO = Л [ — «е-зіпО

с последующей заменой 0і из вираження (108.39), а вторая — из (108.39) с подстановкой вместо г его значення (108.38).

Направляющие косинуси радиуса-вектора г, равнне

определяются формулами (108.59), а направляющие косинуси трансверсального направлення — формулами

472

Теперь имеем

-f- (1 + e • cos 0) • cos u • sin i]

(108.62)

Формулн (108.59) и (108.62) дают общее решение задачи о невозмущенном движении ИСЗ, которое зависит от шести произвольних постоянньїх — злементов орбитн невозмущенного движения. Приведем сводку формул и схему определения елементов орбитн невозмущенного движения по начальним данним.

Пусть в момент t 0 (начальний момент времени или «зпоха») заданьї вели­

чини х 0, у 0, z0, х 0, у 0, z 0. Определим злементн р, е, У , со, і и т. Формулн (108.21) дают значення постоянннх площадей

r<,= Vxl + Vl+tl^Vll+i\l

}

473

Ф о р м у л и (1 0 8 .3 4 ) о п р е д е л я ю т н а ч а л ь н о е з н а ч е н и е и с т и н н о й а н о м а л и и

Из (108.44) находим начальное значение зксцентрической аномалии

Таким образом, может бить задано полное решение задачи невозмущенного движения ИСЗ.

Если ось х направить в восходящий узел орбитн, то уравнения (108.59) примут вид

Z= Г •sin M‘Sin і j

Вто же время, в соответствии с рис. 184,

х= r- cos б • cos (й — а)

Уравнения (108.70) и (108.73) дают связь сферических координат а , б, г спутника с злементами орбитн.

2. Возмущения в движении ИСЗ

Гравитационное поле Земли в действительности не является полем центральной силн из-за несферичности Земли и неравномерности распределения масс внутри нее. Кроме того, на движение спутника действуют притяжения

474

Луньї и Солнца, сшш сопротивления атмосфери солнечного давлення и т. п. В результате действия зтих возмущающих сил действительная орбита является не коническим сечением, а сложной пространственной кривой. Возмущения делятся на периодические и вековьіе. Периодические возмущения влияют на мгновенное положение возмущаемого тела и, в свою очередь, подразделяются на короткопериодические и долгопериодические. Вековьіе возмущения пропорциональньї времени. Они больше воздействуют на форму и ориентацию орбитн в пространстве. Возмущение, обусловленное сжатием центрального тела, имеет вековой характер.

Задача исследования возмущенного движения достаточно сложна. Наиболее нлодотворной идеей для изучения возмущенного движения является идея оскулирующего движения. Она заключается в приближении дуг действительной орбитьі (возмущенной орбитьі) дугами невозмущенной орбитн. Такая невоз-

орбите определяется величиной возмущающей силн. Как только действие силн прекратится, орбита станет кеплеровнм зллипсом, но другим. Построив такие аллипсн для моментов t-\- Af, t + 2 Д£ и т. д., получим непрернвное изменение злементов под действием возмущающей силн. Орбита, таким образом, получается как набор точек, каждая из которнх лежит на определенном оскулиру-

рения на оси r, s, w (рис. 185). В зтой системе координат начало отсчета расиоложено в центре масс спутника, а направление осей вибрано следующим образом: г направлена по радиусу — вектору, s лежит в плоскости орбитн

475

и направлена под углом 90° к радиусу-вектору в направлений трансверсальной скорости, w направлена по нормали к плоскости орбитьі в направлений вектора кинетического момента.

Уравнения связи координатньїх систем х, у, z и r, s, w (без учета сдвига)

Для полного определения оскулирующей орбитн необходимн 6 дифференциальннх уравнений первого порядка

В курсах небесной механики (например, см. М. Б. Балк «Злементн динамики космического полета», «Наука», 1965 г.) приводятся виводи зтих урав­ нений

Bo многих практически встречающихся случаях возмущающее ускорение не зависит от времени t, и целесообразно за независимое переменное принять аргумент широти и.

Так как

476

то

Данную систему решают численно. Рассмотрим частнне случаи учета возмущений:

1. Учет сжатия Земли ( б е з в л и я н и я а т м о с ф е р и и д р у г и х с и л ).

Как следует из формули (108.4), возмущающий потенциал силовой функ-

477

ний (108.84), получим систему, определяющую зависимость оскулирующих злементов от и. При зтом, считая в первом приближении r *=» 1, имеем

где гср — среднее расстояние спутника.

478

Другие алементьі орбитн (р , і, е, т) из-за сжатия Земля испьітьівают до-

вольно значительнне периодические изменения. Однако окончательньїе изменения зтих злементов орбитн за один полннй оборот весьма малн.

Сжатие Земли оказнвает влияние на положение орбитн в пространстве; на форму и размерн орбитн сжатие Земли практически не влияет. Оновнзнвает вращение восходящего узла орбитн в направлений, противоположном напра­ вленню вращения спутника; в течение небольших промежутков времени (в случае близких спутников Земли — до нескольких суток) зто вращение можна считать равномерннм. Для полярного спутника не происходит вращения узла; для зкваториального спутника зто вращение может составлять около 9 оборотов в сутки. Перицентр спутника вращается в плоскости орбитн практически равномерно, причем при і </ 63° — в направлений движения спутника, а при

чина 0) может достигать 17° за сутки. Чем больше полуось а спутника, тем медленнее будут вращаться плоскость орбитн и большая полуось орбитн.

2. Влияние сопротивления атмосфери Земли на движение спутника. Движение спутника Земли происходит на таких висотах, где плотность

атмосфери чрезвнчайно мала. Так, например, плотность атмосфери на внсоте 240 км меньше плотности атмосфери на уровне моря в 10і0 раз. Тем не менее от оборота к обороту тормозящее действие атмосфери накапливается и заметннм образом меняет орбиту ИСЗ. Компоненти возмущающего ускорения равнн

где Vг — радиальная скорость; Vn — трансверсальная скорость.

Величини Vr ш Vn в зависимости от злементов и истинной аномалии й

Таким образом, сопротивление атмосфери не приводит к изменешш поло­ ження плоскости орбитн спутника. Если учесть формули (108.82), (108.60), (108.94), (108.95), получим

№