Закатов Вища геодезія 1

Г л а в а XIII ГРАДУСНЬІЕ ИЗМЕРЕНИЯ

§ 81. Общие сведения

П о д г р а д у с н и м и и з м е р е н и я м и обьічно понимают совокупность астрономических, геодезических и гравиметрических работ, предназначенннх для определения фигурьі Земли.

Задача градусньїх измерений заключается в определении:

1) параметров р е ф е р е н ц - з л л и п с о и д а как рабочей координатной поверхности, необходимой для решения многих задач геодезии и картографии;

2) вспомогательной поверхности — к в а з и г е о и д а , весьма близкой

кповерхности геоида на суше и совпадающей с ней на морях и океанах;

3)действительной фигурн Земли, т. е. ее физической поверхности;

4)параметров земного зллипсоида, наилучшим образом представляющего

фигуру Земли в целом, — о б щ е г о з е м н о г о з л л и п с о и д а .

При рассмотрении вопросов, составляющих содержание предшествуюіцих глав, считалось, что поверхность референц-зллипсоида определена, т. е. известна. Позтому в нервую очередь здесь рассмотрим решение первой задачи, т. е. в н в о д п а р а м е т р о в р е ф е р е н ц - з л л и п с о и д а .

При оценке внводов параметров референц-зллипсоида обнчно принимается во внимание степень близости его к зллипсоиду, наилучше подходящему для всей Земли, т. е. к общему земному зллипсоиду. Зто в свою очередь зависит от территории, на которой исполненьї астрономо-геодезические и гравиметрические измерения, результати которнх били использованн при виводе парамет­ ров референц-зллипсоида. Чем больше территория, на которой произведенн градуснне измерения определенной густоти, тем больше зллипсоид, внведенннй на основе зтих измерений, приближается к общему земному зллипсоиду. Позтому задача определения референц-зллипсоида непосредственно примнкает к задаче определения зллипсоида, наилучшим образом представляющего фигуру Земли в целом.

и т]) относительно референц-зллипсоида методом астрономо-гравиметрического нивелирования.

И з у ч е н и е ф о р м и ф и з и ч е с к о й з е м н о й п о в е р х ­ н о с т и осуществляется путем определения н о р м а л ь н и х В И С О Т Н ч

относительно поверхности квазигеоида или геодезических висот Н относи­ тельно референц-зллипсоида; для зтого, помимо астрономо-гравиметрического нивелирования, необходимо внполнять геометрическое нивелирование.

Методи решения второй и третьей задач изложенн в главах X и XI, по­

Ранее указнвалось, что фигура геоида, помимо случайннх, местннх волн, имеет общие волнн, охватнвающие территории материков, влияющие на фигуру Земли в целом. Позтому для решения зтой задачи и необходимо градусними из­ мерениями охватить поверхность всех материков. 9ти градуснне измерения в отдельннх и даже крупних частях поверхности Земли должнн охватнвать возможно большую поверхность земного шара. Воднне пространства не

361

позволяют равномерно покрить градусними измерениями всю поверхность зем­ ного шара, но на морях и океанах могут производиться работш по измерению сили тяжести.

Исследования показнвают, что градуснне измерения, позволяющие надежно определить размерьі большой полуоси, в соединении с гравиметрическими наблюдениями на суше и на море, надежно определяющими сжатие зллипсоида, дают возможность успешно решать задачу определения общего зем­ ного зллипсоида. В настоящее время градусними измерениями еще не охваченн все материки, а имеющиеся не связанн между собой; измерения сили тяжести на океанах исполненн не полностью, позтому внвод общего земного зллипсоида пока еще дело будущего. Современная постановка задачи по виводу общего земного зллипсоида и метод ее решения изложенн в § 87.

Установим, какими параметрами определяется референц-зллипсоид. Напомним его определение: р е ф е р е н ц - з л л и п с о и д о м н а з н в а е т с я з л л и п с о и д с о п р е д е л е н н н м и р а з м е р а м и и о п р е д е - л е н н и м о б р а з о м о р и е н т и р о в а н н н й ( р а с п о л о ж е н н н й ) в т е л е З е м л и .

