Закатов Вища геодезія 1

определить положение меридиана FFX и параллели Е Е Х. Очевидно, задача сводится к определению положення точек F, F х, Е, Е г.

Для определения точки F имеем абсциссу линии АВ и заданную долготу І меридиана, которьій должен бить нанесен на планшет. Требуется определить ординату UF т о ч к и F. Не различая широт точек А и В, по х х, как по дуге мери­

Так же внчислится и ордината точки F x, но в атом случае широта В х должна бьіть вичислена по абсциссе ж2.

Положение параллели Е Е Х определится, если найдем абсциссу точки Е, а затем аналогично — точки Е х. Для вьічисления абсциссьі хЕ точки Е имеем ординату у западной рамки планшета и широту В параллели Е Е Х. На основа­ ний формули (39.12) находим широту В х точки пересечения ординатной линии

где М х, N х и t x замененн через М, N u t без заметной для графических построений ошибки.

Искомую абсциссу хЕ внчисляют по таблицам как дугу меридиана от зкватора до широти В х. Аналогично внчисляют абсциссу точки Е х; при зтом вместо ординати западной рамки должна бить взята ордината восточной рамки.

§ 47. Понятие о некотормх других проекциях я системах плоских координат

В предндущих параграфах било сказано о теории и практике применения системи прямоугольннх плоских координат Гаусса — Крюгера, применяющейся в настоящее время в GGGP и других странах.

До перехода к проекции Гаусса — Крюгера в GGCP и в ряде других стран использовались другие проекции, причем в некоторнх странах ониприменяются и по настоящее время.

Рассмотрим ати проекции и соответствующие системи плоских прямо­ угольннх координат. Некоторне из них имеют историческое и в то же время методическое значение. При сравнении с ними проекции Гаусса — Крюгера наглядно внявляются преимущества последней.

В ]атой системе координат земная поверхность \ считается сферической. Пусть на сфере (рис. 94) точка О на осевом меридиане принята за начало координат. Меридиан РОРх, проходящий через вьтбранное начало координат,

принимается за ось х.

200

Возьмем некоторую точку А и определим ее положение на сфере в системо координат Зольднера. Для зтого проведем из точки А большой круг АА 0. перпендикулярний к начальному меридиану — оси абсцисс Р Р г. Координа тами точки А будут: х — длина дуги ОА 0, у — длина дуги АА 0.

Возьмем вторую точку В; ее координатами соответственно пусть будут х 2 и у 2. Расстояние между точками А и В определяется длиной дуги большого

Рис. 94 Рис. 95

Проведем в А и В большие круги АС и ВСг, составляющие с дугами АА 0 и ВВQпрямой угод. Тогда угод в точке А между дугами АС и АВ будет дирекиионним углом а2>1 направлення А В ; аналогично угод между ВСг и ВА —

2.Большие круги О А 0 и ОБ 0 изображаются прямими, перпендикуляр­ ними к прямой Р'ОР{ и расположешшми на расстоянии, равном разности абсцисс точек А и В.

3.Малий круг сфери, параллельннй осевому меридиану, изображается прямой, параллельной изображению осевого меридиана Р '0 'Р х и расположенной от него на расстоянии, равном ординате зтого малого круга. Описаннне условия изображения сферических злементов системи на плоскости вполне определяют положение точек А и В на плоскости. Они изображаются точками

А, и В г и будут иметь плоские координати, равяие сферическим *.

Но, конечно, взаимное положение зтих точек на плоскости иное, чем на сфере. 9то легко усматривается из сопоставления рис. 94 и 95.

* Сферические координати как плоские использовал французский геодезист Кассини, Позтому описиваемие плоские координати назнваются также Кассини — Зольднера.

201

Допущенне, что Земля — шар, а не зллипсоид, может бнть практически оправдано только в пределах некоторой зоньї как с севера на юг, так и с востока на запад. Если воспользоваться теорией Гаусса конформного изображения зллипсоида на шаре, то можно сделать внвод, что без практически заметньїх линейньїх и угловьіх искажений можно не различать зллипсоида от шара

впределах зони, ограниченной параллєлями, отступающими одна от другой до 2і/ 2° и меридианами — до 2° (для средних широт). Соответствующие ограничения, притом значительно более жесткие на размер зтой зони, накладнвают допустимме размерьі искажений при переходе со сфери на плоскость. Конечно,

взависимости от точности геодезических сетей и их назначения размер таких участков, определяющих, по существу, самостоятельньїе (частньїе) системьі координат, будет меняться. Здесь важно отметить следующий основной вьівод: использование проекции Зольднера, т. е. системьі сферических координат, как плоских на значительной территории, визвало бьі необходимость образо-

вания множества зон, ограниченньїх как меридианами, так и параллелями. К атому следует добавить, что для вичислений в каждой зоне бнло бн необходимо принимать разньїе постоянньїе, например частньїе начала координат (отличающиеся не только долготами, как в проекции Гаусса — Крюгера, но и широтами). Зто привело бьі к образованию значительно большего числа смежньіх границ зон, чем в проекции Гаусса — Крюгера. Все зто делает проекцию Зольднера значительно менее удобной для использования как системи плоских прямоугольньїх координат на большой территории.

