Закатов Вища геодезія 1

вначальнои точке равнн астрономическим и висота геоида над зллипсоидом

взтой точке равна нулю, т. е.

(84.1)

Рассмотрим геометрический смисл такого ориентирования референц-зл- липсоида. Равенство геодезических и астрономических координат в исходном

рР

Р/рі

Рис. 159 Рис160

пункте означает, что в зтом случае направление нормали к поверхности рефе- ренц-зллипсоида совпадает с направлением отвесной линии; зллипсоид в данной точке касается геоида.

Пусть на рис. 159 представлено тело Земли: жирной кривой показано сечение геоида плоскостью астрономического меридиана точки А\ линия Р Р Х— ось вращения Земли; Аап — направление отвесной линии. Угол между An и Р Р Х равен 90° — ф0. Точка а — проекция точки А на поверхность геоида. Угол между плоскостью астрономического меридиана АР Р х и вертикальной плоскостью, проходящей через точки А ж В, — астрономический азимут а 0.

Найдем на поверхности внбранного зллипсоида (рис. 160) точку, в которой нормаль к поверхности составляет с малой осью Р Р Хугол 90° — ф0 и нормаль­ неє сечение а хЬх, имеющее азимут а 0. Теперь ориентирование зллипсоида в теле Земли можно представить себе следующим образом: расположим зллипсоид так, чтобьі точка а х совпала с точкой а , а нормаль а хпх — с отвесной линией an. После зтого зллипсоид может еще вращаться вокруг линии an. Для того чтобн окончательно определить его положение в теле Земли, совмещаем плоскость нормального сечения а хЬх с плоскостью вертикального сечения ab, после чего плоскость геодезического меридиана а хррх совместится с плоскостью астроно­ мического меридиана аррх, и положение зллипсоида будет вполне определено. 9то положение зллипсоида показано на рис. 159 пунктиром. При зтом малая «сь зллипсоида будет параллельна оси вращения Земли, и зкватор зллипсоида займет положение, параллельное земному зкватору.

380

Указанньїй прием ориентирования зллипсоида носит название о р и е н - т и р о в а н и я п о о д н о м у а с т р о н о м и ч е с к о м у п у н к т у .

Так как уклонения отвесньїх линий различин в разннх точках земной поверхности и размерн референц-зллипсоида не равнн размерам общего зем­ ного зллипсоида, то зллипсоид, ориентированннй по разннм астрономическим пунктам, будет занимать различное положение в теле Земли. В силу того, что местнне уклонения отвесннх линий могут бмть весьма значительнн, можно, ориентируя зллипсоид по одному случайно внбранному астропункту, придать ему грубо неверное положение в теле Земли.

При неправильной ориентировке зллипсоида получаются систематические отступления зллипсоида от геоида, притом все возрастающие по мере удаления от исходного пункта. Зто в свою очередь внзовет систематические относительньіе уклонения отвесннх линий, виводимне астрономо-геодезическим путем. Такой характер отступлений поверхности референц-зллипсоида от геоида приводит к увеличению значений редукций длин и углов, вследствие чего увеличатся несовпадения значений злементов, измеренннх непосредственно и внчисленннх на поверхности референц-зллипсоида. При нестрогой обработке триангуляции (например, при методе развертнвания) неправильная ориентировка зллипсоида внзнвает дополнительнне искажения уравненннх злементов триангуляции.

Если в одном районе вичислить триангуляцию с ориентировкой зллип­ соида по одному астрономическому пункту, а в другом районе — с использованием тех же размеров зллипсоида, но ориентированного по другому астроно­ мическому пункту, то на соединении зтих двух триангуляций могут полупиться грубне расхождения в значеннях координат одних и тех же пунктов, которне повлекут за собой недопустимне разрнвн (или перекрнтия) в топографических материалах. Бнвали случаи, когда зти расхождения в координатах достигали порядка 900 м.

Причиной ненадежности ориентирования зллипсоида по одной астрономической точке являются местнне уклонения отвесннх линий. Ошибки собственно астрономических наблюдений могут бнть сведенн к величинам, меньшим +0,5", в то время как уклонения отвесннх линий достигают 4—5" и более.

Для небольших стран вопрос о виборе исходннх геодезических дат не имеет практического значення, так как неправильний внбор зтих дат начинает сказнваться при известном удалении от исходного пункта. Для такой огромной территории, как СССР, вопрос правильного установлення исходннх геодези­ ческих дат имеет важнейшее практическое значение.

Задача установлення исходннх геодезических дат В 0, L 0 п А 0 сводится к определению слагающих уклонения отвесной линии в исходном пункте.

Для зтого могут бнть примененн два способа.

П е р в н й с п о с о б заключается в виводе уклонений £ и ц из обработки градусних измерений (§82); из решения уравнений градусних измерений определяют слагающие уклонений отвесннх линий £г и ц і для начальной точки одной из дуг градусного измерения или астрономо-геодезической сети.

381

Благодаря атому ослабляется влияние местньїх случайньїх уклонений от­ весннх линий в отдельннх астрономических пунктах на вьівод | 0 и т| 0- При також виводе исходннх геодезических дат обеспечивается более близкое расположение референц-аллипсоида к геоиду в пределах той территории, которая охвачена данннми градусними измерениями.

В т о р о й с п о с о б основан на использовании гравиметрических данннх. Пусть на пункте, принимаемом за исходннй, определенн с возможно большей точностью астрономические координати <р0, А,0, а 0- Пользуясь формулами, внражающими уклонения отвесннх линий в функции аномалий сили тяжести, получаем для исходного пункта гравиметрические уклонения отвесной линии

|оР и ї]оР. Тогда исходнне геодезические дати вичисляют по формулам:

Точность такого внвода исходннх геодезических дат зависит от ошибок астрономических определений на исходном пункте и от ошибок внвода грави­

метрических уклонений £гр ит]оР. Позтому для применения зтого способа необходимо знать аномалии для всей Земли и во всяком случае в зоне радиуса больше 1000 км. Поскольку гравиметрическая сьемка проведена не во всем мире, то влияние дальних зон не может бить учтено. Как указнвалось в главе X. на значення уклонений отвесннх линий большое влияние оказнвают аномалии сили тяжести в зоне радиуса от 0 до ЗО—40 км; позтому необходимость точного учета аномалий в ’зтой зоне требует постановки вокруг данного пункта спе-

циальной сьемки для надежного внвода горизонтального градиента силн тякесги.

Таким образом, применение зтого способа для установлення геодези­ ческих координат исходного пункта в настоящее время наталкивается на затруднения в связи с незавершенностью мировой гравиметрической сьемки. Тем не менее зтот способ

заслуживает серьезного внимания, поскольку влияние дальних зон незначительно, а развитие гравиметрических работ в большинстве стран происходит весьма интенсивно.

Кроме того, результати, полученнне зтим способом в сочетании с исходннми геодезическими датами, внведенннми из градусних измерений, позволят иметь независимнй контроль.

Однако установление для исходного пункта величин £0 и р 0, а следовательно, и В 0, Ь 0, А 0 еще не определяет положення референц-зллипсоида по внсоте. Определение внсотн £0 геоида (квазигеоида) над зллипсоидом в начальной точке производится также под условием их максимальной близости. Если обозначить через £ внсотн геоида (квазигеоида) над референц-зллипсоидом в от­ дельннх пунктах градусних измерений, то условие их близости обнчно пишут в форме

382

Пусть на рис. 161 А, В, . . G — точки дуг градусних измерений, для которнх определени уклонения отвесннх линий относительно вибранного ре­ ференц-зллипсоида .

Применяя метод астрономо-гравиметрического нивелирования, відчисляєм превншения поверхности геоида (квазигеоида) относительно поверхности ре- ференц-зллипсоида для каждой парьі смешньїх точек дуги А, . . ., G. Полагая висоту поверхности геоида в точне А равной £0, получаем следующие вираже­ ння для висот поверхности геоида (квазигеоида) в точках А, В, С, . . . G:

§ 85. Уравнения градусних измерений при применении метода проектировагіия

Допустим, что для обработки триангуляции принят некоторнй референц-

получить по одному из рассмотренннх внше методов *. Пусть все геодезические измерения, внполненнне до и после внвода референц-зллипсоида, редуцированн на поверхность референц-зллипсоида и последующая обработка измерений производилась по методу проектирования. Предположим, что встала задача опре­ деления нових размеров и ориентировки зллипсоида, наилучшим образом подходящего к территории, на которой внполненн астрономо-геодезические и гравиметрические измерения. 9ту задачу можно сформулировать как определе­ ние поправок к параметрам первоначально установленного референц-зллипсо-

где £0, ц о — составляющие уклонений отвеса относительно нормали к поверх­ ности наиболее подходящего зллипсоида;

* Таким образом, в начальной стадии изучения фигурн Земли применение метода раз вертнвания неизбежно для определения в первом приближении параметров земного зллип­ соида.

383

£o — висота геоида (квазигеоида) по отношению к той же поверхности. Для произвольного астрономо-геодезического пункта сети будем иметь:

Иначе говоря, левне части уравнений (85.2) представляют координати взятого астрономо-геодезического пункта, отнесеннне к поверхности искомого наилучше подходящего зллипсоида.

Поставим целью составить уравнения градусних измерений таким образом, чтобн поправки за изменение ориентирования зллипсоида виразить через разность прямоугольннх пространственннх координат центра наилучше под­ ходящего зллипсоида и первоначально установленного референц-зллипсоида. За начало прямоугольной пространственной системи координат примем центр референц-зллипсоида с размерами а0 и а 0; оси координат расположим так, как

Положение некоторой точки геоида (квазигеоида) в зтой системе коорди­ нат может бить определено через геодезические координати относительно ре­ ференц-зллипсоида соотношениями:

z = N (1 — e2) sin В A- £* sin В )

Напомним, что при условии параллельности оси вращения Земли малой оси зллипсоида, обеспечиваемой соблюдением уравнения Лапласа на астроно- мо-геодезических пунктах, третье уравнение в системах (85.1) и (85.2) являетея

384

При зтом били опущенн члени, внражающие влияние отступлений геоида от зллипсоида, т. е. члени с £.

Применяя уравнения (85.5), для исходного пункта будем иметь:

62= 6z0 = N Q(1 —e2) sin B0ba"—

—M Q(1 + co s2 В 0 — e2sin2 5 0) sin 5 06a* + M 0 c o s5 0650 + sin 5 06^'(

Величини bx0, 6y 0, 6z0, внражаемне зависимостями (85.7), представляют собой координати центра наиболее подходящего зллипсоида в системе пространственннх прямоугольннх координат, отнесенннх к центру и осям рефе- ренц-зллипсоида.

Из (85.2) легко получить:

І = - 6 5 + (Ф- 5) —0,171" sin 2ВН

Подставляя в (85.8) вираження для изменений геодезических координат 6В, 6L, 6£ согласно (85.6), находим искомьіе уравнения градусних измерений:

Отметим, что уравнения градусних измерений (85.9)—(85.11) соответствуют случаю, когда для редуцирования результатов измерений на поверх-

совместно, получаем параметри зллипсоида, наилучшим образом подходящего

5(85.10) соответствуют уравнениям (82.16) и (82.19), полученннм ранее.

Внражение (85.11), как уравнение гра­

чается вшражение влияния ошибок параметров зллипсоида на отступления от него геоида (квазигеоида).

Как отмечалось, из материалов астрономо-геодезических сетей сжатие a определяется со значительно меньшей точностью, чем из результатов наблюдений искусственннх спутников Земли или гравиметрических данннх.

Если в первую очередь определить из зтих наблюдений сжатие а, то, полагая его известннм (ба = 0), уравнение (85.11) примет вид

£ — £* = [cos В cos L6x0-f cos В sin L6y0-\- sin B8z0\ —TV (1 —e2 sin2 В) 8a\ (85.12)

Первне три члена,в правой части уравнения (85.12) суммарно внражают изменения аномалии висоти^ вследствие изменения злементов ориентировки зллипсоида: второй член — то же, но вследствие изменения большой полу­ оси а.

Учитнвая большую роль, которую играет уравнение (85.12), укажем приближенньїй, но простой геометрический путь его вьівода,

386

Пусть PE PrP — зллипсоид с центром О и размерами а 0 и а 0 (рис. 162). Возьмем второй зллипсоид Р 1Е 1Р [ Р 1 с размерами а + ба и а 0, центр которого смещен относительно первого зллипсоида, а оси параллельнн. Начало системи координат возьмем в тонке О — центре первого зллипсоида. Координати центра второго зллипсоида (точки От) пусть будут бж0, бу0, 6z0; они будут виражать {вместе с условием параллельности соответствующих осей обоих зллипсоидов) ориентировку второго зллипсоида относительно первого.

Возьмем на втором зллипсоиде некоторую точку М г с координатами х , у, z и соединим ее с центром начала координат, т. е. точкой О. Обозначим ОМ г через р, а радиус-вектор ОМ через р0. Пренебрегая различием в направленнях радиуса-вектора и нормали (равним максимально 11,8Г согласно § 4), можно

и пренебрегая различием между р и а0, в козффициентах при поправках полу­ чаем

т. e. уравнение (85.12), если положить, что

N (1 — е2sin2 В) Ьа! = У \ —е2sin2 В Ь а ^ ба.

Полученнне в настоящем параграфе уравнения могут бить использованн как дифференциальнне формули для внчисления поправок в координати геоДезических пунктов за переход от одного референц-зллипсоида к другому или, иначе, за переход от одной системи координат к другой. Такая задача, в частности, может возникнуть при следующих обстоятельствах: имеются две изолированнне триангуляционнне сети, которне били внчисленн с применением различннх параметров зллипсоидов. Требуется вичислить поправки к коорди­ натам одной системи за переход к другой. Для решения зтой задачи необходимо

пунктами обеих триангуляций; зта связь может бить осуществлена путем определения хотя би одного пункта одной системи в другой. Тогда задача решается соответствующим применением тех же формул. Если ба и ба известнн, а бх0, 8у0 и 6z0 неизвестнн, тогда поправки 8В, 8L и б£ можно вичислить только за влияние разностей ба и ба.

В зтом случае неучтенное влияние различия параметров ориентирования обоих референц-зллипсоидов войдет в результати вичислений (например, при решении прямой или обратной задачи) как ошибки определения внчисленннх величин. Но тогда по формулам (85.7) и (85.6) можно приближенно рассчитать величину зтих ошибок путем использования при внчислениях некоторнх возможннх предельннх различий в елементах ориентирования. Так как в среднем уклонения отвеса характеризуются величиной ±4", а колебания висоти геоида относительно зллипсоида лежат в пределах 100—150 м, то максимальнеє различие 8В0, 8L0 обеих систем координат может бить принято ± 6—8" и б£0 = = ±100 м (зто различие может бить большим, если ориентирование одного из референц-зллипсоидов внполнено по одному астрономическому пункту, расположенному в районе со значительннми или большими уклонениями отвеса). Рассчитаннне по формулам (85.6) и (85.7) значення 8В и 8L с принятием названннх числових значений бВ0, 8L0 и б£0 будут характеризовать возможнне ошибки результатов вичислений, внзваннне неучетом различия в параметрах ориентирования обоих зллипсоидов.

Если геодезическая связь между триангуляционннми сетями, внчисленннми с принятием различннх местннх референц-зллипсоидов, по каким-либо

может бить осуществлен следующим образом.

Для одного астрономо-геодезического пункта в каждой триангуляции на основе материалов гравиметрической сьемки внчисляют по формулам типа формул Венинг-Мейнеса «абсолютнне» уклонения отвесной линии, после чего переходят по известннм формулам (63.1) к геодезическим координатам обоих пунктов. Если при виводе уклонений отвеса использованн материалн мировой гравиметрической сьемки, то внчисленнне указанннм образом геодезические

соиду. Тем самим будет осуществлена связь между обеими системами координат. Далее, в зависимости от условий поставленной задачи, нетрудно получить поправки к той или другой системе координат. Точность решения задачи изложенннм методом будет определяться ошибками астрономических определений и ошибками внвода уклонений отвеса, зависящими главннм образом от полнотн использованннх гравиметрических данннх. Если при виводе уклонений отвеса будут использованн гравиметрические даннне не для всей поверхности Земли, то ошибка в осуществлении такой связи будет зависеть от различия влияния аномалий сили тяжести неучтенннх зон. Зта ошибка может бить и весьма малой — практически пренебрегаемой и весьма заметной — в зависимости от взаимного расположения обеих триангуляционннх сетей, полнотн использова-

388

ния гравиметрических даннмх, расположения зон, аномалии которьіх не бнли учтенн при виводе уклонений отвеса относительно обоих астропунктов, и т. п. Ожидаемое значение зтой ошибки в общем виде не может бнть определено, но оно может бнть с достаточной точностью рассчитано в к а ж д о м к о н ­ к р е т н о м с л у ч а е .

Изложенньїй путь решения задачи возможен при использовании грави­ метрических данннх на весьма значительной части земной поверхности, охватнвающей, в частности, расположение обеих триангуляционннх сетей; использование только местннх гравиметрических сьемок (вокруг взятнх астрономических пунктов) не может привести к решению поставленной задачи и с зтой точки зрения бесполезно.

Изложеннше соображения в части решения частной задачи позволяют сделать один важний вьівод общего характера: п о з а в е р ш е н и й м и р о в о й г р а в и м е т р и ч е с к о й с ь е м к и с о з д а е т с я в о з м о ж н о с т ь с о е д и н е н и я в є д и н у ю с и с т е м у в с е х т р и а н г у л я ц и й , р а с п о л о ж е н н н х н а р а з л и ч н н х к о н т и н е н т а х , б е з

Однако непосредственнне геодезические связи необходимьі для наиболее точного вьівода параметров общего земного зллипсоида; чем обширнее триангуляция, использованная для составления уравнений градусних измерений (85.9), (85.10) и (85.11), тем надежнее определенн параметри а (или PF0 — н0), б#0, 5z/0, S v

§ 86. Общие сведения о виводе параметров земного зллипсоида из астрономо-геодезических и гравиметрических данньїх

Решение задачи по виводу параметров земного зллипсоида и злементов гравитационного поля Земли рассматриваемнм методом должно основнваться на совместном использовании астрономо-геодезических и гравиметрических из­ мерений; зти измерения, конечно, должни бить внполненн на значительной территории; при зтом возможно использование измерений, внполненннх на разннх континентах и без непосредственной связи между собой.

Резкое различие в возможности внполненйя астрономо-геодезических се­ тей и гравиметрических работ на поверхности Земли (возможность развития геодезических сетей только на суше, а гравиметрических работ на всей земной поверхности) приводит к тому, что влияние астрономо-геодезических данннх на внвод параметра сжатия а, определяемого гравиметрическими измерениями, становится весьма малим, практически неощутимнм, а совместнне определения становятся формальними. При наличии гравиметрической стьемки на всей поверхности Земли или на большей ее части значение сжатия и при совместном использовании всех данннх фактически определяется гравиметрическими данннми. Гравиметрические работн, получившие развитие значительно позже астро­ номо-геодезических, в настоящее время далеко превзошли последние по охвату земной поверхности.

Исследования В. Ф. Еремеева и М. И. Юркиной по зтому вопросу показьівают, что в то время как гравиметрическая сьемка с той или иной плотностью покрнвает значительную часть поверхности Земли, градуснне измерения, уже использованнне для внводов местннх зллипсоидов, покрнвают малне доли земной поверхности. Позтому один из возможннх путей решения рассматриваемой задачи заключается в следующем.

389