Размерн зллипсоида определяются двумя параметрами — полуосями аж Ь или большой полуосью а и сжатием а.

Ориентирование зллипсоида в теле Земли внполняется путем установле­ ння и с х о д н н х г е о д е з и ч е с к и х д а т , определяющихся значе­ ннями геодезических координат, принимаемнх в исходном пункте триангуляции. Зти координати В 0, L 0, A 0, Н 0, т. е. геодезические широта, долгота, азимут и висота в точке триангуляции, принимаемой за начальную. Они определяются из виражений:

делить параметри референц-зллипсоида, являются:

аі Ь-і фо> ^оі аоі Н о, Но> Ро, По­

значення ф0, Я0, а 0 определяются непосредственно из астрономических наблюдений; методи зтих наблюдений рассматриваются в геодезической астрономии, позтому будем считать их известннми. Нормальная висота Ю опреде­ ляется из результатов геометрического нивелирования; методи внчисления нормальних висот изложенн в главе XI, § 72. Позтому в зтой главе рассмотреньї методи определения величин аж Ь (или а жа), характеризующих размерн земного зллипсоида, и £0,rj 0, £о — слагающих уклонений отвесних линий и аномалии висоти в начальном пункте триангуляции, позволяющих по формулам (81.1) перейти к значенням исходннх геодезических дат. Тем самим будут определенн размерн и ориентировка референц-зллипсоида в теле Земли.

Перечисленнне параметри определяют под условием возможной геометрической близости поверхности референц-зллипсоида к поверхности геоида (квазигеоида), так как референц-зллипсоид является вспомогательной или рабочей координатной поверхностью, заменяющей при обработке геодезиче­ ских измерений уровенную поверхность Земли; позтому естественно потребовать возможной близости между зтими поверхностями.

362

В виражений (81.2) суммирование раепространяется на астрономические пункти, входящие в данную астрономо-геодезическую сеть; в виражений (81.3) — на всю территорию, для которой известнн аномалии висоти. При указанном виборе параметров, независимо от их значений, и внполнении зависимостей (81.1) малая ось референц-зллипсоида и плоскость зкватора будут всегда параллельнн оси вращения Земли и плоскости земного зкватора. В общем случае центр референц-зллипсоида не будет совпадать с центром тяжести Земли.

Принципиально возможнн два метода определения параметров земного

вании гравиметрических измерений. Как и при виводе уклонений отвесннх линий и висот, наилучшее решение дает совместное использование обоих методов.

При виводе размеров и ориентировки зллипсоида геометрическим методом, т. е. из астрономо-геодезических измерений, различают м е т о д д у г и м е ­ т о д п л о г ц а д е й .

М е т о д д у г основан на использовании измеренннх длин дуг на земной поверхности и астрономических определений піирот и долгот на концах зтих дуг. Определение размеров и ориентировки земного зллипсоида из измерений дуг по меридианам и параллелям назнвают г р а д у с н и м и и з м е р е - н и я м и п о м е р и д и а н у и г р а д у с н и м и и з м е р е н и я м и п о п а р а л л е л и . Дуги могут бить связанн между собой и не иметь между собой связи. Из результатов определений по методу дуг определяют размерн

риторию, притом с некоторой определенной густотой. Густота пунктов астро- номо-геодезической сети для применения метода площадей должна удовлетворять основному требованию — возможности внвода размеров и ориентировки

геоида на зтой территории. Согласно исследованиям проф. Красовского, астро- номо-геодезическая сеть, отвечающая требованиям обработки ее по м е т о д у

будет состоять из связанннх между собой рядов триангуляции по меридианам и параллелям, расположенннм между смежннми рядами одного направлення, на расстоянии около 200—300 км, с определением астрономических пунктов по рядам примерно через 70 км (исключая горнне райони).