К зтому следует добавить, что учет искажений в проекции Зольднера более громоздок и сложен, чем в проекции Гаусса — Крюгера: при учете линейньїх искажений необходимо принимать во внимание ориентировку линий; учет угловьіх искажений необходимо вести с несравненно большей тщательностью и подробностью независимо от протяженности направлення.

Все вместе взятое дает основание сделать вьівод, что проекция Зольднера по многим и весьма существенннм моментам уступает проекции Гаусса — Крюгера.

Давая краткое описание проекции Зольднера, следует отметить, что математически вопрос о замене сфероида сферой может бьіть решен, причем строго, следующими двумя путями, если размер зони не позволяет пренебречь сфероидичностью Земли:

1.Двойннм переходом с зллипсоида на плоскость: первоначально осуществляется переход с зллипсоида на шар, пользуясь тем или иньїм законом изображения, например конформним Гаусса, а затем с шара на плоскость — описанньїм вьіше.

2.Введением сразу не сферических, а сфероидических прямоугольньїх координат; в зтом случае у измеряется как длина геодезической линии, составляющая с осевьім меридианом 90°, а х — соответствующая дуга меридиана (дуга зллипса). !

Зти дополнительньїе ;сведения, конечно, не меняют сделанного заключения о практическом применении проекции Зольднера в геодезии.

Система прямоугольньїх плоских координат Зольднера впервне начала применяться в начале прошлого столетия в Германии, при кадастре и землеустройстве; она начала применяться и в СССР в двадцатьіх годах, главньїм образом в землеустройстве. Но когда в начале тридцатьіх годов в связи с большим развитием геодезических работ в СССР встал вопрос о виборе и переходе к единой системе плоских прямоугольньїх координат, то по указанншм вьппе зображ е­ нням проекцию Зольднера отвергли и приняли проекцию Гаусса — Крюгера.

202

2. Стереографическая проекция

Напомним, что стереографическая проекция шара на плоскость представляет собой частньїй случай перспективних проекций, когда точка зрения находится на поверхности шара; картинная плоскость перпендикулярна диа-

так назьіваемая Голландская.

Для последующей характеристики проекций применительно к геодезиче-

І — L LQ.,

N 0 — радиус кривизни первого вертикала в точке зрения,

COS ф \ х! і е

_ 1— Є соИф/

^ / 1 + е COS Фо \ 1 / 2е *

V1 — е cos Ф0 )

В0 и L 0 — геодезические координати центра проекции (а:0 = 0; у 0 = 0). Далее приведем формули, характеризующие искажения проекции. Масштаб изображения виражаетея формулой

Из формули (47.2) следует, что искажение одинаковое в радиальннх направленнях от центра проекции. Отсюда можно еделать внвод, что проекцию целесообразно применять для изображения частей поверхности зллипсоида, имеющих круглив очертания.

203

Формула (47.2) дает главньїй член поправки за переход с зллипсоида на плоскость в стереографической проекции, если для х ш у взять их значення для средней точки линии, т. е.

тогда главньїй член формули для указанной поправки будет

Из сравнения (47.3) с формулой (42.7) можно сделать внвод, что размер искажений в стереографической проекции будет при одинаковом удалении от осевого меридиана несколько меньше, чем в проекции Гаусса — Крюгера.

Поправка за кривизну изображения геодезической линии на плоскости вьіражается формулой

Величина поправок б в стереографической проекции будет примерно в два раза меньше, чем в проекции Гаусса — Крюгера.

Из формули масштаба изображения

следует, что масштаб изображения возрастает от центральной точки по всем направленням. Позтому применение стереографической проекции на большой территории внзнвает необходимость введення зон, ограниченннх как меридианами, так и параллелями. Вследствие наличия частннх начал координат, расположенних под разннми широтами, внчисления не будут единообразннми в разннх зонах. Следовательно, если говорить о применении проекции на значительной территории, то за проекцией Гаусса — Крюгера сохраняется безусловное преимущество. Масштаб изображения в проекции Гаусса — Крю­ гера зависит толькоот ординати, следовательно, каждая зона в зтой проекции охватнвает полосу поверхности зллипсоида от северного полюса до южного. Огромное достоинство зтой проекции — полное однообразие и стандартизация вичислений независимо от зони.

Тем не менее стереографическая проекция имеет некоторне преимущества, которне в частннх случаях могут бить использованн. К зтим преимуществам можно отнести:

1. Искажения возрастают равномерно от центральной зони проекции, тогда как в проекции Гаусса — Крюгера такой равномерности нет.

2. При одинаковом удалении от осевого меридиана искажения в длинах линий в стереографической проекции в два раза меньше, чем в проекции Гаусса — Крюгера.

Можно внсказать предположение, что в частннх случаях стереографиче­ ская проекция может найти практическое применение в геодезических работах. Очевидно, зто может бить в тех случаях, когда размер искажений в проекции Гаусса - Крюгера в принятой системо зон недопустим и возникает необходи­ мость перехода к частной системе координат; зто может случиться при использовании координат для достаточно точних числових расчетов при проектиро-

204

и восточная зоньї перекрьіваютея по ЗО' по долготе. Схематически ато перекрьітие показано на рис. 97.

Интервальї зон по долготе в 6е следует считать максимальними; при увели-

внатуре. Но нельзя требовать, чтобн инженер-проектировщик при использо­ вании топографо-геодезических данньїх для составления проекти или при пере­ несений его в натуру имел дело с какими-либо редукциями. 9то приводило би

кразличннм недоразумениям и ошибкам. Линейнне искажения на краю шести­ градусной зони достигают величини порядка 1 : 1200; для проектирования различннх инженерннх сооружений такое масштабное искажение на плане или

вгеодезических динних не может спитаться допустимим. С применением трехградуеннх зон (І = 1°30') линейнне искажения приблизительно равнн 1 : 5000. Зтой величиной уже во многих случаях можно пренебрегать. Позтому в райо­ нах крупномасштабннх ст>емок, результати которих будут использоваться для проектирования и инженерннх раечетов, координати пунктов следует вичислять в трехградусной зоне с применением в отдельннх случаях частннх осевих меридианов.

Виздаваемих в настоящее время каталогах геодезических пунктов, помимо прямоугольннх координат х ж у, приводятея, как правило, еближения меридианов и масштаб изображения.

Для всей территории CCGP абсциссн х положительнн, позтому знак плюс обьічно не ставится. Ординати у могут иметь и положительнне, и отрицательнне значення. Чтобн избежать ошибок, которне могут возникнуть вследствие неправильного учета знака ординат, начало ечета последних едвигают на запад на 500 км, т. е. к значенням ординат алгебраически прибавляют 500 км и впереди полученной суммн ставят номер зони, к которой отнесенн координати данного пункта. Если, например, данная точка расположена в зоне № 7 и ее ордината у — —74,24 км, то преобразованное указанним образом значений ординати будет 7 425,76.

Координати Гаусса — Крюгера прочно вошли в практику геодезических работ в GCGP, они обеспечивают простое использование результатов зтих работ в различннх целях, о которих било сказано в начале глави. В настоя-

206

II.

ФИЗИЧЕСКАЯ

ГЕОДЕЗИЯ

Г л а в а VII

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

§ 49. Предмет физической геодезии

Физическая геодезия — часть вьісшей геодезии, в которой рассматриваются методн изучения фигури Земли как физического и геометрического тела на основе законов механики и опьітннх данних — результатов геодезических, гравиметрических и астрономических измерений. Если в сфероидической гео­ дезии устанавливаются математические зависимости между злементами поверхности зллипсоида, считая его параметри известннми, то физическая геодезия рассматривает методн определения параметров земного зллипсоида и методн изучения действительной фигури Земли обьічно относительно вмбранного зллипсоида как поверхности относимости или сравнения.

Изучение фигури Земли основано на определении действительного внешнего гравитационного поля Земли, позтому в физической геодезии значительное внимание уделяется теории потенциала сили тяжести Земли и его определению по результатам упомянутнх измерений. К физической геодезии относится также редукционная проблема внсшей геодезии, под которой обнчно понимается совокупность задач по внчислению поправок в непосредственно измереннне значення углов, линий и других злементов за переход к поверх­ ности относимости.

К физической геодезии отнесем вопросн использования геодезических данних для изучения деформации земной поверхности и внутреннего строения Земли как физического тела.

Через физическую геодезию, в нервую очередь, геодезия в целом входит в состав науки о Земле как совокупности знаний, даваемнх геофизикой, геологией и другими науками.

Под общей фигурой Земли практически понимается зллипсоид вращения, максимально приближающийся к общему земному зллипсоиду.

Под действительной фигурой Земли будем понимать физическую поверхность на суше и невозмущенную поверхность води океанов и морей. При необходимости, из измерений глубин дна в океанах и морях всегда легко м о ж н о определить поверхность океанического и морского дна.

Действительная фигура Земли — физическая земная поверхность — определяется координатами каждой ее точки в вьібранной системе. Однако прак­ тически такого определения положення всех точек поверхности Земли мето­ дами вьісшей геодезии не требуется. Достаточно определять пространственнне

203

Ікоординати X , Y, Z или геодезические — В, L и Я отдельньїх точек, равноиерно расположенннх на земной поверхности. Такими точками на суше могут бить пункти астрономо-геодезической сети 1 и 2 классов и репери нивелиро- #ания І и II классов. Координати других точек можно долучить с необходимой чючноетью путем развития геодезических сетей следующих по точности клас­ і в , а также методами топографии. Изучение действительной фигурьі Земли яа водной поверхности заключается в определении висот ее точек относительно вллипсоида. Вибор зтих точек, их густота витекают из требований к точности І я подробности изучения форми данной водной поверхности.

§50. Кратний очерк развития знаний

офигуре Земли и методах ее изучения

0 R — радиус Земли.

Рассмотрим основние зтапи развития знаний о форме и размерах Земли. оследовательное, более подробное изложение истории градусних измерений вообще работ по определению форми и размеров Земли дано в ряде сочине-