Если обозначить:
|
Р і = р і , |
9I = QU |
|
Рі+ Рч— |
Яі ~\~ Ч2 ~ Qz'i |
P i + |
P z + Р з — Р з5 |
Qi~\~ #2+ |
Чз = |
Qz\ |
P i + P z ~ \ - Р з |
Pn-1 = Pn-ii |
# 1 + # 2 + <?3 4" |
■ + |
Qn- 1 — |
/і = Lp,
l\ 4" ^2 — £ 2;
h + h + l3 = L3 I
^1+ ^ 2+ ^з4~ • • • 4~ ^rt-1 — £n-n
то уравнения (82.15) примут вид:
s2 — |
+ Р1 |
----Ь (?1 |
4“ -^1 |
|
|
|
ао |
|
|
|
53 = |
іі 4" Р%---- \~ Q2 і^(?2 4" P‘1 |
|
|
|
“0 |
|
|
(82.16) |
|
|
|
|
|
=4 — іі + ^3 “7 ~ 4“ Q 3 |
+ L z |
|
|
|
£1-0 |
|
|
|
Ьп —І1+ Р П - 1 |
Да |
■Qn-1 Д^2 4- Рп-і |
|
«о |
|
Уравнения (82.16) независимьі между собой, если рассматривать |
как |
неизвестную величину, подлежащую определению. Очевидно, зта система может рассматриваться как система независимьіх уравнений погрешностей, решение которьіх следует производить по способу наименьших квадратов. Зти урав
нения содержат три неизвестннх: | І5 — , Де2.
&о
Геометрически вираження (82.16) представляют собой уравнения градус них измерений для дуг А В г, А С Х, A D X, А Е х (см. рис. 160). В зтом легко убедиться, подставив в уравнения (82.15) значення козффициентов р, q и І.
Появление третьего неизвестного ^ понятно: уравнения (82.16) решаются по способу наименьших квадратов под условием 2 | 2 = min, или, иначе говоря, под условием наибольшего приближения искомого зллипсоида к гео-
иду. Но для зтого недостаточно |
определить только размерн зллипсоида, еще |
необходимо установить и в з а и м н о е |
р а с п о л о ж е н и е |
зллипсоида и |
геоида, т. е. соответствующим образом |
о р и е н т и р о в а т ь |
зллипсоид от- |
носительно геоида. Определив |
тем самим определим геодезическую широту |
первой точки дуги по формуле |
|
|
|
в х= фг — іі — 0,171" sin 2ВгН х. |
(82.17) |
Последним уравнением определяется направление нормали к поверхности зллипсоида относительно направлення нормали к геоиду в плоскости мери-
диана в начальной точне; тем самим определяется положение меридианног© сечения зллипсоида относительно меридианного сечения геоида при совпадении плоскостей обоих сечений.
Уравнения (82.16) решают по способу наименьших квадратов обнчннм
путем: составляют три нормальних уравнения с тремя неизвестньїми: е. |
Аа у |
Де2, из которих и определяют значення последних. Значення величин |
ч |
£ для |
остальннх пунктов внчисляют из уравнений (82.16). |
|
Ошибку единицьі веса вьічисляют по формуле |
|
|
(82.18) |
Очевидно, зта величина одновременно будет средним квадратическим зна- |
чением случайного м е с т н о г о уклонения отвесньїх линий в меридиане дан- |
ной дуги.
Внчисление размеров зллипсоида указанннм путем и его ориентирование в меридианной плоскости приводят к определению зллипсоида, наилучшим образом подходящего к геоиду по данной меридианной дуге.
Изложенннй метод обработки градусних измерений соответствует м е т о д у р а з в е р т н в а н и я . Действительно, в свободном члене уравнения (82.12) величина {В\ — В\) внчисляется по формуле (82.9) при помощи дуги s на зл-
липсоиде с размерами и сжатием а 0 и е\, тогда как длина дуги s, определяемая внражением (82.4), относится к искомому зллипсоиду с размерами а и е2. До разработки Красовским предложений о переходе к методу проектирования измереннне на земной поверхности расстояния приводились к уровню моря, т. е. редуцировались на поверхность геоида, полагая, что несовпадением геоида и наилучше подходящего к нему зллипсоида можно пренебрегать. Таким обра зом, в нашем виводе при внчислении (В°2—В і) дуга s, отнесенная к поверхности геоида, откладнвалась, р а з в е р т н в а л а с ь на другой поверхности — поверхности зллипсоида с параметрами а0 и е Внзнваемая зтим погрешность в свободном члене уравнения (82.12) зависит от приближенности принятнх ве личин а0 и е0° и от пренебрежения несовпадением геоида с искомнм зллипсоидом. При обработке больших дуг и вообще обширннх астрономо-геодезических сетей зта неточность в обработке будет приводить к заметннм ошибкам в виво дах параметров референц-зллипсоида.
Улучшения результатов внвода параметров зллипсоида при применении метода развертнвания можно било би добиться определением искомнх величин при помощи двух приближений, а именно: определить изложенннм путем а,
е2 и І! и принять их значення за а0, е%, после зтого повторить уравнивание звеньев на поверхности зллипсоида с зтими размерами и вновь решить уравне ния градусних измерений (в которих изменятся только свободнне члени) и получить во втором приближении искомне величини а, е2 и | х. В зтом случае погрешность внвода будет обусловлена только несовпадением наилучше подхо дящего зллипсоида с геоидом. Решение, свободное от зтой погрешности, получится при применении метода проектирования.
Метод развертнвания, несмотря на его недостатки, рассматривается в настоящей книге по двум причинам: во-первнх, все виводи размеров земногозллипсоида, внполненнне до настоящего времени, били произведенн по зтому методу; во-вторнх, применение метода развертнвания неизбежно для определения параметров зллипсоида в начальном зтапе изучения общей фигури Земли.
24* 371і
Получив из внвода с применением метода развертьівания параметри референцзллипсоида в первом приближении, можно для более точного их определения применить строгий метод проектирования.
Если градусное измерение исполнено по параллели, то ход рассуждений при виводе уравнений погрешностей такой же, как и для градусних измерений по меридиану. Разница заключается в том, что вместо разности широт входят разности долгот, умноженнне на косинус широти данной дуги параллели, и вместо слагающих уклонений по меридиану слагающие уклонений отвесннх линий в первом вертикале. Не приводя внвода, напишем уравнения градусних
измерений по параллели |
в окончательном виде: |
|
|
|
|
|
Лі |
|
|
|
|
% = % + р 'і- ^ + < ? ;д е 2+ £ ; |
|
|
|
|
|
«о |
|
|
|
|
118 = Лі + р |
2 ~ - |
+ <?2 Д е 2+ £ ; |
|
(82.19) |
|
|
|
“0 |
|
|
|
|
V n — |
Лі “Ь Р п —і — — |
\ - Q n -1 Д с 2+ L |
n~і |
' |
|
|
|
& 0 |
|
|
где козффициентн P r, Qr и V определяются из виражений: |
p[ = ( L l - L \ ) |
cosВ„; |
9 ; = т ( « - - L 1) cos B0 sin 2 B0, |
p't = |
( L l - L ° , ) |
соsB„; |
|
- Ll) c o s £ 0 sin 2i?0, |
Pn- 1 = |
(pn Ln-l) CO®P(i‘l |
q'n- , = ~ ( L l — Ln-г) cos B0sin 2 B( |
і\ = [(Я2— Яі) — (Ь\ — L?)] cos Z?0,
1%— [(Яз— Яг) — (L3— Я^2)] cos BQ,
In- 1 — [(Ял |
Я^_і) |
(Ln |
cos BQ |
|
ги далее: |
|
|
|
|
|
|
P'I = p[; |
|
|
|
|
P* = |
pi + pa; |
|
|
Q2== я.і ~І- я.2'1 |
|
P'n-l ~ Pl + |
P |
2 |
Pn-1'1 |
Q n - i = QiJr (l2 |
n - 1 |
|
|
|
|
q |
|
|
|
L\ — lii |
|
|
|
|
|
L* ~ l\ + I21 |
|
|
|
|
L n - l — |
І 2 ~ \ ~ • • • “ Ь I n - 1 * |
|
Однако из уравнений (82.19), составленннх для некоторой одной дуги ad (см. рис. 157), состоящеййз частннх дуг ab, be, cd, нельзя определить Аа и Де2, из измерения дуги параллели как дуги окружности можно определить ее ра-
диус, т. е. г, и, зная широту параллели, вичислить только размер большой полу- ОСИ И , конечно, Г\ !•
Для определения всех величин — а, е2 л ц 1 необходимо иметь минимум две дуги параллели, расположенньїе под существенно разннми широтами.
Поправку астрономического азимута за уклонение отвесной линии в на-
чальной точке дуги внчисляют по формуле |
|
АА —r]1tg срг. |
(82.20) |
В приведенньїх виводах уравнений градусних измерений размерн зллипсоида определялись большой полуосью а = а 0 + Аа и квадратом зксцентри-
ситета е2 = еі + Де2. Било би нетрудно вместо Де2 в указаннне уравнения ввести Аа, т. е. поправку к некоторому приближенному значенню сжатия. Зта замена может бить произведена на оснований формул:
е2 — 2а —а2,
Де2 = 2 Аа — 2а Аа.
Приведеннне внше уравнения градусних измерений по меридианам и параллелям не являются вполне строгими, так как при их виводе ми ограничились использованием главннх членов козффициентов при неизвестннх Аа и Де2. Конечно, зто не изменяет принципиальной сторони внвода.
Практически внвод размеров зллипсоида производится из совместной обработки градусних измерений по меридианам и параллелям. Задача решается
под условием 2 Е2 + ^Д] 2 = min. Одновременно получаются поправки и т] х sec В г в астрономические координати того пункта, которнй принимают за начальний. Обозначая через В 0, Ь 0 и А 0 геодезические координати началь ного пункта триангуляции и геодезический азимут с зтого пункта, получаем:
(82.21)
Внше изложен чисто астрономо-геодезический метод определения разме ров, сжатия и ориентировки зллипсоида из градусних измерений по мери дианам и параллелям. Для зтого метода характерно то, что за случайние ошибки измерений принимают слагающие астрономо-геодезических уклонений отвесннх линий. Принятие при виводе уравнений величин І ит] как единственннх ошибок геодезических и астрономических измерений вполне обосновано, так как влияние ошибок зтих измерений пренебрегаемо мало по сравнению с уклонениями отвесннх линий. Действительно, длина дуги звена триангуля ции 1 класса определится с ошибкой около ± 0,7 м, что в разности широт соответєтвует величине ± 0,02"; собственно астрономические определения широт и долгот характеризуются ошибками порядка ± 0,3 и ±0,5" соответственно. 9ти ошибки пренебрегаемн по сравнению с уклонениями отвесннх линий, средняя величина которнх равна 4—5". Однако предположение о случайном характере уклонений отвесннх линий не обосновано, оно условно. Следовательно, строго говоря, применение на основе зтого предположения способа наи-
меньших квадратов для нахождения неизвестннх а, е2, |
^ иг| под |
условием |
минимума { 2 І2 + 2 і! 21 также не обосновано, так как |
уклонения |
и т]г- |
зависимьі между собой. Но при использовании результатов только астрономогеодезической сети описанное решение задачи — единственно возможное. Кроме того, несмотря на принципиальную нестрогость такого решения задачи, оно приводит к результатам, достаточно близко определяющим размерн и ориентировку зллипсоида в г р а н и ц а х р а с п о л о ж е н и я и с п о л ь з о - в а н н н х д у г г р а д у с н и х и з м е р е н и й . Чем больше территория, покритая астрономо-геодезической сетью (или чем больше протяженность дуг градусних измерений), тем больше оснований считать уклонения отвесньїх линий случайними величинами и тем меньше влияет на результат указанная не строгость решения задачи.
В изложенном методе обработки градусних измерений предполагается, что ряди триангуляции 1 класса, служащие дугами градусних измерений, предварительно уравненн и из последующей обработки определяются только пара метри земного зллипсоида. Предварительно уравнивают ряди для получения более точних значений длин дуг меридианов и параллелей, используемнх для внвода размеров сжатия и ориентировки зллипсоида.
Осветим в общих чертах использование гравиметрических материалов и гипотезн изостазии при астрономо-геодезическом виводе параметров зллип соида.
Допустим, что независимо от материалов астрономо-геодезической сети в астрономических пунктах каким-либо методом определенн абсолютнне укло нения отвеса ІабИТ]аб и, тогда используя их, можно вичислить геодезические координати:
(82.22)
Поскольку уклонения | аб ит] аб определенн относительно нормали к поверхности общего земного зллипсоида, то и геодезические координати, внчисленньїе по формуле (82.22), будут отнесенн к поверхности общего земного зллипсоида. Используя при составлении уравнений градусних измерений вместо cp, X геоде зические координати В 0, L°, очевидно, из решения зтих уравнений найдем по
правки за переход от принятнх приближенннх значений а 0 и ^ к а ж е 2 общего земного зллипсоида. В зтом случае в уравнениях градусних измерений вида (82.16), (82.19) величини £ ид должнн бить замененн б | и б т ], т. е. ошибками
определения £аб и ТіабПриндипиально значення уклонений отвесннх линий, близкие к абсолют
ним, могли би бить полученн:
а) путем внвода их значений по формулам Венинг-Мейнеса с использованием материалов гравиметрической сьемки п р и у с л о в и и в н п о л - н е н и я е е н а в с е й з е м н о й п о в е р х н о с т и ;
б) путем внчисления топографо-изостатических уклонений отвеса по фор мулам §72 п р и у с л о в и и п о л н о г о с о о т в е т с т в и я г и п о т е з н и з о с т а з и и д е й с т в и т е л ь н о м у с т р о е н и ю З е м л и и р а с п р е д е л е н и ю п л о т н о с т е й в е е т е л е .
Но оба пути внвода «абсолютних» уклонений отвеса сейчас практически неприменимн: первнй — вследствие незавершенности мировой гравиметриче ской сьемки, а второй — вследствие приближенности гипотезн изостатической компенсации, несоответствия ее в отдельннх районах земного шара действитель ному распределению компенсирующих масс в земной коре и невозможности
виявлення неправильносте!! строения глубинншх частей земной кори в равнинннх районах.
Первнй путь — принципиально строгий метод решения данной задачи, поскольку он основан на использовании результатов точних измерений.
Второй путь — приближенннй, неточний, поскольку его применение основнвается на гипотезе, лишь в общем находящей себе подтверждение.
Специальннми исследованиями установлено, что использование топографоизостатических редукций целесообразно при отсутствии гравиметрических данннх, особенно в районах горного типа [27] и [31]. В зтом случае применение гипотезн изостатической компенсации улучшает виводи параметров земного зллипсоида. При наличии же гравиметрической сьемки, в пределах зони некоторого радиуса, следует отдать предпочтение методу внвода уклонений от-
веса, основанному на использовании гравиметрических данннх. |
|
Остановимся на последнем несколько подробнее. |
|
сети |
Пусть вокруг астрономических пунктов |
астрономо-геодезической |
имеются |
гравиметрические |
определения |
в |
зоне некоторого радиуса г. |
Если |
астрономические |
координати |
зтих |
пунктов |
исправить |
за |
влияние уклонений отвеса, внчисленннх по аномалиям сили тяжести, определенннх из измерений на территории зтой зони, то ошибки внчисленннх грави метрических уклонений будут зависеть: от неучета аномалий дальних зон (т. е. аномалий в области вне зони радиуса г) и от ошибок внвода уклонений отвеса по аномалиям, взятим вокруг астрономического пункта зони радиуса г.
Если вокруг астрономических пунктов учесть гравиметрические поправки, внчисленнне по аномалиям сили тяжести в зоне радиуса около 1200 км, то средняя квадратическая ошибка их определения составит величину порядки 3,5" [40]. Следовательно, средняя квадратическая ошибка остаточних ошибок градусних измерений, т. е. б£, и бг], при учете указанннм образом гравиметри ческих поправок будет характеризоваться величиной порядки ± 3 —4", тогда как без такого учета зти ошибки доходили би во многих районах до значення 10—20". Таким образом, переход от астрономических координат к геодезическим путем введення гравиметрических поправок, внчисленннх по аномалиям зони ограниченного радиуса, существенно повншает точность определения размеров и ориентировки земного зллипсоида. Но следует иметь в виду, что учет
гравиметрических поправок | гр иг]гр sec ф, внчисленннх по аномалиям зони |
указанного |
ограниченного радиуса, исключает влияние в основном только |
м е с т н и х |
или областннх отступлений геоида от зллипсоида. Поскольку |
при виводе зтих поправок не били учтенн аномалии дальних зон, постольку они и не отражают влияния волн геоида большого протяжения относительно зллипсоида. Геометрически учет таких поправок означает внравнивание профиля геоида путем сглаживания мелких неровностей его поверхности, не изменяя, однако, общих наклонов геоида относительно зллипсоида. Следовательно, внведенннй с учетом гравиметрических поправок в астрономические коорди нати зллипсоид будет м е с т н н м, т. е. наиболее подходящим для территории расположения астрономо-геодезической сети (или дуги); но его внвод будет освобожден от влияния случайннх, мелких искривлений, могущих внести те или инне искажения в окончательннй внвод. По зтому поводу Ф. Н. Красовский приводит простую и образную аналогию: «Так, для правильного получения уклона некоторого участка шоссе, ми при нивелировании шоссе, конечно, не ставим рейку на случайнне внбоинн» [31, стр. 417]. Введение гравиметриче ских поправок £гр и т| гр sec ф в астрономические координати как раз и озна чает устранение «внбоин» геоида, т. е. его внравнивание.
При завершений в GCCP общей гравиметрической сьемки и вшполнении детальних гравиметрических сьемок вокруг астропунктов представится возможность для значительной части астропунктов увеличить радиус зони для відчислення £гр ит]гр в два-три раза и даже более. В атом случае ошибки уравнений градусних измерений, т. е. величини 8| и 6rj, уменьшатся примерно до 2 "; при зтом существенннм явится и больший учет влияния значительннх по притяжению волн геоида.
Использование гравиметрических данннх для исправления астрономических координат не изменяет, по существу, рассматриваемого метода как астро-
номо-геодезического; гравиметрические даннне |
в зтом случае играют, хотя |
и важную, все же в с п о м о г а т е л ь н у ю |
р о л ь . |
Если для вьівода параметров зллипсоида взять к дуг градусних измерений по меридиану, не имеющих между собой связи, то из совместной обработки та ких материалов будут полученн, по существу к референц-зллипсоидов, име ющих о д и н а к о в н е р а з м е р н , н о р а з н у ю о р и е н т и р о в к у . Математически зто внразится в том, что из решений уравнений вида (82.12) по к дугам полученн будут к + 2 независимнх неизвестньїх а, е2,
где . . ., І* — уклонения отвеса в меридиане в первой точке каждой дуги.
Такой вьівод параметров зллипсоида более ценен, чем вьівод из одной дуги, однако степень приближения их к параметрам общего земного зллипсоида, вследствие неучета влияния больших волн геоида или неполного их учета, будет неясной; оценка точности по формуле (82.18) будет формальной, характеризующей лишь степень приближения к геоиду (квазигеоиду) по профилям использованннх дуг (как в и случае одной дуги).
Например, значение полуоси а зллипсоида Бесселя получено формально с ошибкой ±210 м, тогда как в действительности зта ошибка в несколько раз
больше.
Из изложенного следует, что вьівод єдиних исходних геодезических дат из совместной обработки дуг, не связанннх между собой, как и астрономо-гео- дезических сетей, невозможен. Такая совместная обработка дуг (и сетей) целе-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сообразна |
для внвода только размеров зллипсоида. |
|
|
|
|
|
|
§ 83. Уравнения градусних измерений |
|
|
|
|
|
при применении метода развертьівания; |
|
|
|
|
|
|
|
метод |
площадей |
|
|
|
|
|
Если вьівод размеров, сжатия и ориентировки зллипсоида производится |
из обработки а с т р о н о м о - г е о д е з и ч е с к о й |
с е т и , отвечающей тре- |
А |
В |
С |
D |
бованиям |
применения |
м е т о д а п л о щ а д е й |
(см. § 81), |
то внвод уравнений градусних измере |
|
|
|
|
ний основнвается на использовании дифференциаль- |
|
F |
Н |
|
ннх формул. |
рис. |
158 |
изображена |
некоторая ас- |
|
|
|
|
Пусть |
на |
|
N |
М |
|
трономо-геодезическая сеть в виде |
системи |
рядов |
|
|
триангуляции |
1 |
класса, |
образующих |
полигонн. |
|
|
|
|
|
Рис. 158 |
|
В местах пересечения рядов, т. е. в точках А , |
В , С, |
ческие |
определения |
1 |
D , Е, F, |
. . . , |
К, |
. . ., |
О, |
исполненн |
астрономи- |
класса и |
полученн |
координати пунктов ф, X и ази |
мути |
направлений |
а. |
Вичислим |
геодезические |
координати |
зтих |
точек |
и азимути с них на некотором референц-зллипсоиде, размер и форма которого
характеризуется большой полуосью а0 и сжатием а 0. При внчислении примем
за исходннй пункт точку А с геодезическими координатами В[, |
Ь\ и геодези- |
ческим азимутом А{. Обозначим через а = а 0 + Да и а = а 0 + |
Дапараметри |
зллипсоида, наиболее подходящего по своим размерам и ориентировке к геоиду в пределах той территории, на которой расположена астрономо-геодезиче- ская сеть.
Пусть астрономо-геодезическая сеть уравнена и по уравненньїм злементам внчисленн длинн и азимути геодезических линий, соединяющих смежнне узло-
|
|
|
|
|
|
|
|
вне точки |
сети А, В, |
С, D, |
. . ., |
К , |
О и геодезические координати зтих |
точек Вв , |
Ь°в , А°в , . . |
В \ , |
L°k, |
А\. . . |
Bk, Lk, A k — геодезические |
коор |
Введем обозначения: В х, L x, А х, . . ., |
динати точек А, . . ., |
К на искомом зллипсоиде; | х, т| 1? . . |
— |
соста- |
вляющие уклонения отвесннх линий относительно нормалей к искомому зллипсоиду в тех же точках.
Задача заключается в определении большой полуоси а и сжатия а наибо лее подходящего зллипсоида (или поправок Да и Да) и поправок в принятне исходнне геодезические данньїе.
Указаннне величини определяют по-прежнему под условием геометриче-
ской |
близости |
искомого зллипсоида |
к геоиду, внражающимся |
уравнением |
2 ( |
+ ті 2) = |
min. Для зтого необходимо виразить |
£, иу| для всех точек как |
функции искомьіх величин Да, Да, |
и полученнне уравнения погрешностей |
решить по способу наименьших квадратов. Составим зти уравнения. |
Для исходного пункта: |
|
|
|
|
|
B1 = B 1+dB-l ^ y 1 — l 1 |
| |
|
|
|
L x = Lx-)- dLx= |
— т]! sec cp^ |
У' |
(83.1) |
|
|
А 1 = А°1+ с2Лг = ах—ї]-, tg фі |
] |
|
для |
точки К : |
|
|
|
|
|
|
Bk = Bk + dB k = Ф* — £/г |
І |
|
|
|
Bk = Lk-j- dLk= Xk—Tl/sseC(Pft |
|
(83.2) |
|
|
Ak — Ak-\-dAk = ak— Л /Д ^ф /г |
) |
|
В зтих уравнениях dB, dL, dA — поправки геодезических координат и ази мута при переходе от системи координат на референц-зллипсоиде к системе координат на искомом зллипсоиде.
Из уравнений (83.2) получим:
lk = q>k — B l —dBk
SOC фд, = A/fe ““ L k |
d L k • |
(83.3) |
Пk tg Щ= cck—A°k —dAk
Второе уравнение, умноженное на sin фй, обращается в третье, если под A°k понимать азимут Лапласа (что и бнвает в действительности), позтому третье уравнение — следствие второго и его использовать не следует.
Для вираження неизвестннх величин dBk и dLk воспользуемся дифференциальннми формулами. Так как зти величини обусловленн различием в полу оси и сжатии зллипсоидов на Да и Да соответственно и различием в их
ориентировке (т. е. в исходньїх геодезических данннх в пункте А на d B 1, d L 1 и dA-^^o можем написать
Обозначая производние в первом уравнении (83.4) через р, а во втором через q, получаем:
|
|
|
дВІ |
|
l.k* |
дВІ |
— jjX.k- |
|
|
|
|
|
дВ°х |
|
РІ |
дА\ |
|
Р2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
її.ft. |
|
|
|
|
/ |
dli.k |
= |
q i .k ; |
dl\.k |
= gi.k- |
|
|
|
|
\ |
дВ\ |
|
|
дА\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q\-k- |
|
|
C зтими обозначениями и c учетом формул (83.4) уравнения градусних из- |
мерений (83.3) примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lk = q>k—B l — p\-k dB1—pl k dA1—p\-k Aa — p\-k Aa |
|
(83.5) |
|
щ sec Фk = %k — Ll — dLx — q\'k dBx—q \ k dA x— q \ k Aa— q\-k Aa |
|
|
Из |
(83.1) получим: |
dBx= фі Вг— І! |
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dLx = Хх — L\ — тііЗесфі |
|. |
|
|
(83.6) |
|
|
|
dA1 = a1 —А\ —іг)! tg ф! |
J |
|
|
|
Принимая во |
внимание (83.6), уравнения |
(83.5) |
переписнваем так: |
|
|
Ій= фk—B\ —p\'k (Фі — £°і) + р{-% — p \ k {ах — А\) + |
|
|
|
|
+ РЇкЧі tg Фі —р \м Аа —р\-к Аа |
|
Г |
/ о о у у, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i\kSecq>k = Xk — L l — {Xi — L\)+4\iSec4>x — q1-k(q>1 — B ,1) + |
' |
|
+ Ч\'к1і —Ч\'k К — А\) + q \ k4\xtg фх — q^k Аа — q\-k Aa |
|
|
Если референц-зллипсоид ориентирован в исходном пункте по астрономи- |
ческим данньїм, то фх = В\; %г = |
Ь\\ а х = |
А\. В зтом случае уравнения |
(83.7) |
примут |
более простой вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = ^>k— |
+ |
+ |
P 12‘k^\ltg(p1— pl k Aa — pl-k A a |
1 |
|
r\ksecq>k = (Xk— L%)+q\-kh + [l + |
tf^SHKpj] r]xsec фг — |
Да —^ |
Aa j ’ |
^83‘8^ |
Уравнения (83.7) и (83.8) — окончательньїе; о відчислення козффициентов р и q будет сказано ниже. Зти уравнения представляют собой ш и р о т н о е
и д о л г о т н о е уравнения градусннх измерений, составленньїе для пункта К\ для всех остальньїх пунктов В, С, D, . . ., О зти уравнения будут иметь аналогичннй вид. Для начальной точки сети А получим следующие уравнения:
— £і |
|
|
(83.9) |
Pi sec фх = Лі sec фх |
|
|
|
Решая уравнения (83.8), составленньїе для всех точек, вместе с (83.9) по |
■способу наименьших квадратов при условии 2 |
( £2 + ц 2) = |
min, находим раз- |
зллипсоида, т. е. |
|
CL— Сіп—[— |
) |
|
(83.10) |
а = а0 + Аа |
} ’ |
|
|
|
= Фі — !і |
|
|
(83.11) |
Li =■ Хі— 41isec фх |
• |
Аі = а , —тії tg Фі |
|
|
Уравнения (83.8), составленньїе для точек |
В, С, . . ., |
О, отнесенн к на |
чальной точке триангуляции А, следовательно, козффициентьі р и q соответ-
ствуют геодезическим линиям, соединяющим каждую из точек В, |
С, D, Е, . . ., |
К , . . . , О с начальной точкой триангуляции А. Длиньї отих |
геодезических |
линий для такой территории, как CGCP, будут вьіраженьї сотнями и тисячами километров. Козффициентьі р и q, обозначающие частньїе производнне в уравне-
ниях (83.4), очевидно, — не что иное |
как козффициентьі, стоящие перед dBx, |
■dAx, Ла и Аа в дифференциальншх формулах. |
Но при виводе упомянутнх формул в главе V имелись в виду расстояния, |
соответствующие длинам с т о р о н |
т р е у г о л ь н и к о в триангуляции, |
т. е. расстояния, во много раз меньшие расстояний, с которнми приходится иметь дело при внчислении козффициентов р и q. Позтому для их внчисления
следует пользоваться более точними дифференциальньши |
формулами [31, |
стр. 278—291 и 339—342]. |
(83.8) ошибками |
При виводе уравнений градусннх измерений (83.7) и |
в определении астрономических координат ф, X, ос и в результатах вичислений геодезических координат В°, Ь° и А° можно пренебречь, так как они мали по сравнению с величинами £ и ц . Если астрономические координати били предварительно исправленьї гравиметрическими поправками, то йод величинами | Иц следует понимать погрешность зтих поправок, т. е. б £ и 5ц .
Изложенннй метод составления уравнений градусних измерений также нснован на методе развертнвания.
§ 84. Методи установлення исходньїх геодезических дат
Здесь рассмотрим методи установлення исходньїх геодезических дат для отдельной триангуляции.
Простейшим образом ориентирование референц-зллипсоида может бить произведено по одному астрономическому пункту. Рассмотрим зтот случай. Пусть на пункте А, принимаемом за исходннй, произведенн астрономические определения широти ф0, долготн Я,о и азимута направлення а 0 с пункта А на пункт В. Практически ориентирование зллипсоида по одному астрономиче скому пункту производится просто: полагают, что геодезические координати