363

Приведем основнне характеристики программн градусних измерений, осуществляемой в СССР.

Градусними измерениями в СССР являютея рядн триангуляции 1 класса,

384

прокладьіваемне по меридианам и параллелям на расстоянии около 200 км и образующие полигоньї периметром 800—1000 км. Длинн базисних сторон определяют в местах пересечения рядов, т. е. через 200 км; астрономические определения (широти, долготн и азимути) — на двух пунктах каждой базисной сторони. Через каждне 60—100 км в промежутках между базисними сто­ ронами на пунктах триангуляции определяют широти и долготн. Гравиметрические пункти определяют в порядке производства общей гравиметрической свемки со средней густотой один пункт на 1000 км2, обеспечивающей внполнение астрономо-гравиметрического нивелирования по всем рядам астрономогеодезической сети GCCP. Кроме того, вдоль отдельннх рядов триангуляции 1 класса производят дополнительное сгущение гравиметрической с-ьемки. Одновременно в геодезических целях используют результати специальннх гравиметрических измерений, внполняемнх, например, при разведке полезннх ископаемнх.

Ряди, по которнм с большей точностью производят астрономо-гравиметри-

н о м о - г р а в и м е т р и ч е с к о г о н и в е л и р о в а н и я .

На всех пунктах астрономо-геодезических сетей определяют нормальнне висоти. Программная точность измерений астрономо-геодезической сети СССР

1 класса характеризуется показателями, приведенннми на стр. 7.

Постановка работ по градусним измерениям в СССР имеет ряд важних достоинств: они охватнвают громадную территорию, произведенн в весьма ко­ роткий срок, что обеспечило однообразие внполнения программннх требований и и, високую точность; в состав градусних измерений на территории СССР

входят работн по астрономо-гравиметрическому нивелированию.

Совместная постановка астрономо-геодезических и гравиметрических ра­ бот является весьма существенной особенностью градусних измерений в СССР,

которая при внсоком уровне технического исполнения позволяет отнести последние к наиболее современннм. Зта программа градусних измерений впервне стала осуществляться в СССР.

Отметим, что с конца сорокових годов начглось развитие триангуляции 2 класса внутри полигонов 1 класса с точностью, близкой к триангуляции 1 класса.

Градуснне измерения не являются отдельной частью основних астрономогеодезических и гравиметрических работ, внполняемнх в стране. Они представляют органическую часть и следствие исполнения первоклассннх триангуляционннх работ для создания опорной геодезической сети в государстве, необходимой для картографирования его территории и для других практических нужд. Запроси практики и науки не вступают в противоречие, а, наоборот, взаимно дополняют друг друга, обеспечивая в комплексе наилучшее разрешение обеих задач.

§ 82. Градусньїе измерения по меридиану и параллели, метод дуг

Идея определения размеров и сжатия земного зллипсоида из градусних измерений по меридиану и параллели освегцена в § 50. Хотя метод дуг в настоящее время применяется мало, он имеет методическое значение и в наибо­ лее простом виде иллюстрирует решение задачи по виводу параметров земного зллипсоида на оснований астрономо-геодезических измерений.

365

Пусть имеем ряд триангуляции 1 класса, на концах которого исполненн астрономические определения широт, долгот и азимутов (рис. 155), проложенний между точками А и В приблизительно по направленню меридиана.

Для дальнейшего составления уравнений градусних измерений по меридиану необходимо определить длину и азимут геодезической линии, соединяющей конечнне точки звена, и затем получить проекцию зтой линии на меридиан, проходящий через одну из ее конечних точек, например через точку А , т. е. получить длину дуги меридиана между параллелями, имеющими широти

Фа и фв. Для указанной цели произведем следующие предварительнне внчисления:

1.Уравнивание ряда за условия фигур, базисов и, если возможно, азимутов и окончательное решение треугольников.

2.Внчисление длинн D и азимута Т геодезической линии, соединяющей конечнне точки ряда А жВ.

