Закатов Вища геодезія 1

Предположим теперь, что точка N удаляется в бесконечность. Потенциал VN будет стремиться к нулю, а работа R будет равна потенциалу в точке М, т. є.

в е р ш и т ь с и л е п р и т я ж е н и я п р и п е р е м е щ е н и и е д и -

л ю б о м у н а п р а в л е н н ю р а в н а с о с т а в л я ю щ е й с и л и ,

Из уравнения (55.6) следует, что dV зависит от косинуса угла между на­ правлением сили тяжести и направлением перемещения точки; отсюда сле­ дует, что потенциал V может получать приращение положительное, отрица-

нение поверхности, точнеє семейство поверхностей, которне ми будем полу­ чать, даваяС1различнне значення. Очевидно, зта поверхность может бить полу­ чена, если представить себе, что точка с единичной массой будет перемещаться во всех направленнях под прямим углом к направленню сили тяжести; в зтом случае будет описана поверхность, обладающая свойством, что потенциал

п о к а с а т е л ь н о й к п о в е р х н о с т и в л ю б о й т о ч к е р а в -

н н н у л ю . Такие поверхности назнваются у р о в е н н н м и .

2. Если cos (F , s) = 1, то зто значит, что перемещение точки происходит по направленню действия сили, потенциал получает максимальнеє приращение и его внражение имеет вид

Если же перемещение происходит в направлений, противоположном действию сили, то, очевидно, в зтом случае

cos (F, s) = — 1

* Зтот внвод справедлив не для всех видов потенциальной функции: в частности, он не применим к потенциалу сили тяжести.

240

и

Следовательно, знак приращения потенциала зависит от направлення перемещения точки; в одном случае потенциал будет увеличиваться (приращение положительное), а в другом случае уменьшаться (приращение потенциала отрицательное).

Рассмотрим две бесконечно близкие уровенньїе поверхности, определяемьіе уравнениями V = С и V + dV = С х (рис. 106). Допустим, что единичная масса переместилась из В в В г по направленню сили F. Тогда на оснований (55.13) напишем

но в данном случае ds представляет собой рацстояние между взятими уровенньіми поверхнрстями. Обозначая зто расстояние через dh, долучаєм

Полученньїе вираження (55.16) соответствуют случаю перемещения точки по нормали к центру тела, т. е. когда

cos (F, s) — 4- 1.

При перемещении точки в обратном направлений, т. е. при cos (F, s) = —1, вираження (55.16) примут вид:

Из равенств (55.16) и (55.17) следует, что расстояния между двумя близкими уровенньши поверхностями в общем случае не равнн в разннх точках, а обратно пропорциональни силе, действующей в зтих точках.

Из изложенного свойства потенциальной функции внтекает еще существенное обстоятельство. Пусть рис. 107 изображает сечение уровенннх поверхностей, соответствующих уравнениям:

* В данном и последующих случаях под непараллельньїми поверхностями будем понимать такие, расстояния между которнми, считаемне по нормали к одной из поверхностей, в различннх точках разнне.

касательнне к которьім совпадают с направлением векторов F, представляющих силу притяжения.

Внше установлень! свойства, присущие потенциальньїм функциям, в том числе потенциалу сильг притяжения.

Потенциальї сильї притяжения обьемньїх масс, кроме указанньїх вьіше, обладают еще иннми важними свойствами; некоторне из них будут указаньї цалее, после рассмотрения потенциалов притяжения некоторьіх простейших тел.

§ 56. Потенциал притяжения некоторих простейших тел

Найдем потенциал притяжения некоторьіх простейших тел.

1. Потенциал притяжения материальной точки виражается функцией

2. Потенциал притяжения простого слоя на внешнюю материальную точку.

Допустим, что притягавающие массьі заключенш между двумя очень

где г — расстояние злемента do поверхности до притягиваемой точки.

Будем неограниченно приближать поверхность Cj к поверхности о, не изменяя при зтом массу Ат внутри каждого злемента обт>ема Ат. В результате такого перехода на каждом злементе do будет сконденсирована масса dm.

■242

Возьмем две точки А и А г: одну находящуюся вне сфери (точка А) и дру­ г у ю — внутри сфери (точка ilj).

Для определения положення точек на сфере воспользуемся системой сферических координат. За полярную ось примем диаметр сфери, совпадающий с направлением из центра сфери О на точку А (или A j). Точки N и S назовем северннм и южннм полюсами соответственно.

Положение некоторой точки М определится сферическими координата­ ми ф и Я.

Согласно (56.6), потенциал однородного простого сферического слоя равен

Из (56.9) дифференцированием по ф находим

/ Я 2 + р2 —2Дрсозф*

Помножив обе части последнего вираження на R / р, получим

Т~ V W + р2 —2Др cos ф

Учитьівая ^56.13), вьіражение (56.11) переписнваем так:

Установленньїе предельї интегрирования rmax и rmin соответствуют ф = я

яф = 0, что легко усматривается из рис. 109: для внешней точки А

На оснований (56.14) и (56.15) получим окончательное вьіражение для потенциала однородного простого сферического слоя на внешнюю точку

Сравнивая (56.20) с внражением потенциала точечной массн (53.6), делаем вивод, что однородннй сферический слой создает во внешнем пространстве такой же потенциал, которнй бнл би создан массой М , сосредоточенной в центре сфери.

Из соображений симметрии следует, что притяжение слоя будет напра­ влено от притягиваемой точки А по направленню к центру сфери О, т. е. по р.

244

Знак в правой части (56.21) показьівает, что ^ и р направленьї в противоположнне сторони.

Вводя массу М сферического слоя в вьіражение для потенциала на внутрен-

Последнее вьіражение при данной массе сферического слоя и радиусе R ностоянно и не зависит от положення внутренней точки, которое определяется расстоянием р. Дифференцируя зто вьіражение по р, находим силу притяжения слоем внутренней точки

'4. Потенциал притяжения точки материальньїм шаром. Здесь также рас- ■смотрим два случая: материальная точка находится вне шара и материальная точка расположена внутри шара.

Предварительно исследуем притяжение однородного слоя конечной толщиньї, которьій будем рассматривать как сумму бесконечного числа бесконечно тонких концентрических слоев.

При рассмотрении потенциала простого слоя мьі имели дело с поверхност-

Рассмотрим первьій случай: потенциал притяжения простого слоянавнешнюю точку, согласно (56.17), имеет вид

F--=4JT

Допустим, что притягивающие массьі об'ьемной плотности 6 заключеньї между внутренней сферой радиуса R x и внешней сферой, радиус которой R.

245

вает так, как будто вся его масса сосредоточена в центре. Иначе говоря, шар создает во внешнем пространстве потенциал, равньїй потенциалу точки с массой М, расположенной в его центре.

Теперь допустим, что притягивающая точка А расположена внутри шара на расстоянии р от центра О (рис. 110). Проведем через А концентрическую сферу, которая разделит массу на две части: массу слоя s0, имеющего потен­

246

Для шара R x — 0 и тогда

Дифференцируя (56.37) по р, полупаєм силу притяжения F

я/6р. (56.38)

Масса т шара, ограниченного сферической поверхностью радиуса р, равна

Следовательно, на оснований (56.39) можно сделать вьівод, что и в случае внутренней точки притяжение действует по закону Ньютона, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния и прямо пропорционально притягивающей массе с той только оговоркой, что в данном случае притягивает не вся масса шара, а только та, которая расположена внутри сферической поверхности, проходящей через точ­ ку А . Точка А притягивается при зтом так, как если би вся масса внутреннего слоя (радиуса р) бьша совредоточена в центре шара.

Из (56.38) очевидно, что притяжение массьі всего шара действует по другому закону, т. е. прямо пропор­ ционально расстоянию р от точки А до центра О; в центре шара р = 0 и, следовательно, сила притяже­ ния также равна нулю.

Получим вираження для потенциала притяжения V и сили притяжения для случая, когда притягиваемая точка расположена на поверхности шара. Оче­

видно, в зтом случае в соответствующих формулах следует положить р равньїм R.

Делая указанную подстановку в формульї для потенциала (56.32) и (56.37) и в формульї для сильї притяжения (56.34) и (56.38), полупаєм одинаковьій результат, т. е.

Отсюда можно сделать вьівод, что потенциал сильї притяжения и его первая производная (составляющая сильї притяжения) при пересечении границьі тела однозначньї и меняются непрерьівно, без разрьіва.

Вичислим вторьіе производньїе от потенциала для точки на поверхности шара, используя его вираження, полученние для положення точки вне и

247

или, при р — R ,

Таким образом, значення вторьіх производньїх от потенциала при виходе притягиваемой точки на поверхность шара из внешнего пространства и изнутри различаются на величину 4я/б.

З о значит, что вторая производная от потенциала, взятая по направленню нормали, при прохождении через поверхность шара имеет разрьів и изменяется скачком на величину 4я/8. Исследования показали, что и в более общем случае, когда на поверхноети, разделяющей две средьі, плотность б меняется скач­ ком, вторне производньїе потенциала также испьітьівают скачок. Зто свойство вторнх производньїх от потенциала имеет важное принципиальное значение.

248

Символически уравнение Лапласа пишется так:

назьівают о п е р а т о р о м Л а п л а с а .

Уравнение Лапласа справедливо для точек пространства, расположенних вне притягивающего тела. Зто следует из того, что если притягиваемая точка лежит внутри тела, то разности (а — х), (Ь — у) и (с — z), а следовательно, и г могут стремиться к нулю. В зтом случае подьінтегральное вьіражение в (57.4) в пределе обращается в 0/0.

Приведем вьівод более общего уравнения Пуассона для случая, когда притягиваемая точка находится внутри тела.

Допустим, что вокруг притягиваемой точки, расположенной внутри тела, описана малая сфера конечного радиуса, но столь малого, что плотность вещества внутри зтой сфери можно бьшо би считать одинаковой. Заметим, что при­ тягиваемая точка должна располагаться внутри зтой сфери, но необязательнО в центре; сама сфера должна полностью находиться внутри тела.

Обозначим:

V г — потенциал притяжения тела на притягиваемую точку, но без вьіде-

так как для него значение расстояния г нигде в нуль обращаться не может. Потенциал F 2 сфери, очевидно, представляет собой потенциал притяжения шара на внутреннюю точку, полученннй в § 56. Позтому, согласно (56.37), имеем

249