Закатов Вища геодезія 1

A — азимут вертикальной плоскости, в которой расположен данньїй отрезок линии нивелирования.

Отсюда следует, что в каждой точке хода астрономического нивелирования должнн бнть известнн астрономические и геодезические координати. Иначе говоря, если ход астрономического нивелирования расположен по ряду триангуляции 1 класса, то на каждом пункте, а в большинстве районов и между ними, на пунктах 2 и даже 3 класса должньї вьшолняться точньїе астрономи­ ческие определения широт и долгот.

При а с т р о н о м о - г р а в и м е т р и ч е с к о м н и в е л и р о в а -

н и и уклонения отвесннх линий 'б' при вьічислении интеграла J ftds определяются по методу, изложенному в § 66. Для атого необходимо иметь сравнительно редкую сеть совмещенньїх астрономических и геодезических пунктов, для которьіх величини £аг>т]аг и ©аг вьічисляют по формулам (65.17) и (65.19). Тогда уклонения отвесннх линий в точках, расположенннх между астроно- мо-геодезическими пунктами, получаются путем интерполирования с привлечением результатов гравиметрической сьемки. В атом случае уклонения отвеса между астрономо-геодезическими пунктами могут бнть внчисленн как угодно часто. Точнеє говоря, уклонения отвесннх линий в атом случае могут бнть весьма точно проинтерполированн между редкими астрономо-геодезическими пунктами. Поатому для астрономо-гравиметрического нивелирования инте-

грал j fl'ds может бнть внчислен точно, без какого-либо предположения о ха­ рактере изменений 6’.

Из сказанного ясно внтекает преимущество астрономо-гравиметрического метода нивелирования по сравнению с астрономическим методом. Метод астро­ номо-гравиметрического нивелирования позволяет без существенннх дополнительннх затрат труда получать внсотн квазигеоида с достаточной строгостью и точностью. Ошибки определения внсот по атому методу могут бнть (при соответствующей, реально внполнимой программе полевнх измерений) доведенн до весьма малнх величин.

Идея астрономо-гравиметрического нивелирования бнла предложена Ф. Н. Красовским и разработана М. G. Молоденским, под руководством которого внполненн обширнне теоретические исследования по обоснованию и анализу различннх сторон атого метода.

1. Формули астрономического нивелирования

Приведем внвод формули астрономического нивелирования, впервне полученной М. С. Молоденским.

Пусть дана на поверхности Земли точка М , имеющая геодезическую вн-

340

Получим проекцию ломаной М кМ х на отвесную линню, равную отрезку

Из формули (73.8) следует, что превьішения точек земной поверхности относительно референц-зллипсоида могут определяться на основе астрономических и геодезических измерений, без привлечения гравиметрических дан- н н х ,т . е . чисто геометрически. Дей­ ствительно, dh — превьішение, получаемое непосредственно из геометрического нивелирования, ds —

злемент линейного расстояния, получаемого из триангуляции, а 9 — угол, внчисляемнй как функция астрономических и геодезических координат по формуле (65.19).

Если имеем ряд последовательннх передач внсотьі от точки М через пре-

Полученная формула практического значення не имеет; для ее использования необходимо бнло бьі на каждой станции нивелирования иметь астрономические и геодезические координати.

Для решения задач вьісшей геодезии необходимо знать висоту Н для каждого пункта триангуляции (полигонометрии) внсших классов; для которнх нормальнне висоти заранее определенн из геометрического нивелирования. Следовательно, для внчисления Н по формуле Н = Н у + £ необходимо получить формулу для внчисления приращений аномалий висот d£, или, иначе, приращений висот квазигеоида над референц -зллипсоидом.

Но если из чисто геометрических измерений оказалось возможннм строго виразить сумму слагаемнх Н у + £ = Н у то каждое из зтих слагаемнх может

341

бить определено только с дополнительншм использованием теории нормального поля Земли и привлечением гравиметрических измерений. Зто понятно, так как

УУ

Последнее слагаемое правой части вираження (73.12) перепишем так:

Тогда внражение (73.13) преобразуется

Тогда на оснований (73.20) и (73.12) искомое внражение (73.11) получится

342

В результате интегрирования (73.23) вдоль некоторого астрономо-геодезиче- ского хода АВ долучим искомую формулу астрономического нивелирования висот квазигеоида

Как видим, долученная точная формула астрономического нивелирования для общего случая отличается от приближенной (73.2) добавочньїм членом

учитнвающим непараллельность уровенних поверхностей

в пунктах нивелирования поверхности квазигеоида в соответствующих его точках. Зтот член зависит от (g — у), т. е. от аномалий сили тяжести; ото подтверждает, что поверхность квазигеоида относительно референц-зллипсоида из одних астрономо-геодезических измерений не определяется.

В отношении определения главного члена формули — j •d'dsH из астроно­ мо-геодезических измерений можно повторить лишь сказанное више, что с некоторнм приближением он может бить вичислен при большой дополнительной затрате труда на астрономические наблюдения на каждом пункте триангулядии через 10—20 км в неаномальном районе и через 3—5 км — в аномальном.

От зтого основного недостатка свободен метод астрономо-гравиметриче- ского нивелирования, внвод формули которого приводится далее.

2. Формули астрономо-гравиметрического нивелирования

Основная идея астрономо-гравиметрического нивелирования пояснена више. Исходной формулой будет служить (73.24). Следовательно, задача сводится

к определению интеграла JOardsH на оснований астрономо-геодезических

весной линии в точке С, внзванньїе аномалиями сили тяжести на поверхностях <J и 2 соответственно; ДО — составная часть уклонения отвеса, внзванная несовпадением референц-зллипсоида с общим земним зллипсоидом (составляющая угла между зллипсоидами во взятом направлений).

Область о установим таким образом, чтобн влияние аномалий на О остальной части земной поверхности, т. е. Of» могло бить по линии А В признано практически изменяющимся линейно, нелинейная часть изменения О в области о должна бить определена при помощи аномалий сили тяжести в зтой области.

Сдедовательно, гравиметрические даннне области а используются для

нелинейной интерполяции уклонения 0^ между точками А и В; астрономо-гео- дезические уклонения в точках А ж В служат для линейной интерполяции Of влияния аномалий области 2 и влияния ДО угла между референц-зллип- соидом и гравиметрическим зллипсоидом.

343

Пусть на рис. 144 точки А 0 и В 0 — проекции точек А и В на референц-зл- липсоид, принимаемьій за плоскость. Построим прямоугольную систему коор-

I

І

344

или

А В

Так как, согласно (73.25),

Полученное внражение (73.36) и является формулой астрономо-гравиметри- ческого нивелирования, полученной Молоденским еще в 1937 г.

Первнй член (73.36) представляет собой формулу астрономического ниве­ лирования (без учета непараллельности уровенннх поверхностей), второй член — поправку за нелинейность изменения уклонения Ф и различие в пара­ метрах общего земного зллипсоида и референц-зллипсоида.

лам Стокса и Венинг-Мейнеса, т. е. по формулам (62.26) и (64.8) или в горннх районах по формулам Молоденского.

Практически вьічисления по формуле (73.36) производят сприменением специальной зллиптической палетки. Формулу (73.36) часто используют в виде

клон квазигеоида над референц-зллипсоидом на линии АВ, внраженннй в се­ кундах дуги.

Для внчисления висот квазигеоида необходимо знать висоту его относительно референц-зллипсоида в одной из точек. Зта висота определяется обнчно в начальном пункте триангуляции способом, описанннм в главе XIII. Далее, определяя разности висот между последовательно расположенннми точками квазигеоида по формуле (73-36), получают профиль его поверхности относительно поверхности референц-зллипсоида. Имея ряд таких профилей, составляют карту висот квазигеоида.

Остановимся на зависимости между изменениями висот квазигеоида (или геоида) и уклонений отвесннх линий.

На рис. 145 изображена гора в виде равнобедренного треугольника. Избнток массн, обусловленннй наличием горн, очевидно, внзовет уклонения отвес­ ннх линий по направленню к горе. Поверхность зллипсоида и нормали к ней Изображенн сплошннми линиями, а пунктиром показан профиль квазигеоида (или геоида) и направлення отвесннх линий. В точках а и е, достаточно удаленннх от горн, влияние ее массн не ощущается, позтому в данннх точках Нормаль совпадает с отвесной линией. Ближе к горе отвеснне линии начинают

345

уклоняться, в результате чего поверхность квазигеоида отступает от поверхности зллипсоида; у подножия горн изменение кривизни его сечения происходит наиболее сильно, зтому соответствуют значительнше уклонения отвесннх линий в точках Ь и d. Отступление квазигеоида от зллипсоида, характеризующееся на рис. 145 отрезком ссг, может бить невелико, но зтому м а л о м у отступлению могут соответствовать б о л ь ш и е уклонения отвесннх линий.

И, наоборот, в точке с, являющейся вершиной волнн квазигеоида, направление отвесной линии совпадает с нормалью к поверхности зллипсоида. Таким образом, приходим к виводу, что м а л н е о т с т у п л е н и я к в а з и ­ г е о и д а о т з л л и п с о и д а м о г у т в и з в а т ь б о л ь ш и е у к л о ­ н е н и я о т в е с н н х л и н и й и, н а о б о р о т , б о л ь ш и е о т с т у ­ п л е н и я к в а з и г е о и д а о т з л л и п с о и д а м о г у т н е в н з ь і - в а т ь з а м е т н н х у к л о н е н и й о т в е с а .

Существеннн характер и закономерности отступлений квазигеоида или геоида от поверхности зллипсоида, конечно, при правильно подобранннх его

Азия Атлантический

Рис. 146

размерах и ориентировке. Внше отмечено, что общие очертания фигурн квази­ геоида не совпадают с общим рельєфом земной поверхности. Возникает вопрос, каков все же характер отступлений квазигеоида или геоида от зллипсоида? Не существует ли крупних волн геоида? Немецкий геодезист Гельмерт в 90-х годах прошлого столетия пришел к виводу, что общих отступлений геоида от зллипсоида не существует. Несколько раньше профессор Московского университета Ф. А. Слудский пришел к противоположному заключению: он указнвал на существование общих, систематических отступлений геоида от зллипсоида. По исследованиям Ф. А. Слудского, повншения геоида над зллипсоидом происходят в океанах, а пониження — на материках. Позднейшие исследования подтвердили виводи русского ученого: сейчас доказано существование общих громадннх волн геоида, охватнвающих целне континенти и океани, отступлениям геоида от зллипсоида сопутствуют общие систематические уклонения отвесннх линий. Характерно для отступлений геоида от зллипсоида медленное

346

их изменение на огромньїх расстояниях, исчисляемьіх в тисячах километров. Поверхность геоида, изменяя свою кривизну по различним сечениям, в с ю д у о с т а е т с я в и п у к л о й. Наибольшие отклонения геоида от зллипсоида около 150 м. На рис. 146 приведен профиль геоида, зкстраполированннй на земной зкватор. На рис. 147 показано существование больших волн геоида, изменяющихся по долготе. Окружность изображает зкватор земного зллип­ соида. Отложим от точек зкватора под соответствующими долготами величини отклонений геоида от зллипсоида и соединим плавной кривой, которая будет сечением геоида по зкватору *. Из рис. 147 следует, что в общем зта кривая приближается к зллипсу. Зто обстоятель-

зллиптичности зкватора, причем била принята долгота наибольшего меридиана 10° и і — 1 : ЗО 000 (зти даннне принятн на оснований соответствующей обработки материалов градусних измерений).

Кроме указанннх о б щ и х б о л ь ш и х волн геоида, которне внзванн причинами, сказнвающимися во всех точках земного шара, существуют мелкие волнн геоида (или квазигеоида). Они внзванн местннми причинами, действие которнх ограничено небольшой областью. Зтими местннми причинами могут бить горнне хребти, резкое падение рельефа в береговой полосе и т. д. Местнне отступления геоида являются малими, но вследствие большого изменения кри­ визни уровенной поверхности они могут внзнвать большие уклонения отвесннх линий до нескольких десятков секунд. Примеров зтому много, приведем некоторне из них. На Западном Кавказе уклонения £ по меридиану на расстоянии около 300 км изменяются от +27 до —20". На меридианном профиле около г. Орджоникидзе уклонения І колеблются в пределах от + 35 до —18" на расстоянии около 50 км; разность уклонений на таком сравнительно малом расстоя- НИИ доходит до 53". В районе озера Байкал разности уклонений отвесннх ли­ ний отдельннх пунктов, расположенннх на разннх берегах озера (60 км),

* То, что профиль геоида на рис. 147 не везде вьшуклнй, не противоречит сказанному вите, а обьясняется неравенством горизонтального и вертикального масштабов.

347

понимать совокупность задач по переходу от непосредственно измеренньїх ве­ личин на поверхности Земли к соответствующим им величинам на поверхности относимости — обнчно на поверхности принятого референц-зллипсоида.

В отдельньїх случаях может возникать и обратная задача: переход от известннх величин на поверхности относимости на какую-либо другую поверхность и, в частности, на земную. По существу, если известньї необходимне исходнне даннне, нет различий между прямой и обратной задачами.

Редуцирование непосредствешшх измерений на поверхность зллипсоида необходимо для того, чтобьі иметь возможность вьіполнить совместную математическую обработку результатов измерений, пользуясь свойствами и гєоме-

ких задач могут служить: решение сферических и сфероидических треугольников, вьічисление площадей, геодезических координат пунктов и т. п.

Условимся, что поверхность, на которую должньї редуцироваться непосредственнне измерения, известна, т. е. заранее определена; определено также и положение зтой поверхности в теле Земли.

Математически не имеет значення, какая поверхность и, если говорить об зллипсоиде, какие его размерьі принятн в качестве поверхности относимости; но практически важно, чтобьі поверхность относимости имела наименьшие отступления от реальной Земли и бьіла, по возможности, параллельна уровенньїм поверхностям реальной Земли. Тогда внчисленньїе на поверхности относимости величиньї будут мало отличаться от их значений на земной поверхности. При малости расхождений между обеими поверхностями будут меньше (по числовой величине) и редукции. Зто весьма существенно, так как при малости реДукций упрощаются вьіводьі формул, облегчаются практические внчисления; исходнне аргументи для внчисления редукций могут определяться менее точно.

Заметим попутно, что редуцирование непосредственно измеренннх величин на поверхность зллипсоида является способом упрощения вичислений, позвоЛяющим уменьшить число независимнх аргументов с трех (В, L, Н ) до двух (В, L). Можно построить теорию вичислений геодезических сетей, внражая Иоложение каждой точки функцией трех координат (В, L и Н) или прямоугольЧьк пространственннх координат (X, Y , Z). Тогда необходимость решения больШинства редукционннх задач отпала би, но зато уравнительнне внчисления * решение различннх внчислительннх геодезических задач существенно усложИились би. Позтому проще и удобнее производить редуцирование измеренннх величин на поверхность зллипсоида и внполнять последующую математическую Обработку результатов измерений на зтой поверхности, особенно при малих по Оравнению с радиусом Земли величинах Н — геодезических висот.

349