Длину и азимут геодезической линии дуги можно получить также из решения обратной геодезической задачи по дуге АВ после внчисления координат

Обнчно дуга, по которой производится градусное измерение, состоит из нескольких частннх дуг АВ, ВС, CD жт. д. (рис. 156). Тогда соответственно получаем длинн дуг меридианов s1? s2, s3, s4 и т. д., которне в дальнейшєм бу­ дем рассматривать как н е п о с р е д с т в е н н о и з м е р е н н н е .

366

Зта ошибка пренебрегаемо мала по сравнению с ошибками астрономических дашшх, входящих в уравнения градусних измерений, и влияниями уклонений отвесньїх линий.

При градусних измерениях по параллели порядок предварительной обработки геодезических материалов остается в основном таким же, как и при градусних измерениях по меридиану. Он отличается только тем, что предварительно для каждой частной дуги внчисляют ее длину по параллели по средней широте зтой дуги. Таким образом, для дуги по параллели в целом отдельнне частнне дуги ее будут отнесенн к разннм широтам. Длинн зтих частннх дуг приводят к длине дуги параллели, имеющей среднюю широту для всего ряда по параллели. Обозначим: sl7 s2, s3, . . ., sk — длинн дуг параллелей, отнесеннне к средней широте каждой дуги фі, ср2, фз, . . ., ф& соответственно (рис. 157); s°, si, . . ., s°k — длинН дуг параллелей, отнесеннне к средней для

В результате будем иметь значення для всех частних дуг градусного измерения по параллели, отнесеннне к одной широте.

После указанной предварительной обработки материалов градусних измерений переходят к составлению и решению уравнений.

Для получения уравнений градусних измерений по меридиану напишем формулу (7.11) для длинн дуги меридиана

д е л я е м о м у зллипсоиду, а же — искомне значення большой полуоси и зксцентриситета о п р е д е л я е м о г о зллипсоида. Обозначим:

а — а0+ Да

(82.5)

е2 = е\ -f- Ае2

где а0 и е\ — некоторне приближеннне значення большой полуоси и квадрата зксцентриситета зллипсоида, принятого при обработке градусних измерений.

367

Найдем внражение для длинн радиуса кривизнн меридиана М° на аллип-

Внражение —^о- р" представляет собой с принятой точностью разность ши-

М т

рот точек на аллипсоиде с размерами а0 и е0, соответствующую расстоянию s и средней широте Вт.

Обозначим

где срг и ср2 — астрономические широти точек А и В дуги, | х и | 2 — слагающие уклонений отвесннх линий в меридиане в атих же

точках, отнесеннне к поверхности искомого аллипсоида,

368

В последнем уравнешга в козффициентах при неизвестннх разности широт (5 2 — В г) замененьї через (ВІ — В\ ), а Вт — через В°т, что практически вполне допустимо.

Уравнение (82.12) следует рассматривать как уравнение когрешностей.. Вводим обозначения:

І(фг - Фі)"■- ( в і —В 0,)’ — 0,17Г (Н2 sin 2В°г - H1sin 2B\) | = І,

- (Bl - B{) ( ± + 1- cos 2Bm) = q,

Если данная дуга градусного измерения состоит из п частннх дуг А В , ВС, CD, . . ., то для каждой из них будем иметь уравнение, аналогичное уравне^ нию (82.13):

— слагающие уклонений отвесннх линий в меридиане, так как ошибки соб' ственно астрономических наблюдений 6ф пренебрегаемо малн, в 10—20 раз меньше указанннх уклонений отвесннх линий.

Рассматривая величини: | 2, . . ., | п как случайньїе ошибки (что, как увидим далее, не вполне правильно), не можем, однако, решать уравнения (82.14) по способу наименьших квадратов, так как зти уравнения не независимн; каждне два смежньїх уравнения содержат общие величини Для того чтобн уравнения (82.14) обратить в независимне, поступим следующим образом: сложим первое уравнение системи (82.14) со вторим; сумму первого и второго уравнений с третьим и т. д., получим: