Закатов Вища геодезія 1

IV.

основи

КОСМИЧЕСКОЙ

ГЕОДЕЗИИ

спутника Земля началось активное освоение человеком космического пространства. Последующее бурное развитие ракетной техники я космонавтнкн поста­ вило перед геодезией достаточно сложньїе я своеобразньїе задачи. Так, например, возникла чисто практическая необходимость в развитии единой системи координат на всю Землю, повьісились требования к точности совмещения начала и направлення осей государственной геодезической системи координат с цен­ тром масс Земли и ее осями инерции. Движение ракет и ИСЗ происходит в поле тяготения Земли и, следовательно, изучение характеристик зтого поля становится особенно важним. Большие скорости движения ракет и ИСЗ привели к необходимости создания нових средств измерений и методов их обработки. С другой сторони, сами спутники открнли большие возможности для решения чисто геодезических задач. В итоге возникло новое направление геодезии — к о с м и ч е с к а я г е о д е з и я .

Космическая геодезия изучает взаимное расположение точек земной поверхности и космических аппаратов, движущихся в гравитационном поле Земли, а также характеристики зтого поля с помощью космических средств. Решение задач космической геодезии основнвается на определении координат косми­ ческих аппаратов, по результатам измерения (в основном) направлений, расстояний и относительннх скоростей. Измерение направлений производится фотографическими и радиотехническими средствами. Расстояния и относительнне скорости измеряются радиотехническими средствами и лазерами.

Производя фотографирование ИСЗ на фоне звездного неба и фиксируя время наблюдения, определяют известннми астрономическими методами прямое восхождение а и склонение б ИСЗ. Некоторое отличие от обнчньїх в астрономии способов возникает в связи с различием угловой скорости движения ИСЗ и звезд. В итоге при фотографических способах измеряются углш между напра­ вленнями на звезду и на спутник. Роль углового зталона играет звездное небо, так как угловше расстояния между звездами известньї. Такой способ измерения углов не связан с отвесной линией, и в зтом его большое преимущество.

Из радиотехнических методов наибольшее применение получили методи

ивмерения радиальншх скоростей г и дальностей г. Измерение радиальншх ско­ ростей основано на зффекте Допплера. Передатчик, установленний на спутнике, излучает определенную зталонную частоту / 0. Принимаемая на наземной

460

станции частота / на оснований зффекта Допплера испнтнвает сдвиг частоти А/, зависящий от относительной скорости т спутника и наземной станции наблюдения. Если с — скорость света, а г — расстояние до спутника, то сдвиг частоти, внзванннй зффектом Допплера, составляет

поправки (за рефракцию, аберрацию, сдвиг частоти и т .п .). Точность наблюдений зависит от применяющихся измерительннх средств и от правильности введення в результати измерений зтих поправок. Принципиально точность наблюдений может бить доведена до дециметров в дальности и 1" в углах.

Определяя координати спутников Земли со станций, координати которих известнн, и со станций, координати которих не известнн, можно определить координати последних. И так как движение ИСЗ происходит в гравитационном поле Земли, то изучение в координатной форме зтого движения дает информацию о гравитационном поле Земли.

Математическое решение геодезических задач из наблюдений искусственннх спутников достаточно сложно. Здесь первоначально дадим лишь общие понятия об зтом методе, а более подробное — в последующих параграфах.

Если би Земля била шаром, то действие сили ее притяжения на материальние тела било би равно, согласно виводам § 56, действию сили притяжения материальной точки, имеющей массу Земли и расположенной в ее центре. Зто предположение означает, что ми пренебрегаем вторим и третьим членами фор­ мули для потенциала V в виде ряда (54.25), которне внражают влияние сжатия Земли и неравномерности распределения масс по долготе, т. е. полагаем, что

r= t > L . 1 R

В зтом случае движение спутника, после внвода его на орбиту, должно било би совершаться по закону Кеплера, т. е. по плоской кривой — зллипсу, в одном из фокусов которого находится центр Земли. Однако вследствие зллипсоидальности Земли орбита спутника претерпевает возмущения — отклоняется от плоской кривой; если использовать понятие «мгновенной орбитн», то можно сказать, что спутник движется по плоской орбите, но сама плоскость орбитн беспрернвно вращается и параметри ее изменяются. Зти отклонения — воз­ мущения поддаются аналитическому вираженню на основе закона всемирного тяготения, если учесть второй, третий и последующие члени разложения потен­ циала в ряд (54.25). Зтим самим определяется математическая зависимость между сжатием и зллиптичностью земного зкватора, с одной сторонній харак­ теристиками действительной орбитн спутника, с другой. Определяя зти харак­ теристики из непосредственннх наблюдений и используя указаннне зависимости, получаем возможность вичислить сжатие Земли и зллиптичность ее зкватора.

