Закатов Вища геодезія 1

сечение в А; прямая АВ — хорда, стягивающая дугу АаВ. Возьмем на кривой АаВ текущую точку к и проведем хорду к А . Обозначим центральний угод А п аВ через а, а угод кпаА — через ©; угод 0 может иметь значення от 0 до а. Тогда получим:

Z ВАпа = 90° — ; Z кАпа —90° —

Z кАВ = Z кАпа— Z ВАпп =

Проведем через точку к плоскость, перпендикулярную к хорде А В ; пусть пересечение зтой плоскости с хордой АВ будет в точке к х и с кривой АЬВ — в точке к 2. Треугольник ккхк2 изображен на рис. 32. В зтом треугольнике угод при вершине к х = f, а дуга кк2 = d, т. е. линейному расхождению на поверхности зллипсоида между прямим и обратньш нормальними сечениями АаВ ж АЬВ.

Наибольшее линейное расхождение между сечениями АаВ и АЬВ будет

в середине дуги А В , т. е. при © = у .

Следовательно, из (15.7) получаем

Пользуясь (15.8), вичислим значення dm3x при различннх расстояниях s между точками А жВ. Положим, что широта В — 45°, А х — 45°, тогда получим

s (км) . . . 200 100 50

dmax(M) . . . 0,050 0,006 0,0008.

Результати вичислений показнвают, что линейнне расхождения между прямим и обратннм нормальними сечениями мали.

Формула (15.8) верна для геодезических линий, когда азимути их не близки к 90 или 270°, в противном случае следует применять более точнне формули.

Дадим без внвода внражение для разности длин геодезической линии и дуги нормального сечения D s

D s —-щр sin2 2А , cos4 Вто5.

60

Для s = 600 км' D s ^ ^35Voo' M-

Произведенньїе расчетьі позволяют сделать заключение, что разностью' длин геодезической линии и дуги нормального сечения при вьічислении триангуляции можно пренебречь.

§ 16. Длина дуги нормального сечения

Виразим длину дуги нормального сечения произвольного азимута через длину окружности, построенной радиусом сечения первого вертикала в первой' точке. Пусть на рис. 34 А В — дуга прямого нормального сечения, проведен--

ного из точки А на точку В; пусть ее длина равна s, а азимут А х, 2. В плоскости зтой дуги проведем окружность радиусом, равннм радиусу сечения пер­ вого вертикала N хв точке А (широта В х) и, следовательно, с центром в точке па. Пусть точка В' будет пересечением линии Впа с проведенной окрушностью. Обозначим далее центральний угол, под которнм усматривается дуга АВ и АВ', через а, расстояние Впа — через z\ угол в точке В между линией Впа

Примем за малую величину первого порядна н или е2, тогда, имея в виду, что, согласно (15.1) и (15.3),

nanb = Ne2 (В2 —вх)cos Вш

є = е2 (В2— Вх) cos2 Вт\

61

с отбрасьіванием членов третьего порядна малости (16.1) примет вид

Откуда

(16.9)

62

или окончательно с принятои точностью

Формули (16.13) и (16.14) ошибочнн на малне величини порядна Ne2ab. Без внвода приведем формули, устанавливающие связь между длиной дуги нормального сечения s и длиной хорди cZ, соединяющей конечнне точки

дуги [44, стр. 75].

На рис. 36 изображен треугольник, вершинами которого являются известнне из предндущего параграфа точки А , к 2, к. Соединим точку А с точ­ ками к и к2 прямими, которне будут хордами для частей дуг прямого и обрат-

63

или

Представим, что расстояние Ак, а следовательно, и угод © убьівают; в атом случае хорди А к и А к 2 в пределе обращаются в касательнше к прямому и обратному нормальним сечениям в точке А. Очевидно, при атом условии угод кА к2 обратится в угол между взаимньїми нормальними сечениями в точке А , которнй ранее ми обозначали через А.

Таким образом, полагая в (17.1) © стремящимся к нулю, получаем

геодезической линии вполне достаточна, если расстояния между точками на поверхности аллипсоида не превосходят нескольких десятков километров.

Однако при некоторнх теоретических исследованиях, а также при определении больших расстояний и координат далеких точек на поверхности аллип- <їоида, когда расстояния исчисляются сотнями и даже тисячами километров, иногда возникает необходимость применения для указанних расхождений азимутов более точних формул.

Опустим виводи формул вследствие их громоздкости и приведем их в окончательном виде.

64

Ді.2* = ААаВ— ААЬВ.

Для разности азимутов прямого нормального сечения и геодезической линии в точке А с широтой В 1 более точная формула с удержанием членов порядка т| 2о 3 имеет вид

причем по-прежнему

A 1.2 — A i . 2 — $ 1 . 5

Приведем еще формулу, виражающую разность направлення ВаА и напра­ влення геодезической линии ВА . Зта величина будет виражать разность между углом, образованннм плоскостью меридиана точки В и плоскостью прямого нормального сечения в точке А , и азимутом геодезической линии ВА .

назовем б° 2.1"> будет

причем

A h = А \ л -

Произведем подсчетн для определения числового значення расхождений между азимутами взаимннх нормальних сечений и азимутами прямого нормаль­ ного сечения и геодезической линии.

Если s = 200 км, то максимальнне значення Д и б при В — 0 и А = 45° получатся:

А" = 0,36" и б"-0,12" .

Если s = 100 км, то соответственнне величини будут равньї

А — 0,09" и б*-0,02" .

Если s = 50 км, то

А" — 0,023* и б" = 0,006".

При внчислении направлений и азимутов в триангуляции 1 класса требуется обеспечить точность до сотих долей секунди. Для зтого необходимо производить учет поправок и удерживать тнсячнне доли секунди.

*А. Т и л л о. «Геодезические исследования Гаусса, Бесселя и Ганзена». 1866, стр. 150.

Вформуле Ганзена приведеннне широти замененьї геодезическими, что внзнвает пренебрегаемне ошибки порядка гра2 и гра3.

Следовательно, полученньїми значеннями величин А и 6 при обработке результатов угловьіх измерений в триангуляции 1 класса пренебрегать нельзя; они должньї учитьіваться в виде поправок к непосредственно измеренньїм напра­

вленням.

Заметим далее, что неучет зтих поправок повлек бьі систематическое накопление ошибок при передаче азимута в триангуляции. Пусть, например, проис-

число сторон, определим влияние т-р на поперечньїй сдвиг всего ряда в точках:

ns

та

Учет влияния расхождений азимутов взаимньїх нормальньїх сечений при обработке результатов угловьіх измерений заключается в том, что нормальний сечения заменяются геодезическими линиями. Практически такое образование треугольников из геодезических линий заключается во введений в измеренньїе направлення п о п р а в о к з а п е р е х о д от п р я м о г о н о р м а л ь ­ н о г о с е ч е н и я к г е о д е з и ч е с к о й л и н и и .

Рис. 37 показьівает, что зти поправки, внчисленньїе по формуле (їїА)^ должньї вичитаться из значений измеренннх направлений.

§ 18. Положение геодезической линии относительно взаимньїх нормальньїх сечений

Вьіше показано, какое положение занимает геодезическая линия относи­ тельно взаимньїх нормальних сечений: геодезическая линия в начале своегопути от точки А к точке В располагается ближе к прямому сечению АаВ , нахо-

66

Г л а в а III

РЕШЕНИЕ МАЛЬІХ СФЕРИЧЕСКИХ И СФЕРОИДИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

§ 19. Общие сведения

После того как полученьї окончательньїе значення измеренньїх направлений или углов на поверхности зллипсоида, переходят к решению треугольников. Задача заключается в последовательном вьічислении длин сторон треугольников триангуляции, причем известньї одна сторона и угльї в каждом треугольнике.

Строго говоря, треугольники триангуляции являются сфероидическими или зллипсоидальньїми треугольниками, поскольку они образованьї на поверх­ ности зллипсоида. На практике обьічно приходится иметь дело с треугольни­ ками, стороньї которьіх не превьішают 40—50 км и в редких случаях достигают 7 0 —80 км. Вследствие близости земного зллипсоида к сфере различие в зле-

ментах сфероидических и сферических треугольников триангуляции пренебрегаемо *. Таким образом, внчисление треугольников триангуляции сводится к решению сферических треугольников. Если решать треугольники по обнчньїм формулам сферической тригонометрии, то стороньї необходимо виражать в ча­ стих радиуса, но зто неудобно, так как доактически стороньї должньї бьіть

При развитии геодезической сети методом трилатерации решение треуголь­ ников заключается в вьічислении углов треугольников по их сторонам; в зтом случае также целесообразно пользоваться теоремой Лежандра и способом аддитаментов.

§ 20. Решение сферических треугольников по теореме Лежандра

Пусть ABC (рис. 39) — сферический треугольник, стороньї которого в линейньїх единицах обозначим через а, Ь, с. По сторонам а, Ь, с построим пло­ ский треугольник А 1В 1С1 (рис. 40), угльї сферического треугольника обозначим

можем от сферических треугольников переходить к плоским, имеющим такие же значення длин сторон, и, таким образом, производить решение треугольников, применяя формульі прямолинейной тригонометрии.

Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический тре­ угольник. Тогда, применив формулу косинуса стороньї для сферического тре­ угольника ABC, напишем

cos — = cos -ц- cos — -J-sm sm — cos A,

* Зто будет видно в последующем, при изложении сведений о решении больших тре­ угольников; внвод о величине и пренебрегаемости различий, при указанннх размерах тре­ угольников, между сторонами сферических и сфероидических треугольников можно видеть из формул теории изображения зллипсоида на шаре, например, теории Гаусса — см. § 28.

68

откуда

б,

69