Закатов Вища геодезія 1

120

В последних двух формулах на оснований предндущего нормальная ши­

121

Искомне координати второй точки определяются из формул:

в геодезии. При изображении поверхности зллипсоида на плоскости функциональнне зависимости, внражающие закон изображения, имеют сложннй вид и представляются бесконечннми рядами. Зти зависимости при проектировании зллипсоида на плоскость не имеют точной геометрической интерпретации. В то же время при проектировании поверхности шара на плоскость соответствующие аналитические зависимости изображения становятся простими; они имеют ясное и точное геометрическое толкование и внражаются строгими формулами. Позтому ряд авторов проекции поверхности зллипсоида на пло­ скость использовали идею двойного проектирования: сначала поверхность зллипсоида изображается на шаре, затем переносится с шара на плоскость. Зта идея, в частности, била использована Зольднером в теории проекции, носящей его имя; Крюгером — в теории стереографической проекции. В зтом случае конформную проекцию Гаусса следует признать одной из наилучших при переходе с зллипсоида на шар.

В настоящее время путь двойного проектирования поверхности зллип­ соида на шар используется редко; он имеет историческое значение, в то же время представляв существенннй методический интерес.

§ 29. Решение главной геодезической задачи по способу Бесселя

Способ Бесселя применяется при решении геодезической задачи на большие расстояния — от 600—800 км и более. В основе способа лежит п р я м о й п у т ь решения геодезической задачи, в котором н е п о с р е д с т в е н н о находятся искомне величини, т. е. широта и долгота второй точки и азимут со второй точки на нервую — прямая геодезическая задача; в обратной задаче внчисляются прямой и обратннй азимути и расстояние между заданннми пунктами.

122

По способу Бесселя задача решается по следующему плану:

1. Треугольник АР В (рис. 54) переносится на шар по заданньїм трем елементам треугольника при помощи основного уравнения геодезической

2. После указанного перехода полученннй на сфере треугольник А ХР ХВ Х (рис. 55) решается относительно известньїх его злементов.

3. От внчисленньїх из решения сферического треугольника злементов осуществляется переход к соответствующим злементам сфероидического треу­

АіРіВ і.

1.Сторони А ХР Хи В ХР Хна сфере равньї дополнениям до 90° приведенньїх широт точек А и В на зллипсоиде, т. е. 90 — их и 90 — и2; точка Р х на шаре

играет роль полюса. Согласно (4.27), приведенньїе широти и определяются по формуле

tg и == і / і —е2tg В.

123

2. Геодезическая линия s на зллипсоиде между точками А и В соответствует на сфере дуге большого круга а, на которой в каждой ее точке азимути равнн азимутам геодезической линии в соответствующих точках на зллип­

Д л я п о л у ч е н и я ф о р .м у л р е ш е н и я з а д а ч и по с п о ­ с о б у Б е с с е л я необходимо установить зависимость между разностями долгот пунктов на зллипсоиде и на шаре, т. е. между І ж ю, а также между длиной геодезической линии на зллипсоиде s и дугой большого круга а на шаре.

Ход внвода формул для решения главной геодезической задачи по спо­

124

тогда, принимая во внимание (29.8) и умножая числитель и знаменатель в (29.7) на а, получаем

2. Интегрирование дифференциальньїх уравнений

Оставляй прежние обозначения злементов полярного сферического треутольника, внполняем вспомогательньїе построения, показанньїе на рис. 57: проводим из точки Р г дугу большого круга перпендикулярно к продолжещпо сторони А 1В 1 до пересечения с последней в точке С.

В образовавшемся прямоугольном треугольнике обозначим катети Р ХС через т, а А ХС через 90° — М. При заданньїх и г и А 1>2 зти катети можно считать известннми. Они получаются из решения прямоугольного треугольника

А гР гС по формулам:

Будем в дальнейшем рассматривать точку Вх как текущую, имеющую широту и.

Из прямоугольного сферического треугольника В хРхС имеем:

ds = а і/Ч —е2 + е2 cos2 т sin2 (М + о) do

мли

Приняв во внимание (2.6) и (2.7), напишем

Обозначая е'г cos2 т через к2, получаем

Как известно, полученное уравнение не интегрируется в злементарннх функциях; разложим подкоренное внражение в биноминальннй ряд с целью последующего почденного интегрирования.

Имеем

j / l + A:2sin2 (М + а) = 1 + -j-k2sin2 (М + о)— к*sin4 (ilf+ a ) +

+ Trsin6(M +a)— • • * *

126

Обращаясь к исходному дифференциальному уравнению (29.13), отмечаем, что по тем же соображениям, что и в предьідущем сйучае, подьінтегральная функция предварительно должна бьіть разложена в бесконечньїй ряд. Позтому

128

и виражай І в секундах дуги, имеем окончательно

Формулами (29.29), (29.30) и (29.39) решается задача интегрирования полученньїх ранее дифференциальньїх уравнений. Формула (29.29) служит для перехода от длиньї геодезической линии к дуге большого круга на шаре. Как видно из структурьі зтой формули, вьічисление ст по s следует вести последовательньїми приближениями:

1о0 = as

2ах= ао + Р sin аоcos (2ikf+ G0)

4 ст3 = ст0 -f- р sin ст2 cos (2М + а2) + у sin 2а2 cos (4М -j- 2а2) .

ит. д. — до совпадения результатов вичислений двух последних приближений

впределах заданной точности.

Формула (29.30) используется при решении обратной геодезической задачи. Козффициентн а, (5, у целесообразно вибирать из специально составленннх таблиц.

Формула (29.39) служит для внчисления разности геодезических долгот І по разности сферических долгот <о после решения сферического треугольника — в прямой геодезической задаче.

Согласно зтой формуле осуществляется и обратннй переход — при ре­ шении обратной геодезической задачи.

Козффициентн а х и §! также целесообразно вичислять по заранее составленннм таблицам.

3. Порядок вьічисления при решении прямой и обратной геодезических задач

и формули для решения сферического треугольника

П р я м а я г е о д е з и ч е с к а я з а д а ч а

1. Внчисление приведенной широти исходного пункта по заданной геоде­ зической широте

tg их= ]/1 —e2tg Вх.

Можно применить формулу для разности (В х — их), которая для размеров зллипсоида Красовского имеет вид:

Вг - их= 346,3143 sin 2Вх- 0,2907" sin 4Вх+ 0,0003 sin 6ВХ

(29.41)

Вх— их —346,3143 sin 2их+ 0,2907"sin ^их-\- 0,0003sin 6их

2. Вьічисление вспомогательннх величин т и М по формулам (29.14), (29.15), используя известннй азимут А х и внчисленную по (29.41) широту и х. Внчисление козффициентов а, З, у, а х, рг.

3. Вьічисление а по s по формуле (29.29), применяя способ последовательньіх приближений (29.40).