Для определения сжатия Земли из непосредственннх наблюдений движения спутника необходимо иметь: скорость вращения орбитн, полуось орбитн и наклон ее к плоскости зкватора. По зтим данньїм, а также по значенням большой полуоси земного зллипсоида, силе тяжести на зкваторе (определяемнм из гео­ дезических и гравиметрических измерений) и внчисляется сжатие Земли.

Внведенное из наблюдений искусственннх спутников сжатие характеризует зллипсоидность Земли в ц е л о м , т. е. должно рассматриваться как

461

дусних измерений и из гравиметрических наблюдений (при незавершенности мировой гравиметрической сгемки).

Оказнвается, что внвод сжатия Земли из наблюдений искусственннх спутников совершается с весьма большой точностью; зто — следствие того, что сжатие Земли вшзьівает весьма значительное влияние на орбиту спутника. Можно указать, что влияние с ж а т и я З е м л и на скорость вращения мгновенной орбитш спутника в 10 000 раз больше воздействия притяжения Луни и Солнца. Позтому влияние сжатия на орбиту спутника определяется из наблюдений уверенно и достаточно точно, а внчисляемое из зтих наблюдений значение сжатия Земли по точности должно бить поставлено на первое место. Внчисления сжатия из наблюдений спутников Земли определили его значение,

равное 29g26 '

При помощи искусственннх спутников может осуществляться геодезическая связь между точками, расположенннми на больших расстояниях, например, между геодезическими пунктами разннх материков. Такая геодезическая связь позволяет устанавливать различие в принятнх системах координат при необходимости перевнчислять координатн пунктов одной системн в другую.

Решение зтой задачи имеет большое научное и практическое значение. Обнчнне геодезические методм (триангуляция и полигонометрия) для указан-

линий базисов и направленнями на искусственннй спутник а, из вичис­

В данном методе искусственннй спутник Земли является как бн визирной целью, координати которой независимо определяются засечками с пунктов триангуляции обоих материков. Если не принимать во внимание ошибки наблю­ дений, то различие в значеннях внчисленннх координат спутника с обоих базисов будет характеризовать различие систем координат, т. е. влияние разностей параметров референц-зллипсоидов, принятнх при внчислении триангуляционннх сетей на обоих материках. Наблюдения спутника следует производить многократно.

Не останавливаясь на технике наблюдений искусственного спутника,

462

отметим лишь, что описанньїй метод требует одновременной видимости его с пунктов обоих базисов. Отсюда следует, что применение зтого метода возможно при сравнительно незначительннх расстояниях между материками. Нетрудно также сделать вьівод, что чем больше вьісота орбитьі спутника Земли, тем значи­ тельнее может бить расстояние между базисами. Точная фиксация времени при зтом необязательна.

Возможно при помощи ИСЗ решение и несколько иной задачи: по заданннм координатам двух пунктов А, В определить координати третьего пункта С, с которнм геодезическая связь обнчннми наземними методами затруднительна или невозможна. Производя о д н о в р е м е н н н е наблюдения искусственного спутника при нескольких его положеннях, легко устанавливаются связи между заданннми пунктами А и В и определяемнм пунктом С. Конечно, описанньш способом возможно определение многих пунктов. Последовательное построение образуемнх по описанной схеме фигур создает своеобразную гео-

можно иное построение с искусственннм спутником, назнваемое космической полигонометрией.

наблюдениями устанавливается определяемая геодезическая связь между пунктами триан­

гуляции, расположенннми на разннх материках. На рис. 133 контури А жВ схематически изображают два материка. Произведя одновременно наблюдения искусственного спутника с материка А в момент времени Т г, из вичислений получаем пространственнне координати спутника в зтот момент в системе координат триангуляции материка А. Произведя аналогичнне наблюдения с материка В , получаем координати спутника в системе координат триангуля­ ции второго материка в момент Т г . Но зная параметри движения искусствен­

Сопоставляя внчисленнне таким образом координати спутника с его коорди­ натами, полученннми из наблюдений с материка J5, получаем разности коор­ динат спутника, которне позволяют виявить различия в системах координат, принятнх в внчислениях триангуляций обоих материков. Конечно, зто очень схематическое обтьяснение с целью показать лишь основную идею — принцип метода; при более подробном рассмотрении зтой задачи рассуждения значительно сложнее, а решение ее основнвается на разделах математики и механики, обнчно внходящих за пределн программн дисциплин, изучаемнх втехнических вузах.

При зтом методе нет необходимости одновременно видеть спутник с обоих материков, позтому связь может осуществляться при любих расстояниях между материками. Существенное условие для применения зтого метода —

463

достаточно точное знание параметров орбитн и времени наблюдений с пунктов триангуляции на каждом материне. Отсюда следует, что искусственньїе спутники, предназначенньїе для геодезических целей, должньї иметь устойчивую и хорошо известную орбиту, а угловьіе измерения с пунктов триангу­ ляции на каждом материне для определения упомянутьіх координат спутника должньї сопровождаться точним определением времени наблюдений. Конечно, во время полета спутника должньї приниматься соответствующие радиосигналн.

Существуют и инне методи использования искусственннх спутников для геодезических связей материков. При соответствующих параметрах спутников и программе наблюдений их с Земли специальной аппаратурой м о г у т о п р е д е л я т ь с я и к о о р д и н а т и т о ч е к з е м н о й п о в е р х - н о с т и.

Таким образом, область использования искусственннх спутников Земли для геодезических целей достаточно обширна.

§ 108. Основи теории движения искусственного спутника Земли

Движение спутника по орбите происходит под влиянием поля тяготения Земли. Кроме того, играют роль и притяжение других тел, сопротивление атмосфери, световое давление и другие сили.

У скоренив g спутника, внзнваемое силой тяготения Земли, может бить определено через силовую функцию Земли V как

(108.1)

где г — вектор положення спутника в геоцентрической системе координат. Силовая функция Земли во внешней точке, определяемая суммарннм притяжением материальннх точек, составляющих физическое тело Земли,

равна

(108.2)

где dm — масса злементарного обьема в теле Земли; г — расстояние от центра зтого обьема до внешней точки; / = 6,670 X (1 ± 0,0007) 10“11 м3 кг- 1 с-2 єсть постоянная тяготения.

Интегрирование нужно вести по всему телу Земли, для чегонеобходимо знать закон распределения плотности внутри Земли. Так как зтот закон неизвестен, то в геодезии и небесной механике идут по другому пути — разлагают внражение для силовой функции (108.2) в ряд по сферическим функциям, представляя его, например, в следующем виде:

где ц = fM — гравитационннй параметр Земли; М — масса Земли; г,ф , І — сферические координати спутника; г 0 — средний радиус Земли; Ртп — полиномьі Лежандра; Стп, Smn — постояннне величини, зависящие от форми

464

1. Невозмущенное движение

Кеплер внвел закони движения планет вокруг Солнца, но они справедливн для любого тела, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой притягивающего тела, причем последнее должно обладать центральной симметрией распределения плотностей.

Закони Кеплера:

1.Орбитьі планет суть зллипсьі, в одном из фокусов которьіх находится Солнце.

2.Радиус-вектор каждой планети описнвает равнне площади в равньїе промежутки времени.

3.Отношение квадратов периодов обращения двух планет равно отношению кубов их больших полуосей.

Траектории движения небесних тел могут бить круговими, зллиптическими, параболическими или гиперболическими. Кроме тогогв поле центральной сили возможно еще радиальное движение (подмем по вертикали и свободное падение).

Пусть центральное тело расположено в начале координат иимеет массу М .

Спутник имеет бесконечно малую массу, и его положение задается вектором ?. Тогда действующая на спутник сила, отнесенная к единице массн, равна

В результате имеем систему трех дифференциальннх уравнений второго по­ рядки, решение которой зависит от шести произвольннх постоянннх.

Умножим уравнение (108.10) скалярно на 2г и получим

Внражение (110.16) назнвается интегралом знергии, а постоянная интег-

466

Дифференцируя зто внражение по t, полупим

и является плоскостью орбити. Умножив с векторно на г, полупим

с Х г = ---- (г Х г )Х г = - -^-гХ(гХг)

и, воспользовавшись известним векторним тождеством

где / — некоторьій постоянньш вектор, назнваемьш вектором Лапласа. Уравнение (108.28) назнвают уравнением Лапласа. Нетрудно убедиться,

что вектор с ортогонален вектору /, т. е.

Вектор с ортогонален плоскости орбитьі, а вектор / лежит в зтой плоскости

и определяет фокальную ось орбитьі. Умножив (108.28) скалярно на ги сложив все три получившихся уравнения, получим

из них, орбита єсть линия пересечения поверхности вращения второго порядка, задаваемой уравнением (108.30), и плоскости (108.23), в которой лежит фокаль­ ная ось зтой поверхности.

Так как движение происходит в плоскости (108.23), то удобно перейти к новой системе координат £, г\ , £, направив ось £ по вектору кинетического

момента с, а оси £ ит] расположив в плоскости орбитн, причем ось | направить

по вектору Лапласа /. Тогда переход от координат в системе х, у, z к координа­ там в системе |,т ] , t определится следующим образом:

(108.36)

1 Н— — • cos О

Н-

Введем обозначения

С2

т

( 1 0 8 .3 7 )

±_

а

468

параболической при е = 1, гиперболической при е > 1 -

и дает возможность найти зависимость угла Ф от времени.

Плоскость орбитн спутника, движущегося в центральном поле, проходит

значается через й. 9лементи а — большая полуось и е — ексцентриситет определяют форму и размерн орбитн. Время вводится посредством задания т — м о м е н т а п р о х о ж д е н и я п е р и г е я . Таким образом, а , е, і, й, о) + Ф и т могут рассматриваться как шесть независимнх злементов, которне полностью определяют орбиту и положение тела на орбите в любой момент времени.

Установим связь постоянннх интегрирования си / и злементов орбитн